專題1.4分式及其運算知識點演練考點1：分式的定義和性質例1．（1）（2022·安徽合肥·七年級期末）已知分式（，為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結論中錯誤的是（    ）的取值－22分式的值無意義012A． B． C． D．的值不存在（2）（2022·上海·測試·編輯教研五七年級期中）請寫出一個同時滿足下列條件的分式：（1）分式的值不可能為零；（2）分式有意義時，a的取值范圍是；（3）當時，分式的值為．你所寫的分式為___________（3）（2022·新疆·烏市一中八年級期中）下列結論：①不論為何值都有意義；②時，分式的值為0；③若的值為負，則的取值范圍是；④若有意義，則的取值范圍是且．其中正確的是（    ）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①④例2．（2022·全國·八年級課時練習）已知，x取哪些值時：(1)y的值是正數(shù)；(2)y的值是負數(shù)；(3)y的值是零；(4)分式無意義．知識點訓練1．（2022·山東煙臺·八年級期中）代數(shù)式中，屬于分式的有（   ）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校八年級期中）在式子，，5，，，中，分式的個數(shù)為（　?。?/span>A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．（2022·福建·龍巖市第一中學錦山學校八年級期中）在中分式的個數(shù)有（　?。?/span>A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2021·寧夏·中寧縣第三中學八年級期末）在代數(shù)式，，，，，中，分式有（    ）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（2021·河北石家莊·八年級期末）如果分式的值為0，那么x的值為（　?。?/span>A．0 B．6 C．-6 D．6．（2022·河北唐山·八年級期中）若分式的值為正數(shù)，則x的取值范圍是（    ）A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>17．（2022·遼寧·盤山縣教師進修學校八年級期末）若分式的值為正，則x的取值范圍為（  ）．A．x≥－ B．x≤－C．x＞－且x≠0 D．x＜－8．（2022·河北·辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學八年級期末）分式中，把x和y都擴大到原來的10倍，分式的值（    ）A．不變 B．擴大為原來的10倍 C．縮小為原來的 D．不能確定9．（2022·上海·測試·編輯教研五七年級期中）下列哪個分式和值相等（    ）A． B． C． D．10．（2022·上海金山·七年級期末）如果將分式中的和都擴大到原來的4倍，那么分式的值（　?。?/span>A．不變 B．擴大到原來的4倍C．擴大到原來的8倍 D．擴大到原來的16倍11．（2022·山東·煙臺市芝罘區(qū)教育科學研究中心八年級期中）如果把分式中的x，y都擴大3倍，那么分式的值（    ）A．擴大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．擴大6倍12．（2022·廣西貴港·八年級期中）下列各式從左邊到右邊的變形正確的是（     ）A． B． C． D．13．（2022·山東濟寧·八年級期中）下列運算正確的是（　　）A． B．C． D．14．（2022·山東泰安·八年級期中）下列各等式中成立的有（    ）個．①；            ②；③；                ④．A．1 B．2 C．3 D．415．（2022·河北唐山·八年級期中）不改變分式的值，使分母的首項系數(shù)為正數(shù)，下列式子正確的是（　?。?/span>A． B．C． D．16．（2022·安徽省宣城市奮飛學校七年級期中）下列判斷錯誤的是（  ）A．代數(shù)式?是分式 B．當?時，分式?的值為?C．當?時，分式?有意義 D．?17．（2022·河北唐山·八年級期末）由值的正負可以比較與的大小，下列正確的是（    ）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，18．（2022·北京市順義區(qū)第五中學八年級期中）請從，，中任選兩個構造成一個分式，并化簡該分式．你構造的分式是______，該分式化簡的結果是______．19．（2022·上海市培佳雙語學校八年級期中）如果二次根式有意義，那么應該滿足的條件是__________．20．（2022·四川達州·八年級期末）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是__________．21．（2022·河南南陽·模擬預測）若分式有意義，則 ___________．22．（2022·江蘇·揚州市邗江區(qū)梅苑雙語學校模擬預測）當滿足______ 時，式子有意義．23．（2022·廣西·貴港市教育局八年級期中）分式沒有意義，則的值為_____________．24．（2022·湖南·桂陽縣第二中學八年級期中）當________時，分式的值不存在；當_______時，分式有意義．25．（2022·江蘇無錫·八年級期末）當x＝____時，分式無意義，當x＝____時，分式的值為0．26．（2022·新疆·克拉瑪依市白堿灘區(qū)教育局八年級期末）分式的值為負數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______27．（2022·廣東·八年級單元測試）已知：代數(shù)式．(1)當為何值時，該式無意義？(2)當為何整數(shù)時，該式的值為正整數(shù)？28．（2022·福建福州·八年級期末）已知，．(1)當時，求x的取值范圍；(2)設．