絕密★啟用前名校聯(lián)盟·2023屆高三5月沖刺壓軸大聯(lián)考數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則集合中元素個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．2023 D．20242．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．3．閱讀下列材料：有理數(shù)都能表示成（，且與互質(zhì)）的形式，從而有理數(shù)集，任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；反之，任一有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù)．例如：．循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)為（    ）A． B． C． D．4．在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點是邊上靠近的三等分點，則（    ）A．3 B．6 C．7 D．95．已知是直線的傾斜角，則的值為（    ）A． B． C． D．6．學(xué)校校園從教室到寢室的一排路燈共12盞，按照規(guī)定，如果兩端有壞了的路燈或者中間同時壞了相鄰的兩盞或兩盞以上的路燈，就必須馬上維修，已知這排路燈壞了3盞，則這排路燈必須馬上維修的概率為（    ）A． B． C． D．7．定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內(nèi)切球半徑等于1，則該圓錐體積的最小值為（    ）A． B． C． D．8．如圖，是雙曲線的左、右焦點，過的直線交雙曲線的左、右兩支于兩點，且，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．如圖是某質(zhì)點作簡諧運動的部分圖象，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系式是，則下列命題正確的是（    ）A．該簡諧運動的初相為B．該簡諧運動的頻率為C．前6秒該質(zhì)點的位移為D．當時，位移隨著時間的增大而增大10．下列說法中正確的是（    ）A．已知離散型隨機變量，則B．一組數(shù)據(jù)148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數(shù)為158C．若，則事件與相互獨立D．根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗可得：變量與獨立，這個結(jié)論錯誤的概率不超過0.05附：獨立性檢驗中幾個常用的概率值與相應(yīng)的臨界值0.10.050.012.7063.8416.63511．已知圓，直線，則（    ）A．直線恒過定點B．直線能表示平面直角坐標系內(nèi)每一條直線C．對任意實數(shù)，直線都與圓相交D．直線被圓截得的弦長的最小值為12．在棱長為1的正方體中，為正方體表面上的動點，為線段上的動點，若直線與的夾角為，則下列說法正確的是（    ）A．點的軌跡確定的圖形是平面圖形B．點的軌跡長度為C．的最小值為D．當點在側(cè)面上時，的最小值為1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．2023年5月湖南省部分高三學(xué)生參加高三第一次模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且．若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有80000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為__________．14．若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__________．15．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為正的直線與拋物線相交于兩點，且．若過點的圓與直線相切于第一象限的點，則的值為__________．16．已知函數(shù)，對于任意，都有，則實數(shù)的取值范圍為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．18．（本小題滿分12分）在中，分別是角所對的邊，向量，且．（1）求角的大??；（2）若，求外接圓半徑的最小值．19．（本小題滿分12分）如圖，在三棱臺中，，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．20．（本小題滿分12分）華為云服務(wù)是華為公司在ICT領(lǐng)域通過30多年的技術(shù)攻堅和經(jīng)驗積累，將產(chǎn)品解決方案開放給用戶，為用戶提供集個人數(shù)據(jù)同步、云相冊、手機找回等多種基礎(chǔ)云功能，旨在為消費者提供一站式易用、快捷、智能、安全的個人數(shù)據(jù)管理服務(wù)．華為云服務(wù)采用按需使用、按需付費的一站式IT計算資源租用服務(wù)．據(jù)調(diào)查，在某一地區(qū)自2016年至2022年以來，7年的使用用戶數(shù)如下表所示：（x表示年度，2016年度記為1，2017年度記為2，…，依次類推，2022年度記為7；y表示該年度使用的用戶數(shù)，單位：千戶）．x1234567y79213666100198根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點圖．（1）根據(jù)散點圖判斷，在這7年內(nèi)，與（c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個適宜作為該地區(qū)華為云用戶數(shù)（千戶）關(guān)于年度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，估計2023年度用戶數(shù)（保留到千戶位）；（2）該地區(qū)按用戶使用華為云服務(wù)的時間，從高到低評為三個等第的星級，其中連續(xù)使用華為云5年以上的用戶評為“五星用戶”，三年以上五年以下的用戶評為“三星用戶”，其它用戶評為“星級用戶”，每位用戶年服務(wù)費按星級從高到低依次為50元、70元、90元．為了拓展用戶數(shù)量，該地區(qū)今年推出一項用戶星級升級的抽獎活動，每位用戶可抽獎兩次，每次抽獎有的概率升兩級，有的概率升一級，還有的概率不升級，最高升為“五星用戶”．