2023屆河北省高三模擬（四）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，若．則實數(shù)的最大值為（    ）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】先化簡集合A，再利用題給條件得到關(guān)于實數(shù)的不等式，進而得到實數(shù)的最大值.【詳解】或，又或，則，則實數(shù)的最大值為故選：C2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，若為純虛數(shù)．則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再根據(jù)純虛數(shù)的定義求出，即可得解.【詳解】由，得，因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以.故選：B.3．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和正切公式得，再利用二倍角公式化簡，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，代入計算可得.【詳解】因為，所以，則.故選：D4．山東煙臺某地種植的蘋果按果徑（單位：）的大小分級，其中的蘋果為特級，且該地種植的蘋果果徑．若在某一次采摘中，該地果農(nóng)采摘了2萬個蘋果，則其中特級蘋果的個數(shù)約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946【答案】C【分析】先根據(jù)原則求出的概率，再乘以即可得解.【詳解】由，得，，，所以，所以特級蘋果的個數(shù)約為個.故選：C.5．?dāng)?shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前七項分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項為（    ）A．173 B．171 C．155 D．151【答案】A【分析】根據(jù)題意得到的通項公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意得新數(shù)列為，則二階等差數(shù)列 的通項公式為，則故選：A.6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，A為左頂點，B為短軸的一個端點，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，則圓C的離心率為（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得出關(guān)于的齊次方程，變形后可求得離心率．【詳解】由題可知，因為，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，即，所以，解得或（舍）．故選：D．7．已知點在棱長為的正方體的外接球的球面上，當(dāng)的面積最大時，過，，三點的平面截正方體各面所得截線的長度之和的值為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)底面正方形的中心為，由球的截面性質(zhì)結(jié)合條件確定截面的位置，由此確定平面，再求正方體被該平面截得的截線的長度.【詳解】設(shè)底面正方形的中心為，因為，則當(dāng)點到的距離最大時，的面積最大，當(dāng)點P，O，三點共線時，點到的距離最大，則當(dāng)的面積最大時，點P，O，三點共線，因為平面，所以平面，此時平面截正方體的截面即為矩形，所以．故選：A．8．已知拋物線的焦點為F，圓，過點F的直線與圓M交于C，D兩點，交拋物線E于A，B兩點，點A，C位于軸上方，則滿足的直線的方程為（　?。?/span>A．B．C．或D．或或【答案】B【分析】易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，直線方程分別聯(lián)立拋物線方程和圓的方程，利用韋達(dá)定理可得、，結(jié)合即列方程，解之即可.【詳解】由題可知，當(dāng)直線的斜率為0時，不適合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，由，得，則，設(shè)，，，則，，所以．由，得，設(shè)，，，則，因為，所以，若，則，此時，則直線為，符合題意；若，則，所以，此方程無解．綜上所述，直線的方程為2．故選：B． 二、多選題9．下列結(jié)論錯誤的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷AC；利用反例即可判斷B；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，滿足，故由，不一定能得到，故A錯誤；對于B，若，，則滿足，但，故B錯誤；對于C，若，由不等式可得，故C正確；對于D，若，則，解得，故D錯誤.故選：ABD.10．已知．則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A選項令求解判斷；B選項利用的展開式的通項公式求解判斷；CD選項利用賦值法令，求解判斷.【詳解】解：由，令得，故A正確；由的展開式的通項公式，得，故B錯誤；令，得①，再由，得，故C錯誤；令，得②，①②再除以2得，故D正確；故選：AD11．已知函數(shù)，若，且直線與函數(shù)的交點之間的最短距離為，則（    ）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)【答案】AB【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項進行檢驗即可求解.【詳解】由題知直線與函數(shù)的交點之間的最短距離為，所以，故A正確；由A可知，，所以，又由可知的圖象關(guān)于點對稱，所以，即，，又因為，所以當(dāng)時，，所以，時，，?