①當時，求x的值；②若x為整數(shù)時，求y的正整數(shù)值．29．（2022·河北邢臺·八年級期中）小明和小強一起做分式的游戲，如圖所示他們面前各有三張牌（互相可以看到對方的牌），兩人各自任選兩張牌分別做分子和分母，組成一個分式，然后兩人均取一個相同的x值，再計算分式的值，值大者為勝．為使分式有意義，他們約定x是大于3的正整數(shù)．(1)小明組成的分式中值最大的分式是______，小強組成的分式中值最大的分式是______；(2)小強思考了一下，哈哈一笑，說：“雖然我是三張帶減號的牌，但最終我一定是勝者”小強說的有道理嗎？請你通過計算說明．考點2：分式的運算例3.（2022·上海金山·七年級期末）計算：例4.（2022·山東煙臺·八年級期中）計算：(1)(2)例5.（2022·山東泰安·八年級期中）(1)化簡；(2)先化簡：，再從的范圍內(nèi)選取一個你喜歡的x值代入求值．知識點訓練1．（2022·湖南株洲·八年級期末）下列各式中計算正確的是（     ）A． B．C． D．2．（2022·河北·辛集市辛集鎮(zhèn)育紅中學八年級期末）化簡的結果是（    ）A． B． C． D．3．（2022·安徽·宣城十二中七年級期中）若?，則分式?與下面選項相等的是?　　?A．? B．? C．? D．?4．（2022·山東濟南·模擬預測）若，則等于(        )A．  B． C． D．5．（2022·浙江·寧波市鄞州實驗中學模擬預測）已知，則的值為_____．6．（2022·湖南省漢壽縣教育研究室八年級期中）計算：__________．7．（2022·上海·測試·編輯教研五七年級期中）計算，8．（2022·北京·東直門中學八年級期中）計算：9．（2022·上海金山·七年級期末）計算：10．（2022·山東淄博·八年級期中）計算∶(1)；(2)．(3)先化簡，再求值：，在四個數(shù)中選一個合適的代入求值．11．（2022·山東菏澤·八年級期中）計算：(1)(2)12．（2022·山東煙臺·八年級期中）（1）先化簡，再求值：的值，其中．（2）先化簡，再求值：，從中選出合適的最小整數(shù)值代入求值．13．（2022·上海·測試·編輯教研五七年級期中）若為最簡分式，且對任意x的值，有，且，求B的值．14．（2022·福建省福州第十九中學八年級期中）先化簡，再求值，其中．15．（2022·湖南邵陽·八年級期中）某同學在學習的過程中，遇到這樣的問題：求的整數(shù)部分．她百思而不得其解，于是向老師求助．數(shù)學老師進行了深入淺出的講解：觀察算式可知，每個分母中的減數(shù)都是1，且被減數(shù)按照一定的規(guī)律在遞增；先看一般情形：；再看特殊情形：當時，；當時，；老師講解到這里時，該同學說：“老師我知道怎么做了．”(1)請你通過化簡，說明一般情形的正確性；(2)請你完成該同學的解答．16．（2021·廣東江門·八年級期末）請你說明，在代數(shù)式有意義的情況下，無論x取何值，代數(shù)式的值都不變．17．（2022·北京·北師大實驗中學八年級期末）（1）計算：；（2）化簡求值：，其中，．18．（2022·山東菏澤·八年級期中）計算：(1)；(2)；(3)．考點3：分式的應用例6.（2022·北京昌平·八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是                （填序號）；①　　　　②　　　　③　　　　　④(2)請將“和諧分式”化為一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡過程；(3)應用：先化簡，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．例7.（2022·北京朝陽·八年級期末）閱讀材料：對于兩個實數(shù)a，b大小的比較，有如下規(guī)律：若a-b＞0，則a＞b；若a-b=0，則a=b；若a-b＜0，則a＜b. 反過來也成立． 解決問題：(1)已知實數(shù)x,則     （填“＜”，“=”或“＞”）；(2)甲、乙二人同時從A地出發(fā)去B地，甲用一半時間以每小時xkm的速度行走，另一半時間以每小時y km的速度行走；乙以每小時x km的速度行走一半路程，另一半路程以每小時y km的速度行走. 若x≠y，判斷誰先到達B地，并說明理由．下面是小明參考上面的規(guī)律解決問題的過程，請補充完整：（1）     （填“＜”，“=”或“＞”）； （2）先到達B地的是      ．說明：設甲從A地到B地用2th，則A，B兩地的路程為（x+y）t km，乙從A地到B地用h．知識點訓練1．（2022·山東淄博·九年級期中）甲、乙兩人分兩次在同一糧店內(nèi)買糧食，兩次的單價不同，甲每次購糧100千克，乙每次購糧100元．若規(guī)定：誰兩次購糧的平均單價低，誰的購糧方式就合算．那么這兩次購糧（        ）A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一樣 D．無法確定2．（2022·河南·商水縣希望初級中學八年級期中）已知，，則當時，與的大小關系是（    ）A． B． C． D．無法確定3．（2022·北京昌平·八年級期中）如圖，大正方形的邊長均為，圖（1）中白色小正方形的邊長為，圖（2）中白色長方形的寬為，設，則m的取值范圍為（   ）A． B． C． D．4．（2022·上海田家炳中學七年級期中）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式，例如，是真分式，如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，假分式，一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和．例如：(1)將假分式 為一個整數(shù)與一個真分式的和(2)利用上述方法解決問題：若x是整數(shù)，且分式的值為正整數(shù)，求x的值5．（2022·河南·商水縣希望初級中學八年級期中）最近一段期間新冠肺炎肆虐，此情形下，很多單位都爭著購買消毒液．