?第7講 方陣問題
A 較易
【例1】 1．四年級的同學(xué)參加“六一”兒童節(jié)的團體操表演，每橫排人數(shù)同樣多，每豎排人數(shù)也同樣多．王箐的位置是從左數(shù)第10人，從右數(shù)第8人，從前數(shù)第9人，從后數(shù)第7人．則參加表演的同學(xué)有（）人．
A．272 B．255 C．245 D．210
【考點】N6：方陣問題．
【分析】由“王箐的位置是從左數(shù)第10人，從右數(shù)第8人”條件，得知王箐所在的這一橫排中有10+8﹣1=17人（10、8兩個數(shù)字中都包括了王箐），即每橫排有17人；同理得，每豎排有9+7﹣1=15人，這樣用17×15即可求出問題的答案了．
【解答】解：10+8﹣1=17（人）
9+7﹣1=15（人）
17×15=255（人）
故選：B．

【例2】 2．一個正方形池塘的邊長是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵樹，四個頂點各栽一棵，一共要栽（）棵樹．
A．30 B．28 C．26 D．24
【考點】N6：方陣問題．
【專題】455：植樹問題．
【分析】（1）先求出12里面有幾個2，再加1就是每邊最多栽的棵數(shù)；
（2）再用每邊栽的棵數(shù)×4﹣4即可解答．
【解答】解：12÷2+1=7（棵），
7×4﹣4=24（盆），
答：一共要栽24棵樹．
故選：D．

【例3】 3．（2015?創(chuàng)新杯）三（2）班學(xué)生排成每行人數(shù)相同的隊伍（正方形方陣），參加學(xué)校運動會入場式，梅紅的位置從前數(shù)是第5個，從后數(shù)是第3個；從左數(shù)是第3個，從右數(shù)是第5個，那么該班有（）人參加入場式．
A．64 B．63 C．56 D．49
【考點】N6：方陣問題．
【分析】要解決這道題我們需要兩個條件：
一：每行有多少人？5+3=8個，這時候梅紅加了兩次，所以每行應(yīng)該有5+3﹣1人；
二：隊伍的行數(shù)？用同樣的方法，共有5+3﹣1（人），
最后用每行人數(shù)×行數(shù)，即可．
【解答】解：（5+3﹣1）×（5+3﹣1）[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
=7×7
=49（人）
答：該班有49人參加入場式．
故選：D．

【例4】 4．（2014?迎春杯）如圖是由15個點組成的三角形點陣，在右圖中至少去掉（）個點，就不會再出現(xiàn)以圖中的點為頂點的正三角形了．

A．6 B．7 C．8 D．9
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】

設(shè)最小正三角形的邊長為1，即兩個相鄰格點的距離為1，要使不會再出現(xiàn)以圖中的點為頂點的正三角形，就必須使任何三個點都不能組成正三角形，并且為使最少，盡量去掉公共點，據(jù)此解答即可．
【解答】解：設(shè)最小正三角形的邊長為1，如圖1所示，以A為頂點可以組成邊長為4、3、2、1的等邊三角形，所以A點必須去掉，同理B、C也必須去掉．
如圖2所示（空白表示必須去掉的點），圍成了四個邊長為2的等邊三角形和若干個邊長為1的等邊三角形，所以必須去掉O、D、E、F．
因此共去掉了7個點．
故選：B．

【例5】 5．（2017?中環(huán)杯）小明所在學(xué)校舉辦運動會，所有學(xué)生站成了一個12×12的實心方陣，這個方陣的最外層有44人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】所有學(xué)生站成了一個12×12的實心方陣，說明這個方陣的最外層每邊有12人，然后根據(jù)最外層人數(shù)=每邊人數(shù)×4﹣4；代入數(shù)據(jù)即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
=48﹣4
=44（人）
答：這個方陣的最外層有 44人．
故答案為：44．

【例6】 6．（2015?迎春杯）小魚老師站在一個9行9列的正方形隊列中，她發(fā)現(xiàn)自己正前方有2個人；全體右轉(zhuǎn)后，小魚老師發(fā)現(xiàn)自己正前方變成了4個人；如果再全體右轉(zhuǎn)，小魚老師將發(fā)現(xiàn)自己正前方有6人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】對于小魚老師來說，她連續(xù)向右轉(zhuǎn)后，就相當(dāng)于小魚老師直接向后轉(zhuǎn)，這樣問題就簡化為，小魚老師后面有2個人，去掉小魚老師自己，根據(jù)方陣問題的特點還有9﹣2﹣1=6人；據(jù)此解答即可．
【解答】解：9﹣2﹣1=6（人）
答：如果再全體右轉(zhuǎn)，小魚老師將發(fā)現(xiàn)自己正前方有 6人．
故答案為：6．

【例7】 7．（2015?學(xué)而思杯）為紀(jì)念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年，2015年9月3日在天安門廣場舉行了盛大的閱兵式．受閱部隊中有10個英模部隊方隊，已知每個英模部隊方隊有14排，每排25人．那么，受閱的10個英模方隊共有3500人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】每個英模部隊方隊有14排，每排25人，每個方隊就有14個25人，用25乘上14求出每個方隊的人數(shù)，再乘10，即可求出10個方隊一共有多少人．
【解答】解：25×14×10[來源:Z.xx.k.Com]
=350×10
=3500（人）
答：受閱的10個英模方隊共有 3500人．
故答案為：3500．

【例8】 8．（2014?迎春杯）同學(xué)們排成一個方陣進行廣播操表演．小海的位置從前、從后、從左、從右數(shù)都是第5個，參加廣播操表演的共有81人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】小海的前后左右都是第5個，包括他自己在內(nèi)，每行每列都是5+5﹣1=9人；這個方隊組成的是一個實心方陣，是一個正方形，最外層每條邊上都有9個人，根據(jù)實心方陣的總點數(shù)=每邊點數(shù)×每邊點數(shù)，即可解答問題．
【解答】解：根據(jù)題干分析可得：
5+5﹣1=9（人）
9×9=81（人）
答：參加廣播操表演的共有81人．
故答案為：81．

