2022-2023學(xué)年重慶市南川區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份2022-2023學(xué)年重慶市南川區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析），共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年重慶市南川區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10小題，共40分）1.  下列各式中，最簡(jiǎn)二次根式是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形是(    )A.  B. ，，
C. ，， D. ，，3.  下列計(jì)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  下列個(gè)命題：
對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形；
三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．
其中正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  根據(jù)以下程序，當(dāng)輸入時(shí)，輸出的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  估計(jì)的值應(yīng)在(    )A. 和之間 B. 和之間 C. 和之間 D. 和之間7.  已知、為實(shí)數(shù)，且，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，兩點(diǎn)間的距離是(    )A.
B.
C.
D.
 9.  下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，按此規(guī)律排列下去，則第個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，，，垂足分別為，，連接，給出下列結(jié)論：
；
一定是等腰三角形；
四邊形的周長(zhǎng)為；
；
其中正確結(jié)論的序號(hào)為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本題共8小題，共32分）11.  若有意義，則的取值范圍是        ．12.  計(jì)算： ______ ．13.  菱形的對(duì)角線，，則該菱形的面積為______ ．14.  已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，求第三邊的長(zhǎng)______．15.  直角三角形的兩條直角邊分別長(zhǎng)和，斜邊長(zhǎng)為______ ．16.  如圖，已知矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)為，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)、、、得四邊形，則四邊形的周長(zhǎng)為______ ．
 17.  如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，將折疊，使落在斜邊上，折痕為，則的長(zhǎng)為______ ．
 18.  若一個(gè)四位正整數(shù)滿足：，我們就稱該數(shù)是“交替數(shù)”，則最小的“交替數(shù)”是        ；若一個(gè)“交替數(shù)”滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)的和能被整除則滿足條件的“交替數(shù)”的最大值為        ．三、解答題（本題共8小題，共78分）19.  計(jì)算：
；
．20.  如圖，已知，平分．
使用尺規(guī)完成基本作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論
求證：四邊形是菱形，請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程
證明：平分，
______．
又，
______，
，
，
同理可得：______，
．
又______，
四邊形為______．
，
四邊形是菱形．
21.  已知，，求下列各式的值：
；
．22.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，連接．
在圖中畫出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
在的基礎(chǔ)上，試判斷的形狀，并說明理由．
23.  先化簡(jiǎn)再求值：，其中．24.  如圖，為平行四邊形的對(duì)角線，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．
求證：四邊形是菱形．
若，，求四邊形的面積．
25.  已知：如圖，在菱形中，為邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，．
若，求的長(zhǎng)；
求證：．
26.  已知，如圖，矩形中，，，菱形的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別在矩形的邊，，上，，連接．
若，求證四邊形為正方形；
若，求的面積；
當(dāng)為何值時(shí)，的面積最小．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
B、不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
C、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
D、不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
故選：．
判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．
本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：
被開方數(shù)不含分母；
被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
 2.【答案】 【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
B、，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個(gè)就不是直角三角形，逐一判定即可．
本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
 3.【答案】 【解析】解：、無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故此選項(xiàng)正確；
C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，符合題意；
三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，符合題意；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，符合題意；
一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，不合題意．
正確的有：，
故選：．
利用平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定定理逐一判定后即可得到正確的選項(xiàng)．
本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定方法，難度不大．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意知：，則將代入的算數(shù)平方根中得：

故選：．
根據(jù)題中程序，將代入式中即可求解．
本題主要考查了有理數(shù)的算術(shù)平方根，理解題意及掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：原式
，
，
，
．
故選：．
先根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則計(jì)算出代數(shù)式的值，再估算出其取值范圍即可．
本題考查的是估算無理數(shù)的大小及二次根式的混合運(yùn)算，熟知估算無理數(shù)大小要用逼近法是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：由題意得：
且，
解得：且，
，
，
，
故選：．
根據(jù)二次根式可得且，從而可得，進(jìn)而可得，然后把，的值代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了二次根式的有意義的條件，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，連接，，

四邊形是矩形，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)，
，
，兩點(diǎn)間的距離為，
故選：．
由矩形的性質(zhì)可得，由兩點(diǎn)距離公式可求解．
本題考查了矩形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，掌握矩形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：觀察圖形的變化可知：
第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，
第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，
第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，
第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，
則：第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，
第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，
第個(gè)圖形中一共有個(gè)平行四邊形，
故選：．
觀察圖形的變化可得，，，，，，即可得結(jié)果．
本題考查的是平行四邊形的認(rèn)識(shí)，規(guī)律型：圖形的變化類，本題是一道根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，連接，

正方形的邊長(zhǎng)為，是對(duì)角線上一點(diǎn)，
，，，
又，，
，
，
，，即和均為等腰直角三角形，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，故正確；
，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，
故錯(cuò)誤；
由知：，且四邊形為矩形，
四邊形的周長(zhǎng)，
故正確；
四邊形為矩形，
，
四邊形為正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
故正確；
故選：．
先證是等腰直角三角形，則，再證四邊形是矩形，從而可得，即可判斷；
，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，即可判斷；
根據(jù)知四邊形為矩形、是等腰直角三角形，則四邊形的周長(zhǎng)，即可判斷；
證明≌，則，根據(jù)矩形對(duì)角線相等得，即可判斷．
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；充分利用正方形的性質(zhì)證明三角形全等可得相關(guān)驗(yàn)證．
 11.【答案】 【解析】解：由題意得，，
．
故答案為：．
直接根據(jù)二次根式有意義的條件解答即可．
本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：原式