某商販先購進消毒液箱，價格為每箱50元，后又購進消毒液箱，價格為每箱60元，然后以每箱55元的價格全部售給某單位，請用、的式子表示每箱的平均進價．當時，該平均進價相對55元的售價是更高還是更低了？請說明理由．6．（2022·福建·莆田哲理中學八年級期末）閱讀下列材料，解決問題：在處理分數(shù)和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以考慮逆用分數(shù)（分式）的加減法，將假分數(shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（或整式）與一個真分數(shù)和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現(xiàn)舉例說明．將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解： ．這樣，分式就拆分成一個整式x﹣2與一個分式的和的形式．(1)將分式拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結果為______．(2)已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的值．7．（2022·全國·八年級單元測試）小郝同學在當建造師的爸爸的一份資料上看到一段文字：“民用住宅窗戶面積應小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比值越大，住宅的采光條件會越好．”小郝思考：如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會不會更好？為了驗證這猜想，小郝做了如下數(shù)學實驗：第一步：假設某住宅窗戶面積為17平方米，地板面積為80平方米，則．如果窗戶面積和地板面積同時增加1平方米，則，此時：∵，∴，所以，同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件會更好．第二步：假設某住宅窗戶面積為x平方米，地板面積為y平方米，且y>x>0，則，如果窗戶面積和地板面積同時增加1平方米，則．請幫小郝完成猜想證明過程．第三步：假設某住宅窗戶面積為x平方米，地板面積為y平方米，且y>x>0，則．如果窗戶面積和地板面積同時增加m平方米，則．請幫小郝完成猜想證明過程，井對問題下結論．8．（2022·全國·八年級單元測試）課本中有一探究活動如下：“商店通常用以下方法來確定兩種糖混合而成的什錦糖的價格：設種糖的單價為元/千克，種糖的單價為元/千克，則千克種糖和千克種糖混合而成的什錦糖的單價為（平均價）．現(xiàn)有甲乙兩種什錦糖，均由，兩種糖混合而成．其中甲種什錦糖由10千克種糖和10千克種糖混合而成；乙種什錦糖由100元種糖和100元種糖混合而成．你認為哪一種什錦糖的單價較高？為什么？”請你完成下面小明同學的探究：(1)小明同學根據(jù)題意，求出甲、乙兩種什錦糖的單價分別記為和（用、的代數(shù)式表示）；(2)為了比較甲、乙兩種什錦糖的單價，小明想到了將與進行作差比較，即計算的差與0比較來確定大??；(3)經(jīng)過此探究活動，小明終于悟出了建議父親選擇哪種方式加油比較合算的道理（若石油價格經(jīng)常波動．方式一：每次都加滿；方式二：每次加200元）．選擇哪種方式？請簡要說明理由．9．（2022·河南省直轄縣級單位·八年級期末）如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為（a－1）m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了550kg．設“豐收1號”、“豐收2號”小麥試驗田的單位面積產(chǎn)量分別為．(1)        ；        ．（用含a的式子表示）(2)求證：．(3)求的值．(4)當a＝49時，高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？10．（2022·福建廈門·八年級期末）為促進學生健康成長，某校分批購進若干體育用品．第一批購買的單價不低于18元，第二批購買的單價比第一批的單價少5元．(1)若第一批和第二批購買的費用分別為400元和450元，且第二批所購體育用品數(shù)是第一批所購體育用品數(shù)的1.5倍．求第一批體育用品每件的單價是多少元？(2)由于該體育用品深受學生喜歡，學校繼續(xù)籌劃費用購買第三批體育用品．如果第二批和第三批購買費用分別為m元和n元，．第三批所購買的單價比第一批購買單價的2倍少30元．第二批和第三批哪次購買的數(shù)量多，請說明理由．11．（2021·吉林·四平市鐵西區(qū)教師進修學校八年級期末）為了安全與方便，某自助加油站只提供兩種自助加油方式：“每次定額只加200元”與“每次定量只加40升”．現(xiàn)有甲、乙兩車連續(xù)兩次同時進入自助加油站加油，甲車選擇每次只加40升，乙車選擇每次只加200元為比較誰的加油方式更合算，不妨設第一次加油時油價為元/升，第二次加油時油價為元/升，且．請回答下列問題：（1）①甲車兩次加油的平均油價為：           元/升；②乙車兩次加油的平均油價為：           元/升．（2）請比較兩車的平均油價，并用數(shù)學語言說明哪種加油方式更合算．12．（2022·河北石家莊·八年級期中）已知：．(1)求，并將之化簡；(2)當時，記的值為．如，當時，的值為；當時，的值為；…．請直接寫出關于的不等式的解集及其最小整數(shù)解．13．（2022·安徽·阜陽實驗中學七年級期中）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題．，，，……(1)計算：             ；(2)探究：             （用含有的式子表示）；(3)求的值（用含有的式子表示）．

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