【例9】 9．（2014?育苗杯）學(xué)校大樓前擺放了一個方陣花壇．這個花壇的最外層每邊各擺了10盆花，那么這個花壇最外層共擺了36盆花．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】這個方陣花壇的最外層每邊有花盆10盆，可以看做每邊點數(shù)為10的方陣問題，根據(jù)最外層四周的總點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4，即可解決問題．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（盆），
答：最外層一共擺了36盆．
故答案為：36．

【例10】 10．（2011?走美杯）運動會入場式要求運動員排成9行9列的正方形方陣．如果去掉2行2列，每個方陣減少32名運動員．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】9行9列，共有9×9=81人，如果去掉2行2列，還剩9﹣2=7行，9﹣2=7列，還剩7×7=49（人），然后用總?cè)藬?shù)減去剩下的人數(shù)就是減少的人數(shù)．
【解答】解：9﹣2=7（人），
9×9=81（人），
7×7=49（人），
81﹣49=32（人）；
答：每個方陣減少 32名運動員．

【例11】 11．（2006?希望杯）希望小學(xué)舉行運動會，全體運動員的編號是從1開始的連續(xù)整數(shù)，他們按圖中實線所示，從第1行第1列開始，按照編號從小到大的順序排成一個方陣．小明的編號是28，他排在第3行第4列，則運動員共有144人．

【考點】N6：方陣問題．
【分析】由題意知小明排在28號，在第3行第4列，那么前兩行共有28﹣4=24人，每行有24÷2=12人，又前兩行人數(shù)相同，則各為12人，又是方陣，則共有12×12=144人．
【解答】解：28號在第3行第4列，那么前兩行共有28﹣4=24人，每行有24÷2=12人，又是方陣，則總?cè)藬?shù)為12×12=144（人）．
故答案為：144．

【例12】 12．軍訓(xùn)的學(xué)生進行隊列表演，排成了一個7行7列的正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉13人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】由題意知，我們直接利用“方陣問題”的基本公式即可解答．
【解答】解：7×2﹣1=13（人）
故：此空為13．

【例13】 13．（2016?其他杯賽）要在一個正方形的花園四周的邊上種樹，每邊都種10棵，并且四個角上都有種1棵，一共要準(zhǔn)備36棵樹苗．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)方陣問題的公式：四周點數(shù)=（每邊點數(shù)﹣1）×4，代入數(shù)據(jù)解答即可．
【解答】解：（10﹣1）×4
=9×4
=36（棵）
答：一共要準(zhǔn)備36棵樹苗．
故答案為：36．

【例14】 14．（2016?學(xué)而思杯）一群學(xué)生組成了一個兩層空心方陣，在原有方陣的最外層再增加一層，增加 后的總?cè)藬?shù)為原來人數(shù)的兩倍．如果想讓這個三層空心方陣變成一個實心方陣，至少還需要再補充1名學(xué)生．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】由題意，新增加最外層人數(shù)和原來兩層人數(shù)和相等，根據(jù)最外層和第二層相差8，所以最內(nèi)層為8名學(xué)生，則要想變成一個實心方陣，至少需要在中間補充1名學(xué)生．
【解答】解：在原有方陣的最外層再增加一層，增加后的總?cè)藬?shù)為原來人數(shù)的兩倍，則新增加最外層人數(shù)和原來兩層人數(shù)和相等，
因為最外層和第二層相差8，所以最內(nèi)層為8名學(xué)生，則要想變成一個實心方陣，至少需要在中間補充1名學(xué)生．
故答案為1．

【例15】 15．（2015?陳省身杯）陽光小學(xué)的學(xué)生在操場上排成一個實心正方形方陣．已知方陣最外面一圈都是男生，向內(nèi)相鄰一圈都是女生，然后再向內(nèi)相鄰一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生總數(shù)比女生總數(shù)多28人，那么整個方陣共有學(xué)生196 人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)方陣知識可知，相鄰每邊的人數(shù)相差2，所以相鄰的內(nèi)外圈相差2×4=8人，28÷8=3…4人，所以最后一圈是男生有4人，這一圈外面還有3×2=6圈，所以最外圈有4+6×8=52人，然后根據(jù)等差數(shù)列公式即可求出總?cè)藬?shù)．
【解答】解：相鄰的內(nèi)外圈相差：2×4=8（人）
因為28÷8=3…4（人），所以最后一圈是男生有4人，這一圈外面還有3×2=6圈，
所以最外圈有：4+6×8=52（人）
（4+52）×（6+1）÷2
=56×7×2
=196（人）
故答案為196．

【例16】 16．（2015?走美杯）某小學(xué)三年級的部分學(xué)生排成一個實心正方形方陣，最外面3層有學(xué)生72人，這個方陣共有學(xué)生81人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】因為方陣中，從外向內(nèi)每邊的人數(shù)依次減少2人，所以依次相差：2×4=8人，8×2=16人，假設(shè)3層人數(shù)都和最外層人數(shù)相等，共有學(xué)生72+8+16=96人，所以最外層的人數(shù)是：96÷3=32人，則每邊的人數(shù)是：32÷4+1=9人，然后根據(jù)“實心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)”解答即可．
【解答】解：（72+2×4+2×4×2）÷3÷4+1
=96÷3÷4+1
=32÷4+1
=9（人）
9×9=81（人）
答：這個方陣共有學(xué)生 81人．
故答案為：81．

【例17】 17．（2015?學(xué)而思杯）一個四層的空心方陣，如果最外層人數(shù)是最內(nèi)層人數(shù)的2倍，那么，這個空心方陣一共有144個人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】在方陣問題中，相鄰的里外兩層每邊的人數(shù)相差2人，所以四層的空心方陣最外層每邊人數(shù)比最內(nèi)層每邊人數(shù)多：2×（4﹣1）=6人，一共多6×4=24人，根據(jù)差倍公式可得最內(nèi)層人數(shù)是：24÷（2﹣1）=24人，則最外層人數(shù)是：24×2=48人，最外層每邊的人數(shù)是：（48+4）÷4=13人，然后再根據(jù)“空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4”解答即可．
【解答】解：最外層比最內(nèi)層多：2×（4﹣1）×4
=6×4
=24（人）
最內(nèi)層人數(shù)是：24÷（2﹣1）=24（人）
最外層人數(shù)是：24×2=48（人）
最外層每邊的人數(shù)是：（48+4）÷4=13（人）
總?cè)藬?shù)是：（13﹣4）×4×4
=9×16
=144（人）
答：這個空心方陣一共有 144個人．
故答案為：144．

