天津市南開(kāi)中學(xué)2023屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知全集，集合，，則（    ）A． B． C． D．2．函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．3．已知，，則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的　　 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞5．設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則 (　　)．A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c6．若向量，滿(mǎn)足：，，，，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．7．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A且離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù)的最大負(fù)零點(diǎn)在區(qū)間上，則的取值范圍是A． B． C． D．9．直線l：ax+ y﹣1=0與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，直線l與圓O：x2+y2=1的交點(diǎn)為C，D，給出下面三個(gè)結(jié)論：①?a≥1，S△AOB=；②?a≥1，|AB|＜|CD|；③?a≥1，S△COD＜.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空題10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，且，則______．11．某次體檢，位同學(xué)的身高（單位：米）分別為，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是_________（米）12．的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為________.（用數(shù)字作答）13．海棠同學(xué)在參加南開(kāi)中學(xué)陶藝社時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為32厘米的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為厘米，則該球的表面積為_________平方厘米.   三、雙空題14．某校從5名學(xué)生中選派3人參加勞動(dòng)技能大賽，已知這5名學(xué)生中有高一年級(jí)學(xué)生2名，高二年級(jí)學(xué)生2名，高三年級(jí)學(xué)生1名，則所選3人分別來(lái)自不同年級(jí)的概率為___________，記所選3人中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望___________. 四、填空題15．已知，函數(shù)若對(duì)任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________． 五、解答題16．在中，，，分別為角，，所對(duì)的邊，且.(1)求角的大?。?/span>(2)若，求的值.17．在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點(diǎn)，在線段上，且.  (1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．已知數(shù)列是首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè).(1)求證：是等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)在（2）的條件下，記，若對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.19．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn).（i）若軸上存在點(diǎn)，對(duì)于任意的，都有（為原點(diǎn)），求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）射線（為原點(diǎn)）與橢圓交于點(diǎn)，滿(mǎn)足，求正數(shù)的值.20．已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)時(shí)，若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)的集合；（ii）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)有且僅有3條直線與函數(shù)的圖象相切，求證：當(dāng)時(shí)，.
參考答案：1．B【解析】由已知集合，根據(jù)交補(bǔ)運(yùn)算求即可.【詳解】由題意知：，而，∴，故選：B2．C【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，利用排除法分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)，有函數(shù)，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除A?B ；當(dāng)時(shí)，，則恒有，排除D；故選：C.3．B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)得出“函數(shù)是奇函數(shù)”的等價(jià)條件，再根據(jù)“” 或；由充分必要條件的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，若為奇函數(shù)，則，即，，即函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是，，或， “”推不出“函數(shù)是奇函數(shù)”，“函數(shù)是奇函數(shù)” 可以得到“”；則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．4．B【詳解】設(shè)塔頂?shù)?/span>a1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故選B．5．D【詳解】試題分析：，，；且；.考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性. 6．D【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義求出在上的投影，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】在上的投影為，所以在上的投影為.故選：D.7．D【解析】先求出拋物線的方程，從而得到的值，根據(jù)離心率得到漸近線方程，由漸近線與直線垂直得到的值，從而可得雙曲線的方程.【詳解】因?yàn)?/span>到其焦點(diǎn)的距離為5，故，故，故拋物線的方程為，故.因?yàn)殡x心率為，故，故，根據(jù)拋物線和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在第一象限，則，則與漸近線垂直，故，故，故，故雙曲線方程為：.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，解題中注意利用這個(gè)結(jié)論.（2）如果直線與直線垂直，那么.8．D【分析】利用函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象的位置特征，列出關(guān)于的關(guān)系式，最后確定取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象,所以 ， ，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有①；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，而，所以函數(shù)的最大負(fù)零點(diǎn)為，它在區(qū)間上，所以有②，結(jié)合①②，的取值范圍是，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)圖象的變換規(guī)律，正弦型函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，考查了運(yùn)算能力.9．C【分析】①當(dāng)a≥1時(shí)，分別可得直線的截距，由三角形的面積公式易得結(jié)論①正確；②當(dāng)a≥1時(shí)，反證法可得結(jié)論②錯(cuò)誤；③由三角形的面積公式可得S△CODsin∠AOC，可得結(jié)論③正確．【詳解】解：①當(dāng)a≥1時(shí)，把x＝0代入直線方程可得y＝a，把y＝0代入直線方程可得x，∴S△AOBa，故結(jié)論①正確；②當(dāng)a≥1時(shí)，|AB|，故|AB|2＝a2，直線l可化為a2x+y﹣a＝0，圓心O到l的距離d，故|CD|2＝4（1﹣d2）＝4（1），假設(shè)|AB|＜|CD|，則|AB|2＜|CD|2，即a24（1），整理可得（a2）2﹣4（a2）+4＜0，即（a22）2＜0，顯然矛盾，故結(jié)論②錯(cuò)誤；S△COD|OA||OC|sin∠AOCsin∠AOC，故?a≥1，使得S△COD，結(jié)論③正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及基本不等式和三角形的面積公式，屬中檔題．