2023屆遼寧省沈陽市第二中學高三下學期第五次模擬考試數(shù)學試題含答案

這是一份2023屆遼寧省沈陽市第二中學高三下學期第五次模擬考試數(shù)學試題含答案，共14頁。試卷主要包含了測試時間，魏晉時期數(shù)學家劉徽，下列說法中正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023屆高三下學期第五次模擬考試數(shù)學試題說明：1．測試時間：120分鐘   總分：150分2．考生務必將答案答在答題卡相應位置上，在試卷上作答無效。第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一．單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，集合，則（    ）A． B． C． D．2．已知復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．3．某校高三年級一共有1200名同學參加數(shù)學測驗，已知所有學生成績的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學成績不小于103分的人數(shù)至少為（    ）A．220 B．240 C．250 D．3004．蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關(guān)。如圖為某校數(shù)學社團用數(shù)學軟件制作的“蚊香”。畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓?。僖渣cC為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當?shù)玫降?/span>“蚊香”恰好有11段圓弧時，“蚊香”的長度為（    ）A． B． C． D．5．設(shè)，是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則（    ）A． B． C． D．6．魏晉時期數(shù)學家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個獨特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一圓柱的側(cè)面上．如圖，將兩個底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入棱長為2的正方體時（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標出的各點A，B，C，D，P，Q均在原正方體的表面上）．由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過程可知，圖d中的曲線PBQD為一個橢圓，則此橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若是關(guān)于的方程在內(nèi)的兩根，則（    ）A． B． C． D．8．已知是圓上的動點，以點為圓心，為半徑作圓，設(shè)圓與圓交于A，B兩點，則下列點中，直線一定不經(jīng)過（    ）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知雙曲線，則不因的變化而變化的是（    ）A．頂點坐標 B．漸近線方程 C．焦距 D．離心率10．下列說法中正確的是（    ）A．將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后，樣本方差沒有變化B．在線性回歸分析中，成對數(shù)據(jù)構(gòu)成的點都在回歸直線上的充要條件是相關(guān)系數(shù)r=1C．在線性回歸分析中，回歸直線就是使所有數(shù)據(jù)的殘差平方和最小的直線D．在線性回歸分析中，用最小二乘法求得的回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零11．已知圓臺的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，，母線長為2，E為母線中點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．圓臺母線與底面所成角為 B．圓臺的側(cè)面積為C．圓臺外接球半徑為2  D．在圓臺的側(cè)面上，從到的最短路徑的長度為512．已知函數(shù)，，若直線與曲線和分別相交于點，，，且，則下列關(guān)系中正確的是（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，，則_______．14．已知隨機變量，，，若，則的最小值為___________．15．___________．16．已知表示不超過的最大整數(shù)，記，則方程的整數(shù)解個數(shù)為_____________．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：為常數(shù)；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求．18．（本小題滿分12分）一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人在點A處，2號機器人在點B處，3號機器人在點C處，且，，米，如圖所示：（1）求1號機器人和2號機器人之間的距離；（2）若2號機器人發(fā)現(xiàn)足球在點處向點作勻速直線運動，2號機器人則立刻以足球滾動速度的一半作勻速直線運動去攔截足球．已知米，忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，若2號機器人最快可在線段上的點處截住足球，求此時線段的長．19．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，平面平面．（1）證明：；（2）若為的中點，直線與平面所成的角為，求直線與平面所成的角的正弦值．20．（本小題滿分12分）某大學有A，B兩個餐廳為學生提供午餐與晩餐服務，甲、乙兩位學生每天午餐和晩餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晩餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．（1）分別估計一天中甲午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率；（2）記為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）假設(shè)表示事件“餐廳推出優(yōu)惠套餐”，表示事件“某學生去餐廳就餐”，，一般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．21．（本小題滿分12分）如圖：李華同學先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細繩的一端固定在三角板的頂點處，另一端固定在畫板上點處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細繩紙直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時筆尖在平面上畫出了圓雉曲線的一部分圖象．已知細繩長度為3，經(jīng)測量，當筆尖運動到點處，此時，，．設(shè)直尺邊沿所在直線為，以過垂直于直尺的直線為軸，以過垂直于的垂線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系．（1）求曲線的方程；（2）斜率為的直線過點，且與曲線交于不同的兩點M、N，已知的取值范圍為，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．22．（本小題滿分12分）已知曲線在點處的切線為l，設(shè)，，2，…，，且．（1）設(shè)是方程的一個實根，證明：為曲線和的公切線；（2）當時，對任意的且，恒成立，求的最小值．     2023屆高三下學期第五次模擬考試數(shù)學試題答案1．DDBDA   6-8ABC   9．BD   10．ACD   11．ACD   12．BC13．   14．   15．   16．2417．（1）因為，所以，∴，所以為常數(shù)2．（2）因為，，所以，即，又，∴數(shù)列是2為首項，2為公比的等比數(shù)列；數(shù)列是1為首項，2為公比的等比數(shù)列；所以．（1）在中，由正弦定理得，即，故1號機器人和2號機器人之間的距離為米（2）如圖，設(shè)米．由題意，米．米在中，由余弦定理得，整理得．解得，．所以，或（不合題意，舍去）19．（1）如圖，在三棱柱中，取的中點D，連接，因為是等邊三角形，則，又平面，平面平面，平面平面，則平面，而平面，于是，又，，平面，因此平面，又平面，則，于是，所以（2）取的中點F，連接．由（1）得平面，又，所以是直線與平面所成的角，即，，由（1）知，，兩兩互相垂直，以C為坐標原點，直線為x軸，過點C且平行于AB的直線為y軸，直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，于是，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為則，即直線與平面所成的角的正弦值為．20．（1）設(shè)事件C為“一天中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以，．（2）由題意知，甲員工午餐和晩餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，乙員工午餐和晩餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，記X為甲、乙兩員工在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為：X12P0.10.9所以X的數(shù)學期望．（3）由題知，即，即，即，即，即，即．21．（1）依題意，筆尖到點的距離與它到直線的距離相等，因此筆尖留下的軌跡為以為焦點，為準線的拋物線，設(shè)其方程為，則，由，，，得，，由得點的橫坐標，而拋物線的準線方程為，則，解得，所以軌跡的方程為．（2）假設(shè)存在，使得，設(shè)，，直線的方程為，由消去得：，而，，，，由得，即，于是，令，，因此，又，即，解得或，所以存在，使得成立．22．（1）根據(jù)題意，切線的方程為，即．設(shè)曲線在點處的切線斜率為，則，，，即切點為，所以曲線在點處的切線方程為，即．因為為方程的一個實根，所以，所以，所以這兩條切線重合，即為曲線和的公切線．（2）因為，，2，…，，且，即對，恒成立，所以對，恒成立．因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取最小值，且，即對任意且，恒成立，顯然當時，，所以，即，所以的最小值為．