【例18】 18．（2014?春蕾杯）有一隊學(xué)生排成一個空心方陣，最外層是52人，最內(nèi)層是28人，這隊學(xué)生有160人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】此題為空心方陣問題，每相鄰的兩層相差8人，已知最外層有52人，最內(nèi)層有28人，則方陣的層數(shù)：（52﹣28）÷8+l=4（層）；最外層每邊的人數(shù)52÷4+1=14人，共52人，由此根據(jù)“空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，”即可求出這個方陣的總?cè)藬?shù)．
【解答】解：方陣的層數(shù)：（52﹣28）÷8+l
=3+1
=4（層）；
最外層每邊的人數(shù)：52÷4+1
=13+1
=14（人）；
總?cè)藬?shù)：（14﹣4）×4×4
=10×16
=160（人）；
答：這一隊學(xué)生共有160人．
故答案為：160．

【例19】 19．有若干盆鮮花擺成一個四層的中空方陣，最外層每邊有12盆，一共擺了多少盆鮮花？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】由題意知，要求這個四層空心方陣一共擺了多少盆鮮花，就是求這個方陣的總點數(shù)；根據(jù)方陣問題中：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4解答即可．
【解答】解：（12﹣4）×4×4
=8×16
=128（盆）
答：一共擺了128盆鮮花．

【例20】 20．一隊學(xué)生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】若干名運動員站成20行20列的方陣，現(xiàn)在去掉4行4列，現(xiàn)在是（20﹣4）行（20﹣4）列，然后根據(jù)“實心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)”求出原來和現(xiàn)在的總?cè)藬?shù)，再相減即可．
【解答】解答：20﹣4=16（人）
20×20=400（人）
16×16=256（人）
400﹣256=144（人）
答：要減少144人．

【例21】 21．晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個．晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)方陣問題中：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4解答即可．
【解答】解：（14﹣3）×3×4
=11×3×4
=132（個）
答：晶晶擺這個方陣共用圍棋子132個．

【例22】 22．做少年廣播體操時，某年級的學(xué)生站成一個實心方陣時（正方形隊列）時，還多10人，如果站成一個每邊多1人的實心方陣，則還缺少15人．問：原有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】當(dāng)擴大方陣時，需補充10+15=25（人），這25人應(yīng)站在擴充的方陣的兩鄰邊處，形成一層人構(gòu)成的直角拐角．補充人后，擴大的方陣每邊上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，擴大的方陣共有13×13=169（人），去掉15人，就是原來人數(shù)．
【解答】解：擴大的方陣每邊上有：（10+15+1）÷2=13（人）；
原來人數(shù)：13×13﹣15=154（人）；
答：原來有154人．

【例23】 23．棋子若干粒，恰好可排成每邊8粒的正方形，棋子的總數(shù)是多少？棋子最外層有多少粒？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】棋子排成每邊8粒的正方形，即每排八粒，共八排，可見棋子總數(shù)是8個8粒，即8×8=64粒，最外層的棋子數(shù)可按公式：一周總點數(shù)=每邊粒數(shù)×4﹣4求得．
【解答】解：8×8=64（粒）
8×4﹣4
=32﹣4
=28（粒）
答：棋子共有64粒，最外層有28粒．

【例24】 24．一些學(xué)生，如果排成三層空心方陣，則多24人，如果在中間空心部分接一層，則少8人，共有多少學(xué)生？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】由題意知，空心部分接的這一層的總?cè)藬?shù)是24+8=32人，進而求得其每邊的人數(shù)是9人；由此可推出方陣的最外層每邊人數(shù)是9+2×3=15人，之后就可根據(jù)“求多層空心方陣總?cè)藬?shù)的公式”即可得到排成四層空心方陣需要的人數(shù)176人，實際還差8人，這樣就可知道實際共有的學(xué)生人數(shù)了．
【解答】解：24+8=32（人）
32÷4+1=9（人）
9+3×2=15（人）
（15﹣4）×4×4=176（人）
176﹣8=168（人）
答：共有168人．

【例25】 25．一個五層正方形空心花壇最里層每邊擺5盆花，這個花壇共有多少盆花？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】由題意得空心花壇最外層每邊擺的花盆數(shù)，即5+2×4=13盆；接著再根據(jù)“求多層空心方陣總盆數(shù)的公式”即可求得問題的答案．
【解答】解：5+2×（5﹣1）=13（盆）
（13﹣5）×5×4=160（盆）
答：這個花壇共有160盆花．

【例26】 26．一座大型雕像周圍用盆花擺了一個4層的正方形花壇，這些盆花如果擺成兩層的正方形花壇，最外一層的盆花數(shù)比擺成4層的最外一層盆花數(shù)每邊多8盆．問擺這個正方形花壇用了多少盆花？（用算術(shù)法解答）
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】在方陣問題中，相鄰兩邊的點數(shù)相差2，所以4層方陣都比最里層每邊多2、4、6盆，如果每層都相等，總共多（2+4+6）×4=48盆；同理，由于擺成兩層比擺成4層的最外一層盆花數(shù)每邊多8盆，所以兩層方陣最外層和4層方陣相比較，比最里層每邊多6+8=14盆，另一層多14﹣2=12盆，總共多（12+14）×4=104盆；這樣根據(jù)盈虧問題可得4層方陣最里層有：（104﹣48）÷（4﹣2）=28盆，則向外三層分別是36、44、52盆，然后相加即可．
【解答】解：根據(jù)分析可得，
（2+4+6）×4
=12×4
=48（盆）
6+8=14（盆）
14﹣2=12（盆）
（12+14）×4
=26×4
=104（盆）
（104﹣48）÷（4﹣2）
=56÷2
=28（盆）
28+2×4=36（盆）
36+2×4=44（盆）
44+2×4=52（盆）
28+36+44+52=160（盆）
答：擺這個正方形花壇用了160盆花．

