?鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2023年五月模擬考
高三數(shù)學(xué)試卷
命題學(xué)校：黃岡中學(xué) 命題教師：肖海東 馮小瑋 周建義
審題學(xué)校：大冶一中 審題教師：江猛
考試時(shí)間：2023年5月10日下午15：00—17：00 試卷滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（ ）
A．9 B．1 C． D．
3．已知向量，，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
5．用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個(gè)圓錐，設(shè)AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點(diǎn)的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點(diǎn)，米，米，則彩虹（）的長度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）

A．米 B．米 C．米 D．米
6．6名同學(xué)相約在周末參加創(chuàng)建全國文明城市志愿活動，現(xiàn)有交通值守、文明勸導(dǎo)、文藝宣講三種崗位需要志愿者，其中，交通值守、文明勸導(dǎo)崗位各需2人，文藝宣講崗位需1人．已知這6名同學(xué)中有4名男生，2名女生，現(xiàn)要從這6名同學(xué)中選出5人上崗，剩下1人留守值班．若兩名女生都已經(jīng)到崗，則她們不在同一崗位的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．設(shè)表示m，n中的較小數(shù)．若函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．現(xiàn)有一個(gè)底面邊長為，側(cè)棱長為的正三棱錐框架，其各頂點(diǎn)都在球的球面上．將一個(gè)圓氣球放在此框架內(nèi)，再向氣球內(nèi)充氣，當(dāng)圓氣球恰好與此正三棱錐各棱都相切時(shí)停止充氣，此時(shí)兩球表面積之和為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．直線平面EFG B．直線CP和平面ABCD所成的角為定值
C．異面直線CP和FG所成的角不為定值 D．若直線平面EFG，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)
10．已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
11．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過右支上一點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則（ ）
A．的漸近線方程為 B．
C．過點(diǎn)作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為
12．已知函數(shù)，記的最小值為，下列說法正確的是（ ）
A．對任意的正整數(shù)n，的圖象都關(guān)于直線對稱
B．
C．
D．設(shè)，為的前項(xiàng)和，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：cm），其尺寸服從正態(tài)分布，且，，則________．
14．已知直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)．若為直角三角形，則的值為________．
15．已知函數(shù)，直線，是的兩條切線，，相交于點(diǎn)，若，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
16．已知橢圓，A，B是橢圓上的兩點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率滿足，延長OA到點(diǎn)，使得，且直線MB交橢圓于點(diǎn)，設(shè)，則________；________．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．

（1）若，求的面積；
（2）若，，求．
18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，若數(shù)列滿足，求證：．
19．（12分）如圖，在三棱臺中，，平面．

（1）證明：平面平面；
（2）若，，，求平面與平面夾角的余弦值．
20．（12分）2023年中央一號文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興．為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場．直播前，此平臺用不同的單價(jià)試銷，并在購買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)查問卷．為了回饋100名熱心參與問卷的顧客，此平臺決定在直播中專門為他們設(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活動，每次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽中顧客會有禮品贈送，若直播時(shí)這100名顧客都在線，記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為X（不重復(fù)計(jì)數(shù)）．
（1）若甲是這100名顧客中的一人，求甲被抽中的概率；
（2）求使取得最大值的整數(shù)．
21．（12分）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）過上一點(diǎn)作曲線的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，PA，PB與軸分別交于，兩點(diǎn)．記，，的面積分別為、、．
（?。┳C明：四邊形FNPM為平行四邊形；
（ⅱ）求的值．
22．（12分）已知函數(shù)， ，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，在（1）的條件下，討論關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)．
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高三數(shù)學(xué)參考答案
選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
C
A
D
A
B
AD
ABD
ABD
ACD
填空題
13．16 14． 15． 16．1；4
小題詳解
1．C【解析】∵，，
∴或，，∴，，，，故選C．
2．B【解析】已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
則，即，即，解得，
故，故選．
3．D【解析】∵，，且，
∵，即，，
∴在方向上的投影向量為，故選D．
4．C【解析】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得的圖象，又函數(shù)是偶函數(shù)，∴，，∴，；∴，故選C．
5．A【解析】在中，由勾股定理可得：米，連接PO，
則在中，米，連接OB，OC，OM，則在中，，故，，則彩虹（）的長度約為，故選A．
6．D【解析】法一：設(shè)“兩名女生都到崗”為事件A，“兩名女生不在同一崗位”為事件B，則，，
∴，故選D．
法二：．
7．A【解析】由題意可得有解，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，必有，解得；
當(dāng)時(shí)，必有，不等式組無解，
綜上所述，，∴的取值范圍為，故選A．
8．B【解析】設(shè)此正三棱錐框架為，球的半徑為，球的半徑為，底面ABC外接圓的圓心為，連接PO，AO，延長AO交BC于點(diǎn)N．∵圓氣球在此框架內(nèi)且與正三棱錐所有的棱都相切，設(shè)球與棱PA和BC相切于點(diǎn)M，N，則，，∵底面，∴，又∵，∴，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，，
由，可得，解得，
則球的表面積為，
又，則與重合，球的半徑，球的表面積為，綜上可得：兩球表面積之和為，故選B．

9．AD【解析】對于A選項(xiàng)，平面EFG截正方體的截面圖形為正六邊形EFGHIJ，其中H，I，J分別為，，的中點(diǎn)，∵，平面，平面，∴平面，故A正確；對于B選項(xiàng)，過作交AD于點(diǎn)，則直線CP和平面ABCD所成的角為，，設(shè)，正方體的棱長為1，