，故B正確；因為，故C錯誤；函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯誤．故選：AB．12．已知函數(shù)，，則（    ）A．當(dāng)沒有零點時，實數(shù)的取值范圍為B．當(dāng)恰有1個零點時，實數(shù)的取值范圍為C．當(dāng)恰有2個零點時，實數(shù)的取值范圍為D．當(dāng)恰有3個零點時，實數(shù)的取值范圍為【答案】CD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的圖象，設(shè)，，將的零點問題，轉(zhuǎn)化為的實根個數(shù)問題，分類討論，結(jié)合的圖象得的實根個數(shù)可得答案.【詳解】由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，時，，時，，的圖象如圖：令，，則，令，得，得或，當(dāng)時，，，此時，即必有零點，故A錯誤；當(dāng)時，有唯一實根，由的圖象可知，恰有一個實根，此時有唯一實根；當(dāng)時，因為，，則無實根，故有唯一實根；當(dāng)時，，由的圖象可知，只有一個實根，此時恰有2個零點，為和，當(dāng)時，由得，由的圖象可知，恰有一個正根，此時恰有2個零點，當(dāng)時，方程有唯一實根，設(shè)為，則，由的圖象可知，有兩個非零實根，此時恰有3個零點，綜上所述：當(dāng)恰有1個零點時，實數(shù)的取值范圍為，故B錯誤；當(dāng)恰有2個零點時，實數(shù)的取值范圍為，故C正確； 當(dāng)恰有3個零點時，實數(shù)的取值范圍為，故D正確.故選：CD【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 三、填空題13．2022年8月16日，航天員的出艙主通道——問天實驗艙氣閘艙首次亮相．某高中為了解學(xué)生對這一新聞的關(guān)注度，利用分層抽樣的方法從高中三個年級中抽取了36人進行問卷調(diào)查，其中高一年級抽取了15人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學(xué)生900人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為_________人．【答案】【分析】根據(jù)題意求得每個學(xué)生抽到的概率，結(jié)合分層抽樣列出方程，即可求解.【詳解】利用分層抽樣的方法從三個年級中抽取了36人進行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了15人,12人，可得高三年級抽取了9人，又由高三年級共有900名學(xué)生，則每個學(xué)生被抽到的概率為，設(shè)該校共有名學(xué)生，可得，解得（人），即該校共有名學(xué)生.故答案為：.14．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【分析】令，易得函數(shù)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，則不等式，即為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由函數(shù)都是增函數(shù)，可得為增函數(shù)，，則不等式，即為，即，即，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．如圖，在邊長為2的正方形中．以為圓心，1為半徑的圓分別交，于點，．當(dāng)點在劣弧上運動時，的最小值為_________．【答案】/【分析】以點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，以點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，則，由，得，所以當(dāng)，即時，取得最小值.故答案為：. 四、雙空題16．中國有悠久的建筑文化，魯班鎖就是其中一種，魯班鎖的形狀種類很多，其結(jié)構(gòu)起源于中國古代建筑的榫卯結(jié)構(gòu)，利用了其拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，一般都是易拆難裝．現(xiàn)有如圖（1）的魯班鎖，其各個面是由正三角形與正八邊形構(gòu)成的，圖（2）是該魯班鎖的直觀圖，則該魯班鎖的各個面中為正三角形的面有________個，若該魯班鎖每條棱的長均為1，則該魯班鎖表面中為正八邊形的面的面積之和為________．【答案】     8；     .【分析】（1）觀察直觀圖可知各個面中為正三角形的面的個數(shù)；（2）畫出正八邊形的平面圖，利用割補法求出每個正八邊形的面積即得解.【詳解】從圖（2）的直觀圖中可知，各個面中為正三角形的面共有8個．由直觀圖可知表面為正八邊形的面有6個，如圖為正八邊形的平面圖，易得，分別過點，作，，垂足分別為M，N，則，則每個正八邊形的面積為，所以該魯班鎖表面的所有正八邊形的面的面積之和為.故答案為：8；. 五、解答題17．在正項數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意因式分解可得，即，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解；（2）分和兩種情況去絕對值符號，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式即可得解.【詳解】（1）由，得，因為，所以，又，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2），當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，.18．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若_________．在以下兩個條件中任選一個：①；②，并解答下列問題．(1)求角；(2)若的外接圓半徑為．求面積的最大值．