【例27】 27．四年級參加軍訓(xùn)的學(xué)生排成一個方陣進行匯報演習(xí)，這個方陣最外層每邊有15名學(xué)生．
（1）最外層一共有多少名學(xué)生？
（2）這個方陣一共有多少名學(xué)生？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】（1）根據(jù)公式：最外層人數(shù)=每邊人數(shù)×4﹣4；代入數(shù)據(jù)即可解答．
（2）根據(jù)公式：實心方陣中總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)；代入數(shù)據(jù)即可解答．
【解答】解：（1）15×4﹣4
=60﹣4[來源:學(xué).科.網(wǎng)]
=56（名），
15×15=225（名），
答：最外層一共有56名學(xué)生，這個方陣一共有225名學(xué)生．

【例28】 28．在正方形毛巾四周繡花，四個頂點各有一朵，如果每邊都繡有5朵花，毛巾四周一共繡了多少朵花？（先在圖中用“○”畫一畫，再算一算）

【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】本題看作一個空心方陣問題，利用方陣最外層四周點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4計算出最外層四周點數(shù)即可．
【解答】解：畫圖如下：

5×4﹣4
=20﹣4
=16（朵）
答：毛巾四周一共繡了16朵花．

【例29】 29．育才小學(xué)有學(xué)生420人，排成了一個三成的空心方陣，這個方陣的最外層每邊有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，這是一個三層空心方陣，已知共有學(xué)生420人，要求最外層每邊有多少名學(xué)生，據(jù)方陣問題中：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，可得出：最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)，據(jù)此解答即可．
【解答】解：420÷4÷3+3
=35+3
=38（人）
答：這個方陣的最外層每邊38人．

【例30】 30．工人叔叔排成一個空心方陣，最外層共有68人，最內(nèi)層共有44人，工人叔叔一共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)公式：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，層數(shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣內(nèi)層每邊的人數(shù)）÷2+1，代入數(shù)據(jù)解答即可．
【解答】解：68÷4+1=18（人）
44÷4+1=12（人）
（18﹣12）÷2+1=4（層）
（18﹣4）×4×4
=14×4×4
=224（人）
答：工人叔叔一共有224人．

【例31】 31．同學(xué)們做操，無論是每行6人，還是每行8人或9人，都剛好能排成一個完整的長方形方陣，已知做操人數(shù)在100到200人之間．做操的一共有幾人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】求這個班學(xué)生的總?cè)藬?shù)，根據(jù)題意，也就是求6、9和8的公倍數(shù)，但數(shù)量在100到200人之間即可．
【解答】解：因為9=3×3，6=3×2，8=2×2×2，
所以6、8和9的最小公倍數(shù)是：3×3×2×2×2=72，
因為72的2倍是144，在100到200人之間，符合題意，
所以做操的一共有72人．
答：做操的一共有72人．

【例32】 32．參加軍訓(xùn)的學(xué)生排成了一個正方形隊列進行表演，如果這個隊列橫豎各增加一排，還需要補充21人．參加隊列表演的學(xué)生有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】先求出現(xiàn)在最外層每邊的人數(shù)：（21+1）÷2=11（人），然后根據(jù)“中實方陣的總?cè)藬?shù)=每邊的人數(shù)×每邊的人數(shù)”，求出原來參加隊列表演的師生有多少人即可，列式為：11×11﹣21=100（人）．
【解答】解：（21+1）÷2=11（人），
11×11﹣21
=121﹣21
=100（人）；
答：原來參加隊列表演的師生有100人．

【例33】 33．如圖是一個五邊形點陣，它的中心點算是第一層，第二層每邊兩個點（五邊形頂點為相鄰兩邊共用）第三層每邊三個點…若此點陣共有100層，試求出點陣中點的總數(shù)．

【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】第一層有1個點，第二層有5個點，第三層有10個點，第四層有15個點，第n（第一層除外）層就用（n﹣1）×5個點，那么除了第一層剩下的部分是一個公差是5的等差數(shù)列，由此求出2～100這99層的數(shù)量和，再加上1個即可．
【解答】解：第一層有1個點，第二層有5個點，第三層有10個點，第四層有15個點，
第n（第一層除外）層就用（n﹣1）×5個點，
第100層有（100﹣1）×5=495個點
（5+495）×99÷2+1
=24750+1
=24751（個）
答：點陣中點的總數(shù)是24751．

【例34】 34．用若干枚棋子擺成一個正方形，最外層共有60枚．這個正方形共用棋子多少枚？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】已知正方形最外層擺滿需60枚棋子，根據(jù)方陣中“每邊的枚數(shù)=四周的枚數(shù)÷4+1”可求得最外層每邊擺了多少枚棋子，內(nèi)部全部擺滿，則形成一個實心方陣，要求共需多少棋子，用每邊棋子數(shù)×每邊棋子數(shù)=總棋子數(shù)解答即可．
【解答】解：60÷4+1=16（枚）
16×16=256（枚）
答：這個正方形共用棋子256枚．

【例35】 35．有一個站了3層人的“中空方陣”．最外層每邊站10人．算一算：全陣共站了多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)公式“空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，”即可求出這個方陣的總數(shù)．
【解答】解：（10﹣3）×3×4
=7×3×4
=84（人）
答：全陣共站了84人．

【例36】 36．做廣播操時，某年級排成了25人一行的正方形方陣，這個方陣共有多少人？最外層共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)公式：中實方陣的總?cè)藬?shù)=每邊的人數(shù)×每邊的人數(shù)，四周的人數(shù)=（每邊的人數(shù)﹣1）×4，代入數(shù)據(jù)解答即可．
【解答】解：25×25=625（人）
（25﹣1）×4=96（人），
答：這個方陣共有625人，最外一層共有96人．

