武昌區(qū)2023屆高三年級(jí)5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)本試卷共6頁，共22題．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）．A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）．A．1 B． C．2 D．3．已知不重合的平面，及不重合的直線m，n，則（    ）．A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則4．把1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)排成一列，則滿足先增后減（例如：1，3，5，4，2）的數(shù)列的個(gè)數(shù)是（    ）．A．6 B．10 C．14 D．205．如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（    ）．A． B． C．3 D．96．已知，，，則（    ）．A． B． C． D．7．已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)，且與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的內(nèi)切圓的圓心分別為，，則面積的取值范圍是（    ）．A．  B．C． D．8．設(shè)，，，，則a，b，c，d間的大小關(guān)系為（    ）．A．  B．C．  D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（    ）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列10．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓交于點(diǎn)，射線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度后交該圓于點(diǎn)B，記點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為．則下列說法正確的是（    ）．A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．若，，則11．如圖，已知正方體的棱長為2，P為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）．A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)P，使得C．若，則P點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長為D．若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過P，Q作平面平面，則平面截正方體的截面面積為12．已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（    ）．A．  B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M到直線的距離可以是__________．（寫出一個(gè)符合題意的整數(shù)值）14．已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為__________．15．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”。即：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，如圖（1）．卡塔爾世界杯球形金碗，它可以看成半球的一部分，若金碗碗口的直徑為8，高為2，其直觀圖如圖（2）所示，則利用祖暅原理可求得該球形金碗的體積為__________．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，C在A處的切線與C的準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，連接．若，則的最小值為__________．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．（1）求；（2）若，求的面積．18．（12分）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)單調(diào)遞增等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）設(shè)，試確定與的大小關(guān)系，并給出證明．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，平面平面，，．（1）證明：；（2）點(diǎn)Q在側(cè)棱上，，過B，Q兩點(diǎn)作平面，設(shè)平面與，分別交于點(diǎn)E，F，當(dāng)直線時(shí)，求二面角的余弦值．20．（12分）某考生在做高考數(shù)學(xué)模擬題第12題時(shí)發(fā)現(xiàn)不會(huì)做．已知該題有四個(gè)選項(xiàng)，為多選題，至少有兩項(xiàng)正確，至多有3個(gè)選項(xiàng)正確．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選到錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分．設(shè)此題正確答案為2個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知該考生隨機(jī)選擇若干個(gè)（至少一個(gè)）．（1）若，該考生隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)，求得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）為使他此題得分?jǐn)?shù)學(xué)期望最高，請(qǐng)你幫他從以下三種方案中選一種，并說明理由．方案一：隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)；方案二：隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)；方案三：隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)．21．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C外一點(diǎn)，直線，分別與橢圓C交于點(diǎn)C，D（異于點(diǎn)A，B），直線，交于點(diǎn)N，求證：直線的斜率為定值．22．（12分）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．                   武昌區(qū)2023屆高三年級(jí)5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分細(xì)則選擇題：題號(hào)123456789101112答案CCBCBDBBBDBDABDBCD填空題：13．0或1     14．     15．     16．解答題：17．（10分）解：因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，故，所以．（5分）（2）由正弦定理可知：，代入已知條件得，解得，所以的面積為．（10分）18．（12分）解：（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，整理得．又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，不滿足．所以，．（4分）（2）（ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為．因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，且，，，所以，即．又因?yàn)?/span>，所以．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．（8分）（ⅱ）．證明如下：由（ⅰ）知，，，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上：，．（12分）19．（12分）（1）證明證明：在中，設(shè)，因?yàn)?/span>，由余弦定理可知：，解得．所以，所以．又因?yàn)?/span>平面平面，平面平面，，平面，所以平面．（4分）（2）連交于點(diǎn)M，連接，，設(shè)交于點(diǎn)H．在中，過P作直線直線交的延長線于N，易得：，所以點(diǎn)H為線段中點(diǎn)．在中，因?yàn)橹本€平面，平面平面，所以直線直線，且直線過點(diǎn)H，所以點(diǎn)E為線段中點(diǎn)．以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．則，，，．因?yàn)辄c(diǎn)E為線段中點(diǎn)，所以，由，得．設(shè)平面（平面）的法向量為，因?yàn)?/span>，，由，得，令，則．設(shè)平面（平面）的法向量為，因?yàn)?/span>，，由，得．令，則．所以，所以二面角的余弦值為0．（12分）20．（12分）解：設(shè)多選題正確答案是“選兩項(xiàng)”為事件，正確答案是“選三項(xiàng)”為事件，則．考生得0分，2分，5分為事件，，，，．（1）當(dāng)時(shí)，，則正確答案是“選兩項(xiàng)”時(shí)，考生選2項(xiàng)，全對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分；正確答案是“選三項(xiàng)”時(shí)，考生選2項(xiàng)，選出了2個(gè)正確選項(xiàng)得2分，有選錯(cuò)得0分．因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以，．所以，得分X的分布列為：X025P得分X的數(shù)學(xué)期望．（4分）（2）方案一：隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)正確答案是“選兩項(xiàng)”時(shí)，考生選1項(xiàng)，選對(duì)得2分，選錯(cuò)得0分；正確答案是“選三項(xiàng)”時(shí)，考生選1項(xiàng)，選對(duì)得2分，選錯(cuò)得0分．因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以所以，隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望．方案二：隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)；，，．所以，隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望．方案三：隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)．正確答案是“選兩項(xiàng)”時(shí)，考生選3項(xiàng)，得0分；正確答案是“選三項(xiàng)”時(shí)，考生選3項(xiàng)，選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分．，，所以，隨機(jī)選擇三個(gè)選項(xiàng)得分的數(shù)學(xué)期望．因?yàn)?/span>，．所以選擇方案一．（12分）21．（12分）解：（1）由已知得，解得，．即橢圓C的方程為．（4分）（2）由，得，．設(shè)，，則，同理．設(shè)，，則由直線過點(diǎn)得：．    ①由直線過點(diǎn)N得：．     ②①×②得：．    ③同理，由直線過點(diǎn)M得：．    ④由直線過點(diǎn)N得：．    ⑤③×④得：．    ⑥③－⑥得：，進(jìn)而．所以直線的斜率為定值．（12分）22．（12分）解：（1）因?yàn)?/span>，所以，①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（4分）（2）（ⅰ）方程可化為，即．令．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合題意，關(guān)于t的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．又因?yàn)?/span>不是方程（*）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．令，則．易得函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．結(jié)合函數(shù)的圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（8分） （ⅱ）要證，只需證．因?yàn)?/span>，所以只需證．由（ⅰ）知，不妨設(shè)．因?yàn)?/span>，所以，即，．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．（12分）

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