現(xiàn)某家庭有2位華為云用戶，其中甲是“三星用戶”，乙是“星級用戶”，求今年該家庭支付華為云服務(wù)費的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：62.431.54254850.123.47其中．參考公式：經(jīng)驗回歸直線方程中斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為．21．（本小題滿分12分）已知雙曲線的一個焦點到其一條漸近線的距離等于其離心率．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與橢圓相切，且與雙曲線的左、右支分別交于兩點，與雙曲線的漸近線分別交于兩點．為坐標原點，記的面積分別為，當時，求直線的方程．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)與分別是與的導(dǎo)函數(shù)．（1）證明：當時，方程在上有且僅有一個實數(shù)根；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．天壹名校聯(lián)盟·2023屆高三5月沖刺壓軸大聯(lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則1．【答案】A【解析】集合，∴，元素個數(shù)為1．故選A．【命題意圖】本題考查簡單的對數(shù)不等式的解法及集合的交集運算，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易．2．【答案】B【解析】，所以要使為純虛數(shù)，則，解得：．故選B．【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算，考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．【難度】容易．3．【答案】D【解析】．故選D．【命題意圖】本題是選用教材《選擇性必修第二冊》第57頁第14題改編，考查等比數(shù)列的求和，滲透數(shù)列的極限，等比數(shù)列各項和，考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，提醒學(xué)生回歸教材，重視基礎(chǔ)，適度延展．【難度】容易．4．【答案】C【解析】∵向量在向量上的投影向量為，∴又，∴．故選C．【命題意圖】本題考查平面向量的基本運算，線性運算，數(shù)量積運算，投影向量的概念，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易．5．【答案】B【解析】法一：由題意可知，（為銳角），∴，．故選B．法二：由題意可知，（為銳角）∴，．故選B．【命題意圖】本題考查直線的傾斜角與斜率，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易．6．【答案】A【解析】設(shè)必須馬上維修記為事件，則不需要馬上維修為，而表示9盞燈正常，且在9盞的中間有任意2盞都不相鄰的3盞已壞的燈，∴，∴．故選A．【命題意圖】本題考查古典概型概率的計算，對立事件概率之間的關(guān)系，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易7．【答案】C【解析】如圖，作出該幾何體的軸截面得到如圖所示的平面圖形，設(shè)該圓錐的內(nèi)切球球心為，底面圓的圓心為點，底面半徑為，高為，法一：由等面積法可得：，化簡得：，又：，∴，當且僅當，即時取等號．故選C．法二：如圖：，∴，∴，∵，∴，∴，當且僅當，即時取等號．【命題意圖】本題考查球與幾何體的切接，基本不等式，考查直觀想象與邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】中等偏難8．【答案】B【解析】由平面幾何知識可知：，連接．設(shè)，則，在中，由勾股定理有，解得，∴，在中，由，得，解得．故選B．【命題意圖】本題考查雙曲線的定義，幾何性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】較難9．【答案】AD【解析】由圖可知，∴，且在內(nèi)，隨著的增大而增大，∴，∴對于A：∵，∴A正確；對于B：∵，∴，∴，∴B錯誤；對于C：當時，，∴C錯誤；對于D：時，，∴當時，位移隨著時間的增大而增大，∴D正確．故選AD．【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及實際應(yīng)用，考查直觀想象與數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易10．【答案】BC【解析】對于A：根據(jù)二項分布的方差公式可得：，∴，∴A錯誤；對于B：，∴這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第8個數(shù)158，∴B正確；對于C：∵，∴，∴，根據(jù)事件獨立性的定義可知：事件與相互獨立，∴C正確；對于D：根據(jù)的值以及常用的概率值與相應(yīng)臨界值可知：依據(jù)的獨立性檢驗可得：變量與相互獨立，這個結(jié)論錯誤的概率不超過0.1．∴D錯誤．故選BC【命題意圖】本題考查概率與統(tǒng)計的一些基本概念與基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)抽象與數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易11．【答案】ACD【解析】對于A：直線的方程可化為，聯(lián)立解得所以直線恒過定點，∴A正確；對于B：直線不能表示直線，也不能表示不過點的直線，∴B錯誤；對于C，直線恒過圓內(nèi)一點，所以直線與圓相交，∴C正確；對于D，當直線時，直線被圓截得的弦長最短，所以最短弦長為，∴D正確．故選ACD．【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)直觀與邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易12．【答案】BCD【解析】如圖建立空間直角坐標系，則∵直線與的夾角為，當點在側(cè)面上時，，不合題意；當點在底面和側(cè)面上時，點到直線的距離大于的長度，此時，與的夾角大于；當點在側(cè)面和底面上時，可知線段滿足題意；當點在側(cè)面上時，由，可知，此時弧為所求．∴點的軌跡為線段，弧，顯然線段，弧不共面，∴A錯誤；對于B：點的軌跡長度為，∴B正確；對于C：若在線段上，則的最小值為1；同理：若在線段上，則的最小值也為1；若在弧上，則的最小值為；∴C正確；對于D：，且，由題意設(shè)，則，等號當且僅當，且，即時成立．∴D正確．故選BCD．