【例37】 37．同學(xué)們進行廣播操比賽，五、六年級學(xué)生排成一個正方形方陣，最外層共有80名學(xué)生，最外層每邊各有多少名學(xué)生？整個方陣一共有多少名學(xué)生？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由于四個頂點上的人屬于相鄰的兩個邊公共的人，所以每邊的人數(shù)是：80÷4+1=21（名），因此這個方陣共有學(xué)生21×21=441（名），據(jù)此解答．
【解答】解：80÷4+1=21（名）
21×21=441（名）
答：最外層每邊各有21名學(xué)生，整個方陣一共有441名學(xué)生．

【例38】 38．某班同學(xué)在軍訓(xùn)隊列表演中恰好站成一個8×8的方陣，若讓這些同學(xué)在一條250米長的筆直的馬路上站崗，以一端開始每隔5米站一個人，則站滿之后還剩下多少人？
【考點】N5：植樹問題；N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】站成一個8×8的方陣，則共有8×8=64人，由于兩端都站，所以250米長的馬路包括250÷5=50個5米長的段（間隔數(shù)），所以站崗需要50+1=51人，站滿后還剩下64﹣51=13人．
【解答】解：8×8=64（人），
250÷5=50（個），
50+1=51（人），[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]
剩下：64﹣51=13（人）；
答：站滿后還剩下13人．

【例39】 39．（2017?學(xué)而思杯）藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們用64盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面增加一層成為三層方陣，至少需要多少盆花？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由于方陣相鄰兩層每邊相差2盆，共相差8盆，所以用（64+8）÷2可求得兩層空心方陣的最外層有多少盆，再加上8盆就是在外面增加一層需要的盆數(shù)．
【解答】解：（64+8）÷2+8
=72÷2+8
=36+8
=44（盆）
答：至少需要44盆花．

【例40】 40．96名少先隊員進行團體操表演，排成了一個四層的空心方陣，最外層每邊有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，這是一個4層空心方陣，已知共有學(xué)生96人，要求最外層每邊有多少名學(xué)生，據(jù)方陣問題中：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，可得出：最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)，據(jù)此解答即可．
【解答】解：96÷4÷4+4
=6+4
=10（人），
答：這個方陣的最外層每邊10人．

【例41】 41．運動會的表演方隊由306名同學(xué)組成，怎樣站隊才能使每行人數(shù)每列人數(shù)盡可能的接近？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】要使每行人數(shù)每列人數(shù)盡可能的接近，把306人分解成兩個數(shù)的乘積，這兩個數(shù)越接近即可．
【解答】解：306=17×18
所以這個方陣每行17人，每列18人即可．
答：這個方陣每行17人，每列18人．

【例42】 42．在一個合唱隊中在前面看小明的位置是（9，7），在后面看的位置看是（3，5），請你算一算這個合唱隊共有多少人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】48L：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題．
【分析】在前面看的位置是（9，7），從前面數(shù)她是第9列，第7行；向后轉(zhuǎn)再看，位置是（3，5），她就是第3列，第5行；那么一共就有9+3﹣1=11列，7+5﹣1=11行；總?cè)藬?shù)就是11×11=121（人）．
【解答】解：（9+3﹣1）×（7+5﹣1）
=11×11
=121（人）；
答：這個合唱隊共有121人．

【例43】 43．一個正方形大舞臺周長是120米，在4個角上都擺上一盆花，每條邊上都擺了11盆花．每盆花之間相距多少米？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】此題屬于空心方陣問題，根據(jù)四周點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4求出一共有幾盆花，然后用正方形的周長除以盆數(shù)即可解答．
【解答】解：120÷（11×4﹣4）
=120÷40
=3（米）
答：每盆花之間相距3米．

【例44】 44．學(xué)校舉行隊列比賽吋，四年級6個班排成一個大方陣，最外層每邊有20人，一周一共有76人．次外層每邊有多少人？次外層一周共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】（1）在方陣問題中相鄰的兩層每邊的點數(shù)相差2，由于最外層每邊有20人，則次外層每邊有：20﹣2=18（人）；
（2）根據(jù)四周的人數(shù)=（每邊的人數(shù)﹣1）×4，可得次外層一周共有：（18﹣1）×4=68（人），據(jù)此解答即可．
【解答】解：（1）20﹣2=18（人）
（2）（18﹣1）×4
=17×4
=68（人）
答：次外層每邊有18人，次外層一周共有68人．

【例45】 45．果園正方形池塘邊要種柳樹，每邊栽6棵，最多栽多少棵？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)題意，在一個正方形池塘栽樹，每邊栽6棵，乘上邊數(shù)4，即，6×4=24棵，因為4個角都不栽樹，這時就最多．
【解答】解：6×4=24（棵）
答：最多栽24棵．

【例46】 46．將棋子排成正方形，甲乙兩兒童自其外周起，輪流取一周，結(jié)果甲比乙多得24粒，求棋子總數(shù)．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】因棋子排成的是正方形，所以最里面的方陣有4粒棋子，根據(jù)方陣的特點，每外層棋子比內(nèi)層棋子多8粒，每條外邊比內(nèi)邊多2粒，根據(jù)甲比乙多得了24粒，可求出甲拿了幾層，據(jù)此可求出總層數(shù)，進而求出最外層的粒數(shù)，然后求出棋子總數(shù)即可．
【解答】解：24÷8=3（層）
3×2=6（層）
2+（6﹣1）×2
=2+5×2
=12（粒）
12×12=144（粒）
答：棋子總數(shù)是144粒．

【例47】 47．花壇里前、后、左、右都種了8棵柳樹，一共種了多少棵柳樹？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】花壇里前、后、左、右都種了8棵柳樹，說明每條邊上都種了8棵柳樹，把它看作一個空心方陣，那么一共種了8×4﹣4棵柳樹．
【解答】解：8×4﹣4
=32﹣4
=28（棵）
答：一共種了28棵柳樹．

