?2023年廣東省東莞市宏遠外國語學校中考數(shù)學一模試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．（3分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．x2+x2＝x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（x2y）3＝x6y D．（﹣x）2?x3＝x5
3．（3分）2022年5月17日，工業(yè)和信息化部負責人在“2022世界電信和信息社會日”大會上宣布，我國目前已建成5G基站近160萬個，成為全球首個基于獨立組網(wǎng)模式規(guī)模建設(shè)5G網(wǎng)絡(luò)的國家．將數(shù)據(jù)160萬用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．1.6×102 B．1.6×105 C．1.6×106 D．1.6×107
4．（3分）某中學開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級學生四月份的讀書冊數(shù)，對從中隨機抽取的20名學生的讀書冊數(shù)進行調(diào)查，結(jié)果如右表：
根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，這20名同學讀書冊數(shù)的眾數(shù)，中位數(shù)分別是（　　）
冊數(shù)/冊
1
2
3
4
5
人數(shù)/人
2
5
7
4
2
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數(shù)根x1，x2，滿足x1x2＝2，則的值是（　　）
A．8 B．16 C．32 D．16或40
6．（3分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
7．（3分）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（　?。?br />
A．36 B．24 C．18 D．72
8．（3分）如圖，點A，C為函數(shù)y＝（x＜0）圖象上的兩點，過A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點E，且點E恰好為OC的中點．當△AEC的面積為時，k的值為（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，延長EF交AD邊于點M，若AB＝6，BE＝2，則MF的長為（　　）

A． B．8 C．6 D．
10．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+3x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．下列說法正確的是（　?。?br /> ①線段AC的長度為；②拋物線的對稱軸為直線x＝；③P是此拋物線的對稱軸上的一個動點，當P點坐標為（，）時，|PA﹣PC|的值最大；④若M是x軸上的一個動點，N是此拋物線上的一個動點，如果以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足條件的M點有4個．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
二、填空題（每小題4分，共28分）
11．（4分）不透明袋子中裝有3個紅球，5個黑球，4個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，則摸出紅球的概率是　 ?。?br /> 12．（4分）因式分解：x3﹣6x2+9x＝　 ?。?br /> 13．（4分）關(guān)于x的分式方程+2＝0的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 　 　．
14．（4分）若關(guān)于x的不等式組有且僅有3個整數(shù)解，a的取值范圍是 　 　．
15．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為1980°，則這個多邊形的邊數(shù)為　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，且CD，AB是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的兩根，則cos∠BPD是 　 ?。?br />
17．（4分）如圖，直線與y軸交于點A，與雙曲線在第三象限交于B、C兩點，且AB?AC＝16；下列等邊三角形△E1D1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，……的邊OE1，E1E2，E2E3，……在x軸上，頂點D1，D2，D3，……在該雙曲線第一象限的分支上，則k＝　 　，前25個等邊三角形的周長之和為 　 ?。?br />
三、解答題（一）（每小題6分，共18分）
18．（6分）計算：．
19．（6分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3+．
20．（6分）成都“339”電視塔作為成都市地標性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成都旅游打卡的網(wǎng)紅地．如圖，為測量電視塔觀景臺A處的高度，某數(shù)學興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂D處測得塔A處的仰角為45°，塔底部B處的俯角為22°．已知建筑物的高CD約為61米，請計算觀景臺的高AB的值．
（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

四、解答題（二）（每小題8分，共24分）
21．（8分）為了弘揚愛國主義精神，某校組織了“共和國成就”知識競賽，將成績分為：A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四個等級．小李隨機調(diào)查了部分同學的競賽成績，繪制了如圖統(tǒng)計圖．

（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是 　 　，請補全條形統(tǒng)計圖；
（2）已知調(diào)查對象中只有兩位女生競賽成績不合格，小李準備隨機回訪兩位競賽成績不合格的同學，請用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率；
（3）該校共有2000名學生，請你估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學生人數(shù)．
22．（8分）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．
（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．
23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BD交AC于G，E是BD的中點，連接AE并延長，交CD于點F，F(xiàn)恰好是CD的中點．
（1）求的值；
（2）若CE＝EB，求證：四邊形ABCF是矩形．

五、解答題（三）（每小題10分，共20分）
24．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點P為⊙O外一點，且PA＝PC＝AB，連接PO交AC于點D，延長PO交⊙O于點F．
（1）證明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，證明：PA是⊙O的切線；
（3）在（2）條件下，連接PB交⊙O于點E，連接DE，若BC＝2，求DE的長．