注：如果選擇多個條件分別解答．則按第一個解答計分．【答案】(1)(2) 【分析】（1）若選①利用正弦定理和余弦定理即可求解；若選②利用正弦定理將邊化角即可求解；（2）結(jié)合（1）結(jié)論，利用正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式得到，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）若選①：因為，所以由正弦定理得，即，又由余弦定理得，所以，又因為，所以．選②：由得，則由正弦定理得，因為A，，所以，所以，所以．（2）由（1）可知，又正弦定理可得，解得，則由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，所以，所以面積的最大值為．19．如圖，在正三棱臺中，，正三棱臺的體積為．(1)求側(cè)棱的長；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由三棱臺體積公式可求出正三棱臺的高，即可利用勾股定理求出側(cè)棱長；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦即可.【詳解】（1）由題知，，且為正三角形，所以，，設(shè)正三棱臺的高為，則，解得，設(shè)正三棱臺的上、下底面的中心分別為，連接，則，，所以，即側(cè)棱長為.（2）延長CO交AB于點E，則E為AB的中點，所以OE⊥AB,過點O作OF//AB交BC于點F，則OE⊥OF，連接，則OE，OF，兩兩垂直.所以以為坐標(biāo)原點，分別以OE, OF, 所在直線為x，y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則,,,,，，所以,,設(shè)平面BCC1B1的法向量為，則 ，令，則，所以，設(shè)直線AA1與平面BCC1B1所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.20．2022世界機器人大會在北京召開，來自各個領(lǐng)域的參展機器人給參觀者帶來了不同的高科技體驗．現(xiàn)有A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人，其工作程序依次分為三個步驟：分撿，歸類，處理，每個步驟完成后進入下一步驟．若分撿步驟完成并且效能達(dá)到95%及以上，則該步驟得分為20分，若歸類步驟完成并且效能達(dá)到95%及以上，則該步驟得分為30分，若處理步驟完成并且效能達(dá)到95%及以上，則該步驟得分為50分．若各步驟完成但效能沒有達(dá)到95%，則該步驟得分為0分，在第三個步驟完成后，機器人停止工作．現(xiàn)已知A款機器人完成各步驟且效能達(dá)到95%及以上的概率依次為，，，B款機器人完成各步驟且效能達(dá)到95%及以上的概率均為，每款機器人完成每個步驟且效能是否達(dá)到95%及以上都相互獨立．(1)求B款機器人只有一個步驟的效能達(dá)到95%及以上的概率；(2)若準(zhǔn)備在A，B兩種型號的小型家庭生活廢品處理機器人中選擇一款機器人，從最后總得分的期望角度來分析，你會選擇哪一種型號？【答案】(1)；(2)應(yīng)該選擇種型號的機器人． 【分析】（1）記“B款機器人只有一個步驟的效能達(dá)到及以上”為事件，利用獨立重復(fù)性試驗的概率公式求解；（2）設(shè)款機器人完成所有工作總得分為，求出；設(shè)款機器人完成所有工作總得分為，求出,比較和即得解.【詳解】（1）記“B款機器人只有一個步驟的效能達(dá)到及以上”為事件，則．（2）設(shè)款機器人完成所有工作總得分為，則的可能取值為，所以，，，，，，，所以的分布列為：02030507080100則．設(shè)款機器人完成所有工作總得分為，則的可能取值為，所以，，所以的分布列為：02030507080100則因為，所以，所以從最后總得分的期望角度來分析，應(yīng)該選擇種型號的機器人．21．已知點在雙曲線上，且的離心率為，直線交的左支于，兩點，直線，的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若，直線，與軸的交點分別為，，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程組，求出橢圓方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)直線，的斜率之和為0，化簡整理即可得出答案;（2）由直線AP，AQ的斜率之和為0，得它們的傾斜角互補，從而由已知正切值求得兩直線斜率，得直線方程，從而求得兩點的坐標(biāo)，然后可計算出三角形面積．【詳解】（1）由題意得，解得，所以雙曲線的方程為，由題意直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，則，則，，由，得，即，即，整理得，則，整理得，即，因為直線不過點，所以，即，所以，所以，即直線的斜率為；（2）不妨設(shè)直線AP，AQ的傾斜角分別為，，因為，所以，則，故，因為，所以，即，解得或（舍），所以直線，直線．在直線中，令，得，所以，同理得，所以，所以的面積為．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：恒成立；(2)當(dāng)時，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）分兩種情況和求出函數(shù)最值證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)證明，結(jié)合對數(shù)運算及裂項相消證明不等式【詳解】（1）函數(shù)時,,單調(diào)遞減，當(dāng),單調(diào)遞減，,令,,單調(diào)遞增，,恒成立，當(dāng),所以時， 恒成立；（2）,,單調(diào)遞減，,恒成立,l,,令,可得 令,可得 令,可得 兩邊相加可得  

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