．
利用平方差公式計(jì)算．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：菱形的兩條對(duì)角線，，
面積，
故答案為：．
根據(jù)菱形的面積公式：對(duì)角線乘積的一半求得面積．
本題考查菱形的面積，識(shí)記菱形的面積對(duì)角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】解：直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，
當(dāng)是此直角三角形的斜邊時(shí)，設(shè)另一直角邊為，則；
當(dāng)是此直角三角形的直角邊時(shí)，設(shè)另一直角邊為，則．
綜上所述，第三邊的長(zhǎng)為或． 【解析】由于此題中直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分是直角三角形的斜邊和直角邊兩種情況討論．
本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：在直角三角形中已知兩直角邊長(zhǎng)為，
則斜邊長(zhǎng)為，
故斜邊長(zhǎng)為．
在直角三角形中已知兩直角邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算斜邊的長(zhǎng)度．
本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中正確的根據(jù)勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
同理，，，
四邊形是矩形，
，
，
四邊形是菱形，
四邊形的周長(zhǎng)為．
故答案為：．
由三角形中位線定理推出，得到四邊形是菱形，即可求出四邊形的周長(zhǎng)為．
本題考查菱形的判定，矩形的性質(zhì)，中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，菱形的判定方法．
 17.【答案】 【解析】解：解法一：在直角三角形中，，，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，
，，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
．
故答案為：．
解法二：在直角三角形中，，，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，
，
設(shè)，則，
，
，即，
解得：，
．
故答案為：．
解法一：根據(jù)勾股定理可求得，由折疊的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而得到，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．
解法二：根據(jù)勾股定理可求得，由折疊的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，以此得到，則，代入求解即可．
本題主要考查折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
 18.【答案】   【解析】解：取最小的正整數(shù)，取最小的整數(shù)，
則，，．
最小的“交替數(shù)”是；
根據(jù)題意知：，是正整數(shù)，．
，且，，
或，
解得或，
．
，
或，
是正整數(shù)，
或或，
或或或或或，
解得或或舍去或舍去或或，
，，，，即；
或，，，，即；
或，，，，即；
或，，，，即．
故所有的“交替數(shù)”是或或或，
最大的“交替數(shù)”為，
故答案為：，．
根據(jù)最小的正整數(shù)是，最大的一位數(shù)是解答；根據(jù)題意得到：，是正整數(shù)，，聯(lián)立方程組，解答即可．
本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解新定義，并將其轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：

；


． 【解析】先化簡(jiǎn)，同時(shí)去括號(hào)，然后再合并同類二次根式即可；
根據(jù)完全平方公式將式子展開，然后合并同類項(xiàng)即可．
本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】        平行四邊形 【解析】解：圖形如圖所示：


證明：平分，
，
 又，
，
，
，
同理可得：，
．
又，
四邊形為平行四邊形．
，
四邊形是菱形．
故答案為：，，，，平行四邊形．
根據(jù)要求作出圖形即可；
先證得，結(jié)合已知條件證得四邊形為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法和菱形的判定方法．
 21.【答案】解：，，




；
，，




． 【解析】把原式化為的形式，再把，的值代入進(jìn)行計(jì)算即可；
把原式化為的形式，再把，的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟知二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求，點(diǎn)；

是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形． 【解析】作出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，即可；
根據(jù)勾股定理逆定理求解即可．
本題主要考查作圖平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
 23.【答案】解：原式

，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡(jiǎn)，把的值代入計(jì)算即可．
本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，是的中點(diǎn)，
，
四邊形是菱形．
解：是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
，
，
，，
，
，
． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得，由平行線的性質(zhì)得，，由即可得出≌則，易證四邊形是平行四邊形，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，即可得出≌，則，易證四邊形是平行四邊形，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．
由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，得出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再由，，利用求出的，再利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求解即可．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
證明：，
，
在與中，
，
≌，
，
，
，
，，，
，
，，
，
設(shè)，
在中，，
在中，
，
，
，，
，
，
． 【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得對(duì)角線平分對(duì)角，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，等量代換可得，根據(jù)三線合一即可求得，即可求解．
證明≌，得出，進(jìn)而得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)即可得證．
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：四邊形為矩形，四邊形為菱形，
，，又，
≌，
，
，
，
，
四邊形為正方形；

過作，交延長(zhǎng)線于，連接，

，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，即無論菱形如何變化，點(diǎn)到直線的距離始終為定值，
因此；

設(shè)，則由第小題得，，在中，，
利用勾股定理可得：，
即，
，
的最小值為，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，的面積最?。?/span> 【解析】由于四邊形為矩形，四邊形為菱形，那么，，而，易證≌，從而有，等量代換可得，易證四邊形為正方形；
過作，交延長(zhǎng)線于，連接，由于，可得，同理有，利用等式性質(zhì)有，再結(jié)合，，可證≌，從而有即無論菱形如何變化，點(diǎn)到直線的距離始終為定值，進(jìn)而可求三角形面積；
先設(shè)，由第小題得，，在中，，利用勾股定理可得，在中，再利用勾股定理可得，進(jìn)而可求，從而可得當(dāng)時(shí)，的面積最小．
本題考查了二次函數(shù)的最值、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線：過作，交延長(zhǎng)線于，連接，構(gòu)造全等三角形和內(nèi)錯(cuò)角．