25．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC交于點E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值；
（3）如圖2，連接AC，BC，過點O作直線l∥BC，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點．試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．


2023年廣東省東莞市宏遠外國語學校中考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項正確．
故選：D．
2．（3分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．x2+x2＝x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（x2y）3＝x6y D．（﹣x）2?x3＝x5
【分析】根據(jù)合并同類項法則、完全平方公式、積的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則計算，判斷即可．
【解答】解：x2+x2＝2x2，A錯誤；
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，B錯誤；
（x2y）3＝x6y3，C錯誤；
（﹣x）2?x3＝x2?x3＝x5，D正確；
故選：D．
3．（3分）2022年5月17日，工業(yè)和信息化部負責人在“2022世界電信和信息社會日”大會上宣布，我國目前已建成5G基站近160萬個，成為全球首個基于獨立組網(wǎng)模式規(guī)模建設(shè)5G網(wǎng)絡(luò)的國家．將數(shù)據(jù)160萬用科學記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．1.6×102 B．1.6×105 C．1.6×106 D．1.6×107
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：160萬＝1600000＝1.6×106，
故選：C．
4．（3分）某中學開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級學生四月份的讀書冊數(shù)，對從中隨機抽取的20名學生的讀書冊數(shù)進行調(diào)查，結(jié)果如右表：
根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，這20名同學讀書冊數(shù)的眾數(shù)，中位數(shù)分別是（　?。?br /> 冊數(shù)/冊
1
2
3
4
5
人數(shù)/人
2
5
7
4
2
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義分別進行解答即可．
【解答】解：因為共有20個數(shù)據(jù)，
所以中位數(shù)為第10、11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即中位數(shù)為＝3，
由表格知數(shù)據(jù)3出現(xiàn)了7次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為3．
故選：A．
5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數(shù)根x1，x2，滿足x1x2＝2，則的值是（　?。?br /> A．8 B．16 C．32 D．16或40
【分析】先根據(jù)根的判別式求得m的取值范圍，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m＝2，進而求得m＝2或m＝﹣1，從而求得x1+x2＝﹣4，把原式變形，代入計算即可．
【解答】解：由題意得Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的兩實數(shù)根x1，x2，滿足x1x2＝2，
則x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（+2）（+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32．
故選：C．
6．（3分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)y＝判斷此函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x1＜0＜x2判斷出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中的6＞0，
∴該雙曲線位于第一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∵點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且x1＜0＜x2，
∴點A位于第三象限，點B位于第一象限，
∴y1＜y2．
故選：C．
7．（3分）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（　?。?br />
A．36 B．24 C．18 D．72
【分析】根據(jù)AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根據(jù)垂徑定理求出CD，即可求出四邊形的面積．
【解答】解：如圖，連接OC，

∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝，
∴CD＝2CE＝6，
∴四邊形ACBD的面積＝．
故選：A．
8．（3分）如圖，點A，C為函數(shù)y＝（x＜0）圖象上的兩點，過A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點E，且點E恰好為OC的中點．當△AEC的面積為時，k的值為（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)求出△AEO的面積，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出S△OCD＝1，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解答即可．
【解答】解：∵點E為OC的中點，
∴△AEO的面積＝△AEC的面積＝，
∵點A，C為函數(shù)y＝（x＜0）圖象上的兩點，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四邊形CDBE＝S△AEO＝，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴＝（）2，
∴S△OCD＝1，
則xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故選：B．
9．（3分）如圖，在矩形ABCD中，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，延長EF交AD邊于點M，若AB＝6，BE＝2，則MF的長為（　　）

A． B．8 C．6 D．
【分析】作MN⊥BC于點N，由折疊得EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°．再用”AAS“證明△AFM≌△MNE得ME＝AM，在直角三角形AMF中使用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如圖，作MN⊥BC于點N，
由折疊可得：△ABE≌△AFE．
∴EF＝BE＝2，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AME＝∠CEM，
又MN⊥BC，
∴MN＝AB＝AF＝6，∠MNE＝∠AFM＝90°，
在△AFM和△MNE中，
，
∴△AFM≌△MNE（AAS）．
∴AM＝ME，
設(shè)MF＝x，則AM＝ME＝x+2，
在直角三角形AMF中，由勾股定理有：AM2＝AF2+MF2，
即（x+2）2＝36+x2，解得：x＝8．
故MF＝8．
故選：B．

