張家口市宣化區(qū)2023屆高三下學期第三次模擬數學試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．復數滿足，則（    ）A． B． C． D．53．如圖，一種工業(yè)部件是由一個圓臺挖去一個圓錐所構成的．已知圓臺的上、下底面直徑分別為和，且圓臺的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺的上底面，頂點在圓臺的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（    ）A． B． C． D．4．如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個雁柱，雁柱用于調整音高和音質.圖2是根據圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間的距離為1，雁柱所在曲線的方程為，第n根弦（，從左數第1根弦在y軸上，稱為第0根弦）分別與雁柱曲線和直線交于點（，）和（，），則(     )   參考數據：取.A．814 B．900 C．914 D．10005．如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（    ）A． B． C． D．6．已知，均為銳角，且，則的最大值是（    ）A． B． C． D．7．已知正方形的邊長為是它的外接圓的一條弦，點為正方形四條邊上的動點，當弦的長度最大時，的取值范圍是（    ）A． B． C． D．8．已知是函數的零點，是函數的零點，且滿足，則實數的最小值是(    )A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分）9．將函數（）的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象．若是的一個單調遞增區(qū)間，則以下結論正確的為（    ）A．的最小正周期為                B．在上單調遞增C．函數的最大值為    D．方程在上有個實數根10．如圖，正方體棱長為，是直線上的一個動點，則下列結論中正確的是（    ）A．的最小值為B．的最小值為C．三棱錐的體積不變D．以點為球心，為半徑的球面與面的交線長11．已知函數及其導函數的定義域都為，對于任意的，都有成立，則下列說法正確的是（    ）．A．           B．若，則C．為偶函數     D．若，則12．設，為橢圓的左，右焦點，直線過交橢圓于A，B兩點，則以下說法正確的是（    ）A．的周長為定值8 B．的面積最大值為C．的最小值為8 D．存在直線l使得的重心為三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設，則________．14．已知正實數滿足，則的最小值為___________.15．如圖，在正方體中，，若為棱上動點，為線段上的點，且，若與平面所成角的正切值為，則三棱錐的外接球表面積為______．16．已知分別為橢圓的左，右焦點，是橢圓上兩點，線段經過點，且，則橢圓的離心率為__________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明步驟或演算步驟） 17．（本小題滿分10分）在三角形ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求BC邊上的高AD的最大值． 18．（本小題滿分12分）記為數列的前項和，已知.(1)求的通項公式；(2)令，記數列的前項和為，試求除以3的余數.  19（本小題滿分12分）如圖，已知在四棱錐中，為中點，平面平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．  20．（本小題滿分12分）教育局計劃舉辦知識競賽，先在，，，四個賽區(qū)舉辦預賽，每位參賽選手先參加“賽區(qū)預賽”，預賽得分不低于100分就可以成功晉級決賽，每個賽區(qū)預賽中，成功晉級并且得分最高的選手獲得一次決賽中的“錯題重答”特權.賽區(qū)預賽的具體規(guī)則如下：每位選手可以在以下兩種答題方式中任意選擇一種答題.方式一：每輪必答2個問題，共回答6輪，每輪答題只要不是2題都錯，則該輪次中參賽選手得20分，否則得0分，各輪答題的得分之和即為預賽得分；方式二：每輪必答3個問題，共回答4輪，在每一輪答題中，若答對不少于2題，則該輪次中參賽選手得30分，如果僅答對1題，則得20分，否則得0分.各輪答題的得分之和即為預賽得分.記某選手每個問題答對的概率均為.（1）若，該選手選擇方式二答題，求其晉級的概率；（2）證明：該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等. 21．（本小題滿分12分）已知、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點（異于的左、右頂點）的周長為6，且面積的最大值為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若為直線與橢圓的另一個交點，求內切圓面積的最大值． 22．（本小題滿分12分）已知函數.(1)若的導函數為，試討論的單調性；(2)若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.