【例48】 48．一個實心方陣，最外層共有44人．請問：
（1）這個方陣共有多少人？
（2）要讓這個方陣減少一半，一共減少了多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】（1）因為方陣的四個角上都是重復(fù)的，方陣的四個角上都是重復(fù)了一次，所以計算時要減去，算每邊人數(shù)時，先用總數(shù)加上4，所以每邊上有（44+4）÷4=12人；
（2）減少一半就是由原來的12行12列，減少到6行6列，6行6列就是6×6=36人，進而算出減少的即可．
【解答】解：（1）（44+4）÷4=12（人）
12×12=144（人）
答：這個方陣共有144人．

（2）減少一半就是6行6列，
144﹣6×6
=144﹣36
=108（人）
答：一共減少了108人．

【例49】 49．用紅、綠兩種顏色的小正方形瓷磚鋪成一塊正方形墻面，由外到內(nèi)算起，這個墻面最外層鋪的是紅色瓷磚，第二層是綠色瓷磚，第三層是紅色瓷磚，第四層是綠色瓷磚…這樣依次鋪下次，一共使用了400塊瓷磚．請問：這個墻面上哪種顏色的瓷磚更多？兩種瓷磚相差多少塊？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】一共使用了400塊瓷磚，而20×20=400，說明該方陣是20行20列，因為是方陣，所以相鄰的兩層每邊相差2塊，每層相差8塊，說明紅色的瓷磚多從最外層開始每兩層相差8塊，那么共5個兩層，所以相差40塊．
【解答】解：因為：20×20=400塊
所以該方陣是20行20列10層紅色，10層綠色，而且從最外層起，相鄰的紅色瓷磚比與之相鄰的綠色瓷磚多：
2×4=8塊
8×5=40塊
答：這個墻面上紅顏色的瓷磚更多，兩種瓷磚相差40塊．

【例50】 50．一個正方形方隊，外層有100人，問此方隊共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由于四個頂點上的人屬于相鄰的兩個邊公共的人，所以每邊的人數(shù)是：100÷4+1=26（人），因此這個方隊共有26×26=676（人），據(jù)此解答．
【解答】解：100÷4+1=26（人），
26×26=676（人），
答：這個方隊共有676人．


B 中等
【例51】 1．（2012?華羅庚金杯）小虎在19×19的圍棋盤的格點上擺棋子，先擺成了一個長方形的實心點陣．然后再加上45枚棋子，就正好擺成﹣邊不變的較大的長方形的實心點陣．那么小虎最多用了（）枚棋子．
A．285 B．171 C．95 D．57
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】45=1×45=3×15=5×9，既然是長方形，1×45這種不用考慮，所以長方形不變的這條邊長，可能是：3、5、9、15這四種．要使用最多棋子，則不變的邊長只能是15，棋盤最長是19格，因此最終的較大點陣是15×19=285枚棋子．
【解答】解：45=1×45=3×15=5×9
既然是長方形，1×45這種不用考慮，所以長方形不變的這條邊長，
可能是：3、5、9、15這四種，
要使用最多棋子，則不變的邊長只能是15，棋盤最長是19格，
因此最終的較大點陣是：15×19=285（枚）；
故選：A．

【例52】 2．（2015?育苗杯）用同一規(guī)格的瓷磚鋪一塊正方形地面，鋪的要求如圖所示，正方形地面的兩條對角線都用黑色，其余地方鋪白色，而且黑色的瓷磚用了1001塊，那么白色的瓷磚共用了250000塊．

【考點】N6：方陣問題．
【分析】一條對角線上的塊數(shù)等于正方形邊長上的塊數(shù)，由于兩條對角線上的中心共用一塊，所以，正方形邊長上的塊數(shù)是（1001+1）÷2=501塊，利用實心方陣總點數(shù)=每邊點數(shù)×每邊點數(shù)，先求得黑白瓷磚的總塊數(shù)為501×501=251001塊，然后用總塊數(shù)減去黑色的瓷磚即為白色的瓷磚，據(jù)此解答即可．
【解答】解：每條邊上的瓷磚塊數(shù)為：（1001+1）÷2=501（塊）
黑白色瓷磚之和為：501×501=251001（塊），
所以白色瓷磚的塊數(shù)為：251001﹣1001=250000（塊）
答：白色的瓷磚共用了250000塊．
故答案為：250000．

【例53】 3．（2014?希望杯）體操表演者排成每一橫行和每一豎列中的人數(shù)相同的方陣，每個方陣最外一圈有16人，若四個這樣的方陣恰好可以并成一個大方陣，則大方陣的最外一圈有36人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由于四個頂點上的人屬于相鄰的兩個邊公共的人，所以每邊的人數(shù)是：16÷4+1=5（人），因此每個方陣共有學(xué)生5×5=25（人），四個這樣的方陣恰好可以并成一個大方陣，則大方陣的總?cè)藬?shù)為25×4=100（人），因為100=10×10，所以每行就有10人，最外圈的人數(shù)就是10×4﹣4=36（人）．據(jù)此解答．
【解答】解：16÷4+1=5（人）
5×5=25（人）
25×4=100（人）
10×4﹣4=36（人）
答：大方陣的最外一圈有36人．
故答案為：36．

【例54】 4．（2013?走美杯）如圖：40個點組成一個兩層的中空方陣，請去掉兩個點，并用直線將其余的點連成兩個大小相同的正方形．

【考點】N6：方陣問題．
【分析】可以去掉最外層相對的兩個角上的點，然后用直線將其余的點連成兩個大小相同的正方形；據(jù)此解答即可．
【解答】解：


【例55】 5．（2013?春蕾杯）一群解放軍戰(zhàn)士排成一個三層空心方陣多出9人，如果在空心部分再增 加一層，還差7人，這群戰(zhàn)士共有105人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意可知，增加的一層需要9+7=16人，設(shè)此層每邊為A人，可得16=（A﹣4）×4×4，求得A=5，則最外層人數(shù)為5+3×2=11人，所以總數(shù)=（11﹣3）×3×4+9=105人，據(jù)此解答．
【解答】解：設(shè)此層每邊為A人，由題意可得：
16=（A﹣4）×4×4，
16A=80，
A=5，
則最外層人數(shù)為5+3×2=11人，
總?cè)藬?shù)：（11﹣3）×3×4+9，
=8×3×4+9，
=105（人），
答：這群戰(zhàn)士共有105人．
故答案為：105．