10．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+3x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．下列說法正確的是（　?。?br /> ①線段AC的長度為；②拋物線的對稱軸為直線x＝；③P是此拋物線的對稱軸上的一個動點，當P點坐標為（，）時，|PA﹣PC|的值最大；④若M是x軸上的一個動點，N是此拋物線上的一個動點，如果以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，滿足條件的M點有4個．

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
【分析】求得拋物線與坐標軸的交點，然后根據(jù)勾股定理求得AC，即可判斷①；根據(jù)對稱軸方程求得對稱軸，即可判斷②；求得直線AC的解析式，求得直線AC與對稱軸的交點即可判斷③；分兩種情況討論根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得M的坐標，即可判斷④．
【解答】解：①二次函數(shù)y＝﹣2x2+3x+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，
∴x＝0時，y＝2，當y＝0時，則﹣2x2+3x+2＝0，解得x1＝﹣，x2＝2，
∴A（﹣，0），B（2，0），C（0，2），
∴OA＝，OC＝2，
∴AC＝＝，故說法①正確；
②∵y＝﹣2x2+3x+2，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝，故說法②正確；
③∴A（﹣，0），C（0，2），
∴直線AC為y＝4x+2，
把x＝代入得，y＝4×+2＝5，
∴當P點坐標為（，5）時，|PA﹣PC|的值最大，故說法③錯誤；
④當AM＝NC，則M（1，0）或（﹣2，0），
當AC＝MN，則M（，0）或（，0），
綜上所述：點M的坐標分別是（1，0）或（﹣2，0）或（，0）或（，0）共4個，故說法④正確；
故選：C．
二、填空題（每小題4分，共28分）
11．（4分）不透明袋子中裝有3個紅球，5個黑球，4個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，則摸出紅球的概率是　?。?br /> 【分析】用紅色球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可．
【解答】解：∵袋子中共有3+5+4＝12個除顏色外無其他差別的球，其中紅球的個數(shù)為3，
∴從袋子中隨機摸出一個球，摸出紅球的概率是＝，
故答案為：．
12．（4分）因式分解：x3﹣6x2+9x＝　x（x﹣3）2?。?br /> 【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2，
故答案為：x（x﹣3）2
13．（4分）關(guān)于x的分式方程+2＝0的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 　m＜2且m≠0?。?br /> 【分析】首先解方程求得方程的解，根據(jù)方程的解是正數(shù)，即可得到一個關(guān)于m的不等式，從而求得m的范圍．
【解答】解：去分母得：m+4x﹣2＝0，
解得：x＝，
∵關(guān)于x的分式方程+2＝0的解是正數(shù)，
∴＞0，
∴m＜2，
∵2x﹣1≠0，
∴2×﹣1≠0，
∴m≠0，
∴m的取值范圍是m＜2且m≠0．
故答案為：m＜2且m≠0．
14．（4分）若關(guān)于x的不等式組有且僅有3個整數(shù)解，a的取值范圍是 　﹣7≤a＜﹣3?。?br /> 【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x，
解不等式②得：x＞，
∵關(guān)于x的不等式組有且僅有3個整數(shù)解，
∴﹣2≤＜﹣1，
∴﹣7≤a＜﹣3，
故答案為：﹣7≤a＜﹣3．
15．（4分）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為1980°，則這個多邊形的邊數(shù)為　11?。?br /> 【分析】依題意，多邊形的內(nèi)角與外角和為1980°，多邊形的外角和為360°，根據(jù)內(nèi)角和公式求出多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意列方程得，
（n﹣2）?180°+360°＝1980°，
n﹣2＝9，
n＝11．
故答案為：11．
16．（4分）如圖，AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點P，且CD，AB是一元二次方程x2﹣10x+24＝0的兩根，則cos∠BPD是 　?。?br />
【分析】連接BD，解方程求出CD，AB的長，證△DPC∽△BPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DP與BP的關(guān)系，即可求解．
【解答】解：x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
即CD＝4，AB＝6．
如圖，連接BD，

