按秘密級(jí)事項(xiàng)管理丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試（二）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．本試卷共22題，共150分，共4頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則（    ）A．-5 B．-3 C．3 D．52．不等式的解集為（    ）A． B． C． D．3．直線x+ay-3=0與直線（a+1）x+2y-6=0平行，則a=（    ）A．-2 B．1 C．-2或1 D．-1或24．古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)明了享譽(yù)世界的汲水器，稱為阿基米德螺旋泵，兩千多年后的今天，左圖所示的螺旋泵，仍在現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，其依據(jù)是“阿基米德螺線”．在右圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A勻速離開(kāi)坐標(biāo)系原點(diǎn)O，同時(shí)又以固定的角速度繞坐標(biāo)系原點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生的軌跡就是“阿基米德螺線”，該阿基米德螺線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)依次為A1（-1，0），A2（0，-2），A3（3，0），A4（0，4），A5（-5，0），…按此規(guī)律繼續(xù)，若四邊形的面積為220，則n=（    ）A．7 B．8 C．9 D．105．△ABC中，，，，則（    ）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)滿足，當(dāng)0≤x<1時(shí)，，則（    ）A．-2 B． C． D．27．若，則（    ）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，函數(shù)，則（    ）A．g（x）為增函數(shù)  B．g（x）為奇函數(shù)C．g（x）值域?yàn)?/span>  D．函數(shù)沒(méi)有正零點(diǎn)二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為z=1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則（    ）A．z的虛部為i B． C． D．10．如圖，玻璃制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)部灌進(jìn)一多半水后封閉，僅讓底面棱BC位于水平地面上，將容器以BC為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，水面形成四邊形EFGH，忽略容器壁厚，則（    ）A．始終與水面EFGH平行B．四邊形EFGH面積不變C．有水部分組成的幾何體不可能是三棱柱D．AE+BF為定值11．設(shè)，為拋物線C：x2=4y上兩點(diǎn)，F為C的焦點(diǎn)，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，6），則（    ）A．若|MF|=3，則|NF|=19  B．C在點(diǎn)M處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．∠MFN為鈍角  D．若，則12．已知函數(shù)f（x）=x3-6x2+9x+1，則（    ）A． B．C．  D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若集合A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，則A∩B真子集的個(gè)數(shù)為_________．14．如圖，電商平臺(tái)售賣的木制“升斗”，底部封閉，上部開(kāi)口，把該升斗看作一個(gè)正四棱臺(tái)，該四棱臺(tái)側(cè)棱與底面成角的余弦值為_______________．15．等比數(shù)列{an}前6項(xiàng)中的兩項(xiàng)分別為1，2，記事件A：a3<0，事件B：{an}既不是遞增數(shù)列也不是遞減數(shù)列，則____________．16．對(duì)20進(jìn)行“乘以2”或“減去3”的一種運(yùn)算，得到的結(jié)果再進(jìn)行“乘以2”或“減去3”的一種運(yùn)算，…，一直進(jìn)行這樣運(yùn)算，每進(jìn)行一種運(yùn)算記作一次運(yùn)算，已知運(yùn)算n次后，得到結(jié)果為49，則n的最小值為____________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=5，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：Sn≤20．18．（12分）已知函數(shù)，．（1）若π為f（x）的最小正周期，用“五點(diǎn)法”畫(huà)f（x）在內(nèi)的圖象簡(jiǎn)圖；（2）若f（x）在上單調(diào)遞減，求．19．（12分）如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小為120°，E為棱的中點(diǎn)．（1）證明：CD⊥AE；（2）點(diǎn)F在棱CC1上，平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．20．（12分）已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．21．