【例56】 6．（2012?其他模擬）有士兵若干人，排成實心長方陣不足17人，若長、寬各少1人就余12人，已知長比寬多6人，那么士兵有199人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】設(shè)長x人 那么寬有x﹣6人，那么原來總?cè)藬?shù)就可以表示為：x（x﹣6）﹣17人；后來長、寬各減少1人后分別是：（x﹣1）人，（x﹣6﹣1）人，總?cè)藬?shù)又可以表示為：（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12人，根據(jù)總?cè)藬?shù)不變，列出方程出長的人數(shù)，進而求出寬的人數(shù)和總?cè)藬?shù)．
【解答】解：設(shè)長x人，那么寬有x﹣6人，由題意得：
x（x﹣6）﹣17=（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12，
x2﹣6x=x2﹣8x+7+29，
2x=36，
x=18；
士兵人數(shù)：18×（18﹣6）﹣17，
=18×12﹣17，
=216﹣17，
=199（人）；
答：士兵有199人．
故答案為：199．

【例57】 7．（2012?其他模擬）游行隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車四周圍成了一個空心方陣，最外面每邊 13人，最內(nèi)層每邊7 人，那么彩車周圍的少先隊員有144人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】先算出中空邊長數(shù)：7﹣2=5（人），然后根據(jù)公式“外層邊長數(shù)2﹣中空邊長數(shù)2=實面積數(shù)”代入數(shù)據(jù)求出總?cè)藬?shù)，列式為：132﹣52=144（人）；據(jù)此解答
【解答】解：根據(jù)分析可得，
7﹣2=5（人），
132﹣52
=169﹣25，
=144（人）；
答：彩車周圍的少先隊員有144人．
故答案為：144．

【例58】 8．（2012?其他模擬）有學(xué)生若干人，如果排成實心方陣，則不足14人；如果每邊少排1人，就余41人，那么學(xué)生一共有770人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】如果每邊少排1人，就相當(dāng)于原來減少兩個邊的人數(shù)，根據(jù)盈虧問題可以求出原來兩個邊的人數(shù)：14+41=55人，那么原來方陣每個邊的人數(shù)是：（55+1）÷2=28（人）；再根據(jù)中實方陣的總?cè)藬?shù)=每邊的人數(shù)×每邊的人數(shù)，求出總?cè)藬?shù)，列式為：28×28=784（人），然后減去14人，就是實有人數(shù)．
【解答】解：根據(jù)分析可得，
（14+41+1）÷2=28（人）；
28×28﹣14，
=784﹣14，
=770（人），
答：學(xué)生一共有770人．
故答案為：770．

【例59】 9．（2012?其他模擬）今有棋子若干枚，它們恰好可以排成一個外層每邊10枚棋子的4層空心方陣，那么這些棋子的總數(shù)是多少？最外層共有棋子36枚．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)公式“空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，”求出這個方陣的總數(shù)；外層每邊10枚，一共是10×4=40枚棋子，但是4個角上都多算了一次，再減去4就是最外層的棋子數(shù)．
【解答】解：
（10﹣4）×4×4，
=6×4×4，
=96（枚）；
10×4﹣4，
=40﹣4，
=36（枚）；
答：那么這些棋子的總數(shù)是96枚，最外層共有棋子36枚．
故答案為：36．

【例60】 10．（2012?其他模擬）有一體育館，地面想要鋪瓷磚，排成空心方陣，外層每邊26塊，內(nèi)層每邊20塊，一共使用了352塊．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】此題為空心方陣問題，每相鄰的兩層相差8塊，最外層一共有26×4﹣4=100塊，最內(nèi)層一共有20×4﹣4=76塊；（100﹣76）÷8=3個間隔，所以這是一個4層的中空方陣，則中間的2層分別是：76+8=84塊；84+8=92塊，由此即可求出這個方陣中一共使用了多少塊．
【解答】解：最外層一共有：26×4﹣4=100（塊），
最內(nèi)層一共有：20×4﹣4=76（塊），
（100﹣76）÷8=3個間隔，所以這是一個4層的中空方陣，
則中間的2層分別是：76+8=84（塊），84+8=92（塊），
所以方陣中一共有：100+92+84+76=352（塊）；
答：這個空心方陣一共使用了352塊．
故答案為：352．

【例61】 11．（2011?其他模擬）888個同學(xué)排成一個方陣做操．從前面往后數(shù)，小明是第15個；從左面往右數(shù)，小明是第30個．那么從后面往前數(shù)，小明是第10個．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】888=8×3×37 由小明的位置來看，方陣的長大于30，寬大于15，所以方陣的長為37，寬為8×3=24 那么從后往前數(shù)24﹣15+1=10，即從后往前數(shù)，小明是第10個，據(jù)此即可解答問題．
【解答】解：888=8×3×37 由小明的位置來看，方陣的長大于30，寬大于15，
所以方陣的長為37，寬為8×3=24，
那么從后往前數(shù)24﹣15+1=10，
即從后往前數(shù)，小明是第10個．
答：從后面往前數(shù)，小明是第 10個．
故答案為：10．

【例62】 12．（2010?華羅庚金杯）一個8行n列的陣列隊伍，如果排成若干個15行15列的方陣，還余下3人，一人舉旗，2人護旗．則n最小等于141．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)題干分析可得，這個方陣的人數(shù)是8的倍數(shù)，一個小方陣有15×15=225人，設(shè)有k個方陣，那么8n=225k+3，則225k+3應(yīng)該是8的倍數(shù)，考慮除以8的余數(shù)，k最小為5，n最小為141．
【解答】解：設(shè)有k個方陣，那么8n=225k+3，
當(dāng)k=1時，225+3=228，不是8的倍數(shù)；不符合題意；
當(dāng)k=2時，225×2+3=453，不是8的倍數(shù)，不符合題意；
當(dāng)k=3時，225×3+3=678，不是8的倍數(shù)，不符合題意；
當(dāng)k=4時，225×4+3=903，不是8的倍數(shù)，不符合題意；
當(dāng)k=5時，225×5+3=1128，是1128÷8=141；
答：k最小為5時，n最小為141．
故答案為：141．