∵∠CDP＝∠ABP，∠C＝∠A，
∴△DPC∽△BPA，
∴．
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∴．
故答案為：．
17．（4分）如圖，直線與y軸交于點A，與雙曲線在第三象限交于B、C兩點，且AB?AC＝16；下列等邊三角形△E1D1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，……的邊OE1，E1E2，E2E3，……在x軸上，頂點D1，D2，D3，……在該雙曲線第一象限的分支上，則k＝　4　，前25個等邊三角形的周長之和為 　60?。?br />
【分析】設(shè)直線y＝﹣x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．首先證明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直線y＝﹣x+b與雙曲線y＝在第三象限交于點B、C兩點，可得﹣x+b＝，整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，由韋達定理得：x1x2＝k，即EB?FC＝k，由此構(gòu)建方程求出k即可，第二個問題分別求出第一個，第二個，第三個，第四個三角形的周長，探究規(guī)律后解決問題．
【解答】解：設(shè)直線y＝﹣x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，

∵y＝﹣x+b，
∴當y＝0時，x＝b，
即點D的坐標為（b，0），
當x＝0時，y＝b，
即A點坐標為（0，b），
∴OA＝﹣b，OD＝﹣b．
在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，
∴∠ADO＝60°．
∵直線y＝﹣x+b與雙曲線y＝在第三象限交于B、C兩點，
∴﹣x+b＝，
整理得：﹣x2+bx﹣k＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1x2＝k，
即EB?FC＝k，
∵＝cos60°＝，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB?AC＝（2EB）（2FC）＝4EB?FC＝k＝16，
解得：k＝4．
由題意可以假設(shè)D1（m，m），
∴m2?＝4，
∴m＝2，
∴OE1＝4，
即第一個三角形的周長為12，
設(shè)D2（4+n，n），
∵（4+n）?n＝4，
解得：n＝2﹣2，
∴E1E2＝4﹣4，
即第二個三角形的周長為12﹣12，
設(shè)D3（4+a，a），
由題意（4+a）?a＝4，
解得a＝2﹣2，
即第三個三角形的周長為12﹣12，
…，
∴第四個三角形的周長為12﹣12，
∴前25個等邊三角形的周長之和為：12+12﹣12+12﹣12+12﹣12+…+12﹣12＝12＝60，
故答案為：4，60．
三、解答題（一）（每小題6分，共18分）
18．（6分）計算：．
【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，然后先算乘法，再算加減得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝3．
19．（6分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3+．
【分析】直接將括號里面通分運算，再利用分式的混合運算法則計算得出答案．
【解答】解：原式＝?
＝x﹣3，
當x＝3+時，
原式＝．
20．（6分）成都“339”電視塔作為成都市地標性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成都旅游打卡的網(wǎng)紅地．如圖，為測量電視塔觀景臺A處的高度，某數(shù)學興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂D處測得塔A處的仰角為45°，塔底部B處的俯角為22°．已知建筑物的高CD約為61米，請計算觀景臺的高AB的值．
（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)題意可得四邊形DCBE是矩形，DE＝BC，BE＝DC＝61，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可得DE的長，進而可得AB的值．
【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，

根據(jù)題意可得四邊形DCBE是矩形，
∴DE＝BC，BE＝DC＝61（米），
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝45°，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝BC，
在Rt△BDE中，∠BDE＝22°，
∴DE＝≈＝152.5（米），
∴AB＝AE+BE＝DE+CD＝152.5+61＝213.5≈214（米）．
答：觀景臺的高AB的值約為214米．
四、解答題（二）（每小題8分，共24分）
21．（8分）為了弘揚愛國主義精神，某校組織了“共和國成就”知識競賽，將成績分為：A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四個等級．小李隨機調(diào)查了部分同學的競賽成績，繪制了如圖統(tǒng)計圖．

（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是 　100　，請補全條形統(tǒng)計圖；
（2）已知調(diào)查對象中只有兩位女生競賽成績不合格，小李準備隨機回訪兩位競賽成績不合格的同學，請用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率；
（3）該校共有2000名學生，請你估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學生人數(shù)．
【分析】（1）由已知C等級的人數(shù)為25人，所占百分比為25%，25÷25%可得樣本容量；利用樣本容量可求B，D等級的人數(shù)；
（2）依據(jù)題意列出表格后求得概率；
（3）利用樣本估計總體的思想，用樣本的優(yōu)秀率估計總體的優(yōu)秀率可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵由條形統(tǒng)計圖可得C等級的人數(shù)為25人，由扇形統(tǒng)計圖可得C等級的人數(shù)占比為25%，
∴樣本容量為25÷25%＝100．
∵B等級的人數(shù)占比為35%，
∴B等級的人數(shù)為：100×35%＝35（人）．
∴D等級的人數(shù)：100﹣35﹣35﹣25＝5（人）．
補全條形統(tǒng)計圖如下：