張家口市宣化區(qū)2023屆高三下學期第三次模擬數學 參考答案 1．C    2．C   3．A    4．C【解】由條件可得   ①，所以  ②，①－②得：，，所以.故選：C.5．B【解】解：當一條直線位置于上（或下）底面，另一條不在底面時，共有對異面直線，當兩條直線都位于上下底面時，有對異面直線，當兩條直線都不在上下底面時，有對異面直線，所以，兩條棱所在的直線為異面直線的概率為  故選：B6．C【解】∵，∴，即，∴，即，又因為為銳角，所以該方程有解，即，解得．又為銳角，∴．所以的最大值是.（也可以利用均值定理求最大值）故選：C7．A【解】當弦的長度最大時，弦過正方形的外接圓的圓心，因為正方形的邊長為2，所以圓的半徑為，如下圖所示：則，，所以，.因為點為正方形四條邊上的動點，所以，又，所以，故選：A.8．A【解】，，當時，單調遞減，當時，單調遞增，為方程的根，即﹒故，即為，解得﹒是函數的零點，方程在上有解﹒即在上有解﹒，在上有解﹒令，，設，則，易知h(t)在上單調遞增，在上單調遞減﹒又，﹒﹒故實數a的最小值是﹒9．ACD【解】函數圖象右移個單位后為，因為是的一個單調遞增區(qū)間，所以，即，，解得，因為，以，故，的周期為，故A正確；令，,得，，即故在上單調遞增，故B錯誤；又，所以的最大值為，故C正確；當時，令，則或或或或，即與直線在上有個交點，又所以與直線在上有個交點，即方程在上有個實數根，故D正確．故選：ACD．10．ACD【解】對于A，在中，，即是邊長為的等邊三角形，的最小值為的高，，A正確；對于B，將與矩形沿翻折到一個平面內，如圖所示，則的最小值為；又，，，在中，由余弦定理得：，，即，B錯誤；對于C，平面，平面，；四邊形為正方形，，又，平面，平面；，即三棱錐的體積不變，C正確；對于D，設點到平面的距離為，，，即，解得：，以點為球心，為半徑的球面與平面的交線是以為半徑的圓，交線長為，D正確.故選：ACD.11．BD【解】令，則，解得或，故A錯誤；令，，所以，令，，則，解得，故B正確；當時，令，則有，所以，，當，令，則有，所以，所以，所以為奇函數，綜上，為奇函數，故C錯誤；令，則，所以，故D正確．故選：BD．12．ACD【解】由橢圓，可得，所以為，故A正確；因為，，當且僅當取等號，故C正確；由題可設直線的方程為，由，可得，設，則，所以，所以的面積為，令，則，，因為，，所以，故B錯誤；，，又，所以的重心為，令，解得，所以當直線的方程為時的重心為，故D正確.故選：ACD.13．【解】∵，∴，∴.故答案為：.14．【解】由，得，令，則在上單調遞增，所以，即，又因為是正實數，所以，當且僅當，即時等號成立。15．【解】如圖，連接因為平面，則為與平面所成角的平面角，即，所以.因為平面，所以，又，   所以平面，則，所以，而，所以，則，所以.半徑，故三棱錐的外接球表面積為.故答案為：16．【解】不妨設，那么，因為，所以，因為，得，所以，則，因為，則，即，所以，即，解得．故答案為：．17．(1)；(2).【解】（1）根據正弦定理可得，又，∴．∵,∴．（2），∴，當且僅當時取等號.∵，∴，，∴，∴AD的最大值為. 18．(1)     (2) 2【解】（1）由有，即，又，故，所以數列是以1為首項，為公差的等差數列，所以，即，故，兩式相減得，即，所以，因此.（2）由（1）及，有，所以，，因為均為正整數，所以存在正整數使得，故，所以除以3的余數為2.19．（1）見解析；（2）（1）證明：∵，，，，∴，，，，∴，∵平面平面,兩平面的交線為 ∴平面，∴，∵，為中點，∴，梯形中與相交 ∴底面，∴平面平面．（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，∴，，，，設平面的一個法向量為，平面的法向量為，則由可得取，得，，即，同理，∴．故二面角的余弦值為．20．（1）；（2）證明見解析.【解】：（1）選擇方式二，則得分可取值為0，20，30，且，，記預賽得分為，∴該選手所以選擇方式二答題晉級的概率為.（2）該選手選擇方式一答題：設每輪得分為，則可取值為0，20，且，∴，設預賽得分為，則，.該選手選擇方式二答題：設每輪得分為，則可取值為0，20，30，且，，，∴.設預賽得分為，則，因為，所以選擇兩種方式得分期望相等.21．(1)(2)【解】（1）解：設橢圓的焦距為，因為為橢圓上的動點（異于的左、右頂點）的周長為6，所以①，因為面積的最大值為，所以由橢圓性質得當為短軸端點時，面積的最大，即②，因為③，所以，由①②③解得，所以，橢圓的標準方程為.（2）解：設內切圓的半徑為，所以，根據等面積法，所以，內切圓面積的最大時，的面積最大，由題知，設，與橢圓聯立方程得，設，則，所以，，令，則，設，則由對勾函數單調性可知，在上單調遞增，所以，當時，即時，的面積最大，最大值為，此時，所以，內切圓面積的最大值為22．(1)答案見解析   (2)  【解】（1）解：由已知，則，①當時，，得在單調遞減；②當時，，得在單調遞減，在單調遞增，綜上：當時，函數在單調遞減；當時，函數在單調遞減，在單調遞增.（2）解：即對恒成立，整理得，令，則求導得，注意到，而，①當時，因為，故有，，記，則，利用（證明略）得，所以，所以在單調遞增，故，所以對任意的恒成立，②當時，根據①中的放縮得，，（i）若時，，不成立，（ii）若時，當時，不符合題意，綜上所述，實數的取值范圍是.
  

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