（12分）某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲乙兩地一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣某項(xiàng)指標(biāo)X值滿足12.2≤X≤21.8時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過(guò)疫苗的小白鼠中用分層抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行X值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的X值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過(guò)疫苗小白鼠的總體，設(shè)．（1）求，；（2）小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過(guò)疫苗的N只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作為N的估計(jì)值）；（3）對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的X值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組n（n≤50）只小白鼠混合血樣的X值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)n只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，n只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為n+9元．試給出n的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．附：若，則，．參考數(shù)據(jù)：，，，．22．（12分）已知橢圓的離心率為，C上點(diǎn)M到C外點(diǎn)的距離最小值為2．（1）求C的方程；（2）設(shè)A，B為C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線與直線M1P相交于點(diǎn)N，直線BM與BN的斜率之積為．記△AMN和△BMN的面積分別為S1，S2，求的最大值．                 丹東市2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測(cè)試（二）數(shù)學(xué)小題詳解1．答案：B．2．答案：C．3．答案：A．4．答案：C．5．答案：D．6．答案：A．7．答案：D．8．答案：D．9．答案：BC．10．答案：AC．11．答案：ABD．12．答案：BCD．13．答案：7．．14．答案：．15．答案：．
16．答案：16，17．解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由得，兩式相減得an+1-an=-1．由a1=5，得a2=S1=5，從而{an+1}是以5為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列．故an+1=a2+（n-1）（-1）=6-n．因?yàn)?/span>7-1=6≠a1，所以（2）由題設(shè)及（1）可知．當(dāng)n=6和n=7時(shí)，Sn取最大值20，于是Sn≤20．
18．解：（1），由，得．列表如下：x020-20描點(diǎn)連線，得f（x）在[0，π）內(nèi)的圖象簡(jiǎn)圖：（2）解法1：由f（x）在上是減函數(shù)知，因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，，所以．由得，，由題意只能，從而．解法2：因?yàn)?/span>，，所以．由題設(shè)知，，從而解得．因?yàn)?/span>，所以故，因?yàn)?/span>，所以k=0，于是．
19．解法1：（1）因?yàn)槠矫?/span>CDD1C1⊥平面ABCD，AD⊥DC，所以AD⊥平面CDD1C1，∠D1DC是二面角D1-AD-C的平面角，故∠D1DC=120o．連結(jié)DE，則DE⊥C1D1，從而DE⊥CD．又AD⊥CD，DE∩AD=D，所以CD⊥平面AED，因此CD⊥AE．
（2）設(shè)AB=2，則，所以．連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)CE交交DF于點(diǎn)G，連結(jié)OG．因?yàn)?/span>平面BDF，所以，因?yàn)?/span>O為AC中點(diǎn)，所以G為CE中點(diǎn)，故．且直線OG與DF所成角等于直線AE與DF所成角．在Rt△EDC中，，因?yàn)?/span>，所以．因此直線AE與DF所成角的余弦值為．解法2：（1）同解法1．（2）設(shè)AB=2，則，所以．取DC中點(diǎn)為G，連結(jié)EG交交DF于點(diǎn)H，則EG=DD1=2．連結(jié)AG交BD于點(diǎn)I，連結(jié)HI，因?yàn)?/span>平面BDF，所以．直線HI與DH所成角等于直線AE與DF所成角．正方形ABCD中，，，所以，故．在△DHG中，，GD=1，∠EGD=60o，由余弦定理．在△DHI中，．因此直線AE與DF所成角的余弦值為．解法3：（1）同解法1．
（2）由（1）知BE⊥平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為2個(gè)單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．由（1）知，得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），，．則，，，．由，得．因?yàn)?/span>平面BDF，所以存在唯一的，，使得，解得，從而．所以直線AE與DF所成角的余弦值為．20．解：（1）f（x）定義域?yàn)椋?/span>0，+∞），，由得a=2．若a=2，當(dāng)時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，f（x）單調(diào)遞減．因此a=2．