故答案為：100．
（2）D等級的學生有：100×5%＝5（人）．
由題意列表如下：

由表格可得，共有20種等可能，其中恰好回訪到一男一女的等可能有12種，
∴恰好回訪到一男一女的概率為＝．
（3）∵樣本中A（優(yōu)秀）的占比為35%，
∴可以估計該校2000名學生中的A（優(yōu)秀）的占比為35%．
∴估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學生人數(shù)為：2000×35%＝700（人）．
22．（8分）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．
（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完（A、B兩種貨車均滿載），其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．
【分析】（1）設(shè)1輛A貨車一次可以運貨x噸，1輛B貨車一次可以運貨y噸，根據(jù)3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸列出方程組解答即可；
（2）設(shè)A貨車運輸m噸，則B貨車運輸（190﹣m）噸，設(shè)總費用為w元，列出w的一次函數(shù)表達式，化簡得w隨m的增大而減?。桓鶕?jù)A、B兩種貨車均滿載，得，都是整數(shù)，分類列舉得到符合題意的方案，最后根據(jù)費用越少，m越大得到費用最少的方案．
【解答】解：（1）設(shè)1輛A貨車一次可以運貨x噸，1輛B貨車一次可以運貨y噸，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：1輛A貨車一次可以運貨20噸，1輛B貨車一次可以運貨15噸；
（2）方法一：設(shè)A貨車運輸m噸，則B貨車運輸（190﹣m）噸，設(shè)總費用為w元，
則：w＝500×+400×
＝25m+
＝25m﹣m+
＝﹣m+，
∵﹣＜0，
∴w隨m的增大而減?。?br /> ∵A、B兩種貨車均滿載，
∴，都是大于或等于0的整數(shù)，
∴0≤m≤190，
當m＝20時，不是整數(shù)；
當m＝40時，＝10；
當m＝60時，不是整數(shù)；
當m＝80時，不是整數(shù)；
當m＝100時，＝6；
當m＝120時，不是整數(shù)；
當m＝140時，不是整數(shù)；
當m＝160時，＝2；
當m＝180時，不是整數(shù)；
故符合題意的運輸方案有三種：
①A貨車40÷20＝2輛，B貨車10輛；
②A貨車100÷20＝5輛，B貨車6輛；
③A貨車160÷20＝8輛，B貨車2輛；
∵w隨m的增大而減小，
∴費用越少，m越大，
故方案③費用最少．
方法二：設(shè)安排m輛A貨車，則安排輛B貨車，
w＝500m+400×＝﹣m+，
∵＝9.5，
∴0＜m＜10，
∵m，都為整數(shù)，
∴m＝2，5，8，
故符合題意的運輸方案有三種：
①A貨車2輛，B貨車10輛；
②A貨車5輛，B貨車6輛；
③A貨車8輛，B貨車2輛；
∵﹣＜0．
∴w隨m的增大而減小，
∴費用越少，m越大，
故方案③費用最少．
23．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BD交AC于G，E是BD的中點，連接AE并延長，交CD于點F，F(xiàn)恰好是CD的中點．
（1）求的值；
（2）若CE＝EB，求證：四邊形ABCF是矩形．

【分析】（1）首先證明AB＝CF＝DF，再證明△ABG∽△CDG即可解決問題；
（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明；
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠EDC．
∵∠BEA＝∠DEF，BE＝DE，
∴△ABE≌△FDE（ASA）．
∴AB＝DF．
∵F是CD的中點，
∴CF＝FD．
∴CD＝2AB．
∵∠ABE＝∠EDC，∠AGB＝∠CGD，
∴△ABG∽△CDG．
∴．

（2）證明：∵AB∥CF，AB＝CF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形．
∵CE＝BE，BE＝DE，
∴CE＝ED．
∵CF＝FD，
∴EF垂直平分CD．
∴∠CFA＝90°．
∴四邊形ABCF是矩形．