則，，
∴，∴直線CP和平面ABCD所成的角不為定值，故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)，∵平面，，∴平面，
又平面，∴，故C錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，設(shè)，，則平面平面，∴平面，平面，∴，又在平面內(nèi)，易知，，∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故D正確，故選AD．

10．ABD【解析】對于A選項(xiàng)，由題意知，a，b是函數(shù)分別與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，的圖象也關(guān)于對稱，故兩交點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，所以，，故A正確；對于B選項(xiàng)，由可得即，故B正確；對于D選項(xiàng)，∵，故D正確；對于C選項(xiàng)，，令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，故C錯(cuò)誤，故選ABC．
11．ABD【解析】對于A選項(xiàng)，由已知可得，，∴C的漸近線方程為，故A正確；
對于B選項(xiàng)，由題意得，AM的直線方程為：，∴為雙曲線的切線，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，AM平分，故B正確；對于C選項(xiàng)，延長，與的延長線交于點(diǎn)，則AH垂直平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn)．又是的中點(diǎn)，
∴，故C錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．∴四邊形面積的最小值為，故D正確，故選ABD．

12．ACD【解析】對于A選項(xiàng)，∵，故A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，，，時(shí)，，∴，∴，時(shí)，，∴，即，∴，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由得，∴，故C正確；
對于D選項(xiàng)，∵，∴，∴，∴，又，∴，即有，故D正確，故選ACD．
13．16【解析】∵，，
∴，∴
14．【解析】根據(jù)題意，圓即，若為直角三角形，則有，解得：．
15．【解析】記，，
由函數(shù)圖象可知，不妨設(shè)與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，
則，．∴，，∴，，
∵，∴，即，∵的方程為：，
的方程為：，聯(lián)立方程組可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵，∴，∴，即點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是．
16．1；4【解析】設(shè)，，，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵在橢圓上，∴．
即．①
又，，代入①得．
∵，由M，N，B三點(diǎn)共線，得，∴，，
∴，∴，∴．
解答題
17．（10分）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
∴，解得，
∴． 5分
（2）設(shè)，
在中，由正弦定理得，∴①， 6分
在中，，，
則，即① 8分
由①②得：，∴，
整理得，∴． 10分
18．（12分）
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，整理得， 4分
∵，∴，當(dāng)時(shí)，，
∴（舍）或， 5分
∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則； 6分
（2）由（1）知，， 8分
∴，
∵，∴，即． 12分
19．（12分）
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：∵平面，平面，∴；
又，∴，即， 2分
∵，，，，平面，
∴平面， 4分
又平面，∴平面平面； 5分
（2）∵平面，平面，∴；
又平面，，∴平面，∵平面，∴，
∵，，，，平面，
∴平面， 6分
法一：（坐標(biāo)法）
分別以為軸，為軸，為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，，， 7分
設(shè)平面的法向量，∵平面，
則，即，取， 9分
取平面的一個(gè)法向量， 10分
則，
故平面與平面夾角的余弦值為． 12分
法二：（幾何法）
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

連接，則平面，為二面角的平面角，
即為平面與平面的夾角． 8分
∵，，，∴，
又在直角三角形中，，∴，
則在直角三角形中，，故，
∴平面與平面夾角的余弦值為． 12分
20．（12分）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)事件A：“顧客甲第一次抽中”，事件B：“顧客甲第二次抽中”，
∵A與B是相互獨(dú)立事件，所以與相互獨(dú)立，
由于，故，
∴甲被抽中的概率； 4分
（2）“由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這100名顧客中抽取20名顧客，抽取兩次”所包含的基本事件總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，兩次都中獎(jiǎng)的人數(shù)為，只在第一次中獎(jiǎng)的顧客人數(shù)為，只在第二次中獎(jiǎng)的顧客人數(shù)也為，
由乘法原理知：事件所包含的基本事件數(shù)為，
，， 6分
由可得：， 8分
整理得：，
化簡得：，則有，
整理得，解得，即， 11分
∵為整數(shù)，∴，∴取到最大值時(shí)，． 12分
21．（12分）
【答案】（1）；（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）1
【解析】（1）設(shè)圓心，由題意得：，化簡整理得：，
∴曲線的方程為：． 4分
（2）（?。┳C明：設(shè)，，∵，∴，
∴直線PA的方程為：，即，
同理可得直線PB的方程為：，
∴，，， 6分
又，∴，
∴四邊形FNPM為平行四邊形； 8分
（ⅱ）∵P在直線PA，PB上，設(shè)，由（ⅰ）得：，
∴直線AB的方程為：，∴直線AB過點(diǎn)，
∵四邊形FNPM為平行四邊形，∴，，
∴，，，，
∴， 10分
∵，，，
∴． 12分
22．（12分）
【答案】（1）；（2）時(shí)，關(guān)于的方程在上有唯一解．
【解析】（1）由題意，，即，
令，， 2分
由知，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，所以． 4分
（2），易求得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
①當(dāng)時(shí)，，且由（1）知，，，，即，均單調(diào)遞增；此時(shí)，有．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以；
所以時(shí)，方程有唯一解． 7分
②當(dāng)時(shí)，由（1）知，令得，
令得，
當(dāng)時(shí)，，則； 8分
當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
令，則單調(diào)遞增，
又，，
所以存在唯一的，滿足； 10分
當(dāng)時(shí)，，則；
所以時(shí)，方程有唯一解． 11分
綜合①②可得：
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程在上有唯一解．

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