10．i【分析】由已知求得z2＝1+i，代入，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】∵復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，且z1＝﹣1+i，則z2＝1+i，∴，故答案為i．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．11．【分析】首先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】將這個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，因?yàn)?/span>，故第百分位數(shù)為第個(gè)數(shù).故答案為：12．【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得，所以，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.13．【分析】先根據(jù)截面圓周長(zhǎng)和正方體的棱長(zhǎng)求出球的半徑，即可求出球的表面積.【詳解】截面圓的周長(zhǎng)為，則截面圓的半徑為，  如圖，設(shè)球心為，截面圓的圓心為，為截面圓上一點(diǎn)，則由題意，，所以，該球的表面積為(平方厘米)，故答案為：14．          【解析】（1）利用古典概率模型進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；（2）求出隨機(jī)變量可能取值的概率，再代入期望的計(jì)算公式；【詳解】（1）；（2）隨機(jī)變量可能取值為，則，，，，故答案為：；15．【分析】由題意分類(lèi)討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時(shí)，，則；綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱(chēng)軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．16．(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式、輔助角公式及誘導(dǎo)公式求出，即可求出，再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）中，，，分別為角，，所對(duì)的邊，且．由余弦定理得，整理得，，，．（2）因?yàn)?/span>，，，即，所以，又，，，．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3) 【分析】（1）（2）（3）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，  則，，，，，，， ， 易知平面的一個(gè)法向量為，故，則，又平面，故平面．（2）易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為， 且，， 則，令，則，，， 設(shè)平面與平面夾角為，易知為銳角，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為，且， 則，令，則，，故， 設(shè)點(diǎn)到平面距離為，．18．(1)證明見(jiàn)解析.(2)(3)11 【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公差，進(jìn)而得到，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和等比數(shù)列的定義，即可得證；(2) 由（1）得 ，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可；(3)根據(jù)題意，求得，設(shè)，判斷其為單調(diào)遞增，求得最小值為，再由恒成立思想可得的范圍，進(jìn)而得到整數(shù)的最大值.【詳解】（1）解：由及，得，所以.因?yàn)?/span>，所以，即.則，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，所以（3）解：因?yàn)?/span>，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意正整數(shù)使不等式恒成立.設(shè)，則.所以，故的最小值是.由，所以，則整數(shù)可取最大值為11.19．（Ⅰ）； （Ⅱ）（i）見(jiàn)解析； （ii）.【分析】(I)根據(jù)橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為，結(jié)合性質(zhì)  ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、，即可得結(jié)果；（Ⅱ）（i）假設(shè)軸上存在著點(diǎn)使得,設(shè) ，與橢圓方程聯(lián)立，求得，利用斜率公式，結(jié)合可求得；（ii）設(shè)所在直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合韋達(dá)定理求出，再由可得，解方程即可得結(jié)果.【詳解】(I)由已知得又  橢圓方程為：,(II) （i）假設(shè)軸上存在著點(diǎn)使得,設(shè)所在的直線方程為：，點(diǎn)由解得，, ，, ，,,解得 軸上存在著點(diǎn) 使得 成立,（ii）設(shè)所在直線方程為，則,到直線的距離：    ,,即,, 解得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、以及解析幾何中的存在性問(wèn)題，屬于難題.解決存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿(mǎn)足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑.20．(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)（i）（ii）證明見(jiàn)解析 【分析】（1）直接利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，需注意定義域；（2）（i）根據(jù)與的單調(diào)性可判斷，只有時(shí)，兩函數(shù)圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（ii）經(jīng)過(guò)點(diǎn)有且僅有3條直線與函數(shù)的圖象相切，可轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)與函數(shù)的圖象相切的的直線有3條，即將代入切線方程后，關(guān)于的方程有3個(gè)根.進(jìn)而轉(zhuǎn)化為有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)的單調(diào)性研究其零點(diǎn)，可得到不等關(guān)系，進(jìn)而可證明不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）（i），因，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在處取得最小值；，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在處取得最大值，故若函數(shù)與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，得，得，故實(shí)數(shù)的集合為.（ii）因，所以，設(shè)點(diǎn)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)，則，，故切線方程為，因在切線上，故， 整理得，因經(jīng)過(guò)點(diǎn)有且僅有3條直線與函數(shù)的圖象相切則設(shè)，有且僅有3個(gè)零點(diǎn).，因，故當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)增，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)減，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)增，故有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，，由得由得，要證成立，只需證成立，即證，因，故只需證，因，所以，故只需證，因，故當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，因，所以，即證.故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：不等式中，考慮到為切線方程得到，故在時(shí)，和有量上的關(guān)系，通過(guò)代入發(fā)現(xiàn)，結(jié)合不等式特點(diǎn)，右邊不等式即證. 

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