五、解答題（三）（每小題10分，共20分）
24．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點P為⊙O外一點，且PA＝PC＝AB，連接PO交AC于點D，延長PO交⊙O于點F．
（1）證明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，證明：PA是⊙O的切線；
（3）在（2）條件下，連接PB交⊙O于點E，連接DE，若BC＝2，求DE的長．

【分析】（1）首先證明PF垂直平分線段AC，利用垂徑定理可得結(jié)論．
（2）設(shè)BC＝a，通過計算證明AD2＝PD?OD，推出△ADP∽ODA即可解決問題．
（3）法一：如圖，過點E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．想辦法求出EJ，DJ即可解決問題．
法二：由△PEA∽△PAB，推出＝，推出PE＝4，想辦法求出EJ，DJ即可解決問題．
【解答】（1）證明：連接OC．
∵PC＝PA，OC＝OA，
∴OP垂直平分線段AC，
∴＝．

（2）證明：設(shè)BC＝a，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，
∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，
∵PA＝PC＝AB，
∴PA＝PC＝3a，
∵∠PDC＝90°，
∴PD＝＝＝4a，
∵DC＝DA，AO＝OB，
∴OD＝BC＝a，
∴AD2＝PD?OD，
∴＝，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°，
∴△ADP∽△ODA，
∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線．

（3）解：法一：如圖，過點E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵BC＝2，
由（2）可知，PA＝6，AB＝6，
∵∠PAB＝90°，
∴PB＝＝＝6，
∵PA2＝PE?PB，
∴PE＝＝4，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴四邊形CDKB是矩形，
∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，
∵PD＝8，
∴PK＝10，
∵EJ∥BK，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，PJ＝，
∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，
∴DE＝＝＝．
法二：由（2）可得BC＝2，AC＝4，AB＝6，PA＝6，PB＝6，
在Rt△PBA中，連接AE，可得∠AEB＝90°，
∴∠PEA＝∠PAB＝90°，又∠APE＝∠APB，
∴△PEA∽△PAB，
∴＝，
∴PE＝4，
過E作EJ⊥PD于J，過B作BK⊥PF于K，如圖所示，
∴∠BCD＝∠CDF＝∠BKD＝90°，
∴四邊形BCDK是矩形，
∴BK＝CD＝2，
在Rt△BPH中，sin∠BPH＝＝，
在Rt△PEN中，sin∠BPH＝，
∴EJ＝，
∴PJ＝＝，
∴JD＝PD﹣PJ＝，
在Rt△JED中，DE＝＝．

25．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC交于點E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求的最大值；
（3）如圖2，連接AC，BC，過點O作直線l∥BC，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點．試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣4），將點C的坐標代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）過點D作DG⊥x軸于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥x軸交BC的延長線于點K，證明△AKE∽△DFE，得出，則，求出直線BC的解析式為y＝x﹣2，設(shè)D（m，m﹣2），則F（m，m﹣2），可得出的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）設(shè)P（a1，），①當點P在直線BQ右側(cè)時，如圖2，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QM⊥直線PN于點M，得出Q（a1，a1﹣2），將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得a的值即可，②當點P在直線BQ左側(cè)時，由①的方法同理可得點Q的坐標為（a1，2），代入拋物線的解析可得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵將C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，
∴拋物線的解析式為y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）過點D作DG⊥x軸于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥x軸交BC的延長線于點K，

∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b1，
∴，解得，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y＝﹣﹣2＝﹣，
∴AK＝，
設(shè)D（m，m﹣2），則F（m，m﹣2），
∴DF＝m+2＝﹣+2m．
∴m＝﹣．
∴當m＝2時，有最大值，最大值是．
（3）存在．符合條件的點P的坐標為（）或（）．
∵l∥BC，
∴直線l的解析式為y＝x，
設(shè)P（a1，），
①當點P在直線BQ右側(cè)時，如圖2，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QM⊥直線PN于點M，

∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴AC＝，AB＝5，BC＝2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
∴，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，
∴∠MQP＝∠BPN，
∴△QPM∽△PBN，
∴＝，
∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，
∴MN＝a1﹣2，BN﹣QM＝a1﹣4﹣＝a1﹣4，
∴Q（a1，a1﹣2），
將點Q的坐標代入拋物線的解析式得﹣2＝a1﹣2，
解得a1＝0（舍去）或a1＝．
∴P（）．
②當點P在直線BQ左側(cè)時，
由①的方法同理可得點Q的坐標為（a1，2）．
此時點P的坐標為（）．

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