【命題意圖】本題考查空間兩點間距離公式，空間幾何體與平面解析幾何結(jié)合問題，考查數(shù)學(xué)直觀與邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】較難13．【答案】12000【解析】∵總體密度函數(shù)為：，∴，由，得，∴超過100分的人數(shù)大約為．【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的概念以及概率計算，考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易14．【答案】【解析】∵是奇函數(shù)，∴對恒成立，即對恒成立，∴．，∴曲線在點處的切線方程為，化簡得．【命題意圖】本題考查函數(shù)奇偶性的定義、基本求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易15．【答案】【解析】∵過點且斜率為正的直線與拋物線相交于兩點，設(shè)聯(lián)立可得，∴，∴，由，可得，∴，∴的方程為，∴由在圓上，可知圓心的橫坐標為，設(shè)圓心為，則半徑，∴圓的方程為，∵該圓與相切，，解得或（舍去），此時圓的方程為，聯(lián)立方程可求得，又由，三點的坐標易知．【命題意圖】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，考查邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】中檔16．【答案】【解析】當時，，符合題意；當時，令，則，可化為，令，則，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，所以的最小值為，對于任意，都有等價于即對于①：由在上單調(diào)遞增，且，可知，即且．在且的條件下，對②：由時，單調(diào)遞減，可得，②成立．綜上可知：實數(shù)的取值范圍為．【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，不等式恒成立問題，考查邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】較難17．【答案】（1）略  （2）【解析】（1）證明：由，可得，∴是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）知：，∴∴∴．【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的定義，通項公式，裂項求和法求簡單數(shù)列的和，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易18．【答案】（1）  （2）【解析】（1）∵，且，∴，由正弦定理知：（是外接圓半徑），∴，∴，即，而是的三內(nèi)角，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，，即外接圓半徑的最小值為．【命題意圖】本題考查正、余弦定理，簡單的三角恒等變換，考查邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易19．【答案】（1）略  （2）【解析】（1）證明：由三棱臺知：，在梯形中，取的中點，連接，則四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴平面，∴平面平面；（2）解：由（1）知：平面平面；取的中點的中點，連接，由條件知：四邊形是等腰梯形，∴，∴平面，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖，則在等腰梯形中，由平面幾何知識可得：，∴，設(shè)平面的法向量，則由得令，得，∴，又平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則．【命題意圖】本題考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，平面與平面的夾角，空間向量的坐標運算，考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】容易20．【答案】（1）時，千戶（2）甲服務(wù)費為70元的概率是，50元的概率是；乙服務(wù)費為90元的概率是，70元的概率是，50元的概率是．服務(wù)費的分布列為：160140120100元【解析】（1）由散點圖可知：比較適宜，由得：，即，是的一次函數(shù)關(guān)系，，，當時，千戶；（2）由題意可知：抽獎后，甲服務(wù)費為70元的概率是，50元的概率是；乙服務(wù)費為90元的概率是，70元的概率是，50元的概率是．∴今年該家庭支付的服務(wù)費的分布列為：160140120100元．【命題意圖】本題考查最小二乘法求非線性經(jīng)驗回歸方程，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】中檔21．【答案】（1）  （2）【解析】（1）由題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，左焦點為，斜率為正的漸近線方程為，則，解得，∴雙曲線的方程為；（2）由題意可得的斜率一定存在且，設(shè)，由可得，即．∵直線與橢圓相切，∴，化簡得，由可得，即．設(shè)，∴，∴，，到的距離；由可得，由可得．；由可得，∴，∴，化簡得，解得或（舍去），此時．∴的方程為，即．【命題意圖】本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【難度】較難22．【答案】（1）略  （2）【解析】（1）證明：．當時，．令，令，則，顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)，且，∴在上有唯一零點，且時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增．又，，∴在上有唯一的根，∴在上有唯一零點，即在上有且僅有一個實數(shù)根；（2）∵，令，則，等價于：，，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，，故即在上單調(diào)遞增，．（1）當時，，∴在上單調(diào)遞增，∴；（2）當時，，取，則，∴，∴，使得，時，單調(diào)遞減，此時，不符合題意．綜上可知：的取值范圍為．【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)、不等式中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．【難度】難
 

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