（2）設(shè)，則．因?yàn)?/span>，，所以存在唯一，使，且當(dāng)0<x<x0時(shí)，，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，g（x）單調(diào)遞減．由得，所以．因此當(dāng)時(shí)，．而，于是當(dāng)時(shí)，．21．解：（1）法1：記甲地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為，則，，，，所以
．．法2：記甲地小白鼠樣本的X值為x1，x2，…，x120，平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本的X值為y1，y2，…，y90，平均數(shù)為，方差為．因?yàn)?/span>，，，．所以．由，，可得．同理，于是．（2）法1：因?yàn)?/span>，所以．從注射過(guò)疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），
．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．記，則．由等價(jià)于N-101<0.32（N+1），當(dāng)且僅當(dāng)，知當(dāng)103≤N≤148時(shí)，α（N）<α（N+1）；當(dāng)N=149時(shí)，α（N）=α（N+1）；當(dāng)N>149時(shí)，α（N）>α（N+1）；故N=149或N=150時(shí)，α（N）最大，所以N的估計(jì)值為149，或150．法2：因?yàn)?/span>，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μ-σ≤X≤μ-σ）≈0.68．從注射過(guò)疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），
．當(dāng)N<102時(shí)，P（K=102）=0；當(dāng)N≥102時(shí)，．若N=102，則．若N≥103，則
化簡(jiǎn)得解得149≤N≤150．綜上，N的估計(jì)值為149，或150．（3）記n只小白鼠檢測(cè)費(fèi)用為Y元，當(dāng)n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=n+9，當(dāng)n只小白鼠不都產(chǎn)生抗體時(shí)，Y=11n+9，則P（Y=n+9）=0.991n，P（Y=11n+9）=1-0.991n．因此．因?yàn)?/span>n≤50，所以．故，當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)取等號(hào)．于是每只小白鼠平均檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，n的估計(jì)值為10．【注1】（2）等價(jià)于這個(gè)問(wèn)題：數(shù)列{an}中，，求使an取最大值時(shí)的n值．【注2】（2）法2若N=102時(shí)的驗(yàn)證不可少．【注3】（2）因?yàn)?/span>，所以P（12.2≤X≤21.8）=P（μ-σ≤X≤μ-σ）≈0.68．從注射過(guò)疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有Y只，則K～B（N，0.68），
．【以下得0分】因?yàn)槭?/span>P（K=k）取得最大值時(shí)的整數(shù)k=102，所以
化簡(jiǎn)得解得149≤N≤150.47．因此N的估計(jì)值為149，或150．22．解法1：（1）由題設(shè)4-a=2，a=2．由，得b=1．所以C的方程為．（2）A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（x1，y1），則，所以直線AM與BM的斜率之積為．因?yàn)橹本€BM與BN的斜率之積為，所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．
因?yàn)?/span>M1（x1，-y1），設(shè)N（x2，y2），由得，．由對(duì)稱性知MN經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)Q（t，0），因?yàn)?/span>，由，得t=1，所以MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（1，0）．所以．設(shè)5-2x1=x，因?yàn)?/span>-2<x1<2，所以1<x<9．設(shè)，，因?yàn)楫?dāng)1<x<3時(shí)，，當(dāng)3<x<9時(shí)，，所以6≤f（x）<10．因此，當(dāng)且僅當(dāng)x=3取等號(hào)，取等號(hào)時(shí)，x1=1，．于是當(dāng)，時(shí)，取最大值．解法2：（1）同解法1．（2）A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（x1，y1），則，所以直線AM與BM的斜率之積為．因?yàn)橹本€BM與BN的斜率之積為，所以直線BN斜率為AM斜率的3倍．
因?yàn)?/span>，設(shè)，由得，．由，知，故點(diǎn)N在C上．由對(duì)稱性知MN經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)Q（t，0），因?yàn)?/span>，由，得t=1，所以MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（1，0）．
可知MN不垂直于y軸，設(shè)MN：x=my+1，聯(lián)立得（m2+4）y2+2my-3=0，因?yàn)椤?/span>=16（m2+3）>0，所以y1，，因此．由，得，當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，于是取最大值．
 

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