【例63】 13．（2008?走美杯）100位同學(xué)都面向主席臺，排成l0行10列的方陣．小明在方陣中，他的正左方有2位同學(xué)，正前方有4位同學(xué)．若整個方陣的同學(xué)向右轉(zhuǎn)，則小明的正左方有4 位同學(xué)，正前方有7 位同學(xué)．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】464：圖形與位置．
【分析】根據(jù)題意，并結(jié)合方位可知：小明的正左方有2位同學(xué)，正前方有4位同學(xué)，那么他的正右方有7個同學(xué)，正后方有5個同學(xué)；現(xiàn)在小明向右轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動之后他現(xiàn)在的正左方是原來的正前方，現(xiàn)在的正前方是原來的正右方；由此解答即可．
【解答】解：小明的正左方有2位同學(xué)，正前方有4位同學(xué)．那么他的正右方有7個同學(xué)，正后方有5個同學(xué)．現(xiàn)在小明向右轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動之后他現(xiàn)在的正左方是原來的正前方有4個同學(xué)，現(xiàn)在的正前方是原來的正右方有7個同學(xué)；
故答案為：4，7．

【例64】 14．做廣播體操時，某年級的學(xué)生站成一個實心方陣時（正方形隊列）還多10人，如果站成一個每邊多1人的實心方陣，則還缺少15人，原來有154人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】當(dāng)擴大方陣時，需補充10+15=25（人），這25人應(yīng)站在擴充的方陣的兩鄰邊處，形成一層人構(gòu)成的直角拐角．補充人后，擴大的方陣每邊上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，擴大的方陣共有13×13=169（人），去掉15人，就是原來人數(shù)．
【解答】解：擴大的方陣每邊上有：（10+15+1）÷2=13（人）
原來人數(shù)：13×13﹣15=154（人）
答：原來有154人．
故答案為：154．

【例65】 15．四年級同學(xué)參加體操表演，先排成每邊16人的實心方陣隊形，后來又變成一個四層空心方陣，這個中空方陣最外層有76人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】我們先據(jù)“排成每邊16人的實心方陣”條件求得參加表演的總?cè)藬?shù)為162=256人；再結(jié)合公式“多層空心方陣總?cè)藬?shù)=（最外層每邊人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣層數(shù)×4”即可求得“變成一個4層的空心方陣后最外層每邊的人，進而也就能求出最外層的人數(shù)了”．
【解答】解：162=256
256÷4÷4+4=20（人）
（20﹣1）×4=76（人）
答：這個中空方陣最外層有76人．

【例66】 16．在一個正方形的菜地四周圍籬笆，每個頂點插一根，每兩根籬笆之間的距離相等，每邊有12根籬笆，四周一共圍了44根籬笆．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】利用方陣問題：最外層四周點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4計算出最外層四周的根數(shù)即可．
【解答】解：根據(jù)分析可得，
12×4﹣4[來源:學(xué)#科#網(wǎng)]
=48﹣4
=44（根）
答：四周一共圍了44根籬笆．
故答案為：44．

【例67】 17．有一個240人排成的5層空心方陣，再增加24人在內(nèi)部，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，這是一個5層空心方陣，已知共有學(xué)生240人，可以先求出最外層每邊有多少名學(xué)生，據(jù)方陣問題中：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，可得出：最外層每邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)，又因為每相鄰的兩層中，每邊人數(shù)相差2人，據(jù)此即可求出第6層每邊人數(shù)，再利用四周的人數(shù)=（每邊的人數(shù)﹣1）×4即可求出第6層的人數(shù)，據(jù)此解答即可．
【解答】解：240÷4÷5+5，
=12+5，
=17（人），
17﹣2﹣2﹣2﹣2﹣2=7（人），
（7﹣1）×4=24（人），
答：再增加24人在內(nèi)部，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣．
故答案為：24．

【例68】 18．多思樂學(xué)聯(lián)盟組織學(xué)生參加方陣列隊表演，若每班60人，這個方陣至少要有4個班的同學(xué)參加；若每班70人，這個方陣至少要有3個班的同學(xué)參加．那么，組成這個方陣的人數(shù)是196．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】（1）如果每班60人，至少要4個班，是240人，這意思是3個班不夠，就是說180人不夠；180人＜方陣人數(shù)＜240人；
（2）如果每班70人，至少是3個班，是210人，也同樣說明是兩個班不夠，就是說140人是不夠的；140人＜方陣人數(shù)＜210人；解上面兩個就是：180人＜方陣人數(shù)＜210人
（3）方陣總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)，所以方陣總?cè)藬?shù)是一個完全平方數(shù)，由此即可解答．
【解答】解：如果每班60人：60×3=180（人），60×4=240（人），由此可得：180人＜方陣人數(shù)＜240人；
如果每班70人：70×2=140（人），70×3=210（人），由此可得：140人＜方陣人數(shù)＜210人；
用數(shù)軸表示為：

所以方陣的總?cè)藬?shù)應(yīng)為：180人＜方陣人數(shù)＜210人，
方陣總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)，所以方陣總?cè)藬?shù)是一個完全平方數(shù)，180與210之間的完全平方數(shù)是142=196，
答：這個方陣中的總?cè)藬?shù)是196人．
故答案為：196．

【例69】 19．有若干名戰(zhàn)士，恰好組成一個八列長方形隊列．若在隊列中再增加120人或從隊列中減去120人后，都能組成一個正方形隊列．原長方形隊列共有136名戰(zhàn)士．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】可設(shè)原有戰(zhàn)士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，則存在a2﹣b2=240，根據(jù)奇偶性相同，即可求得a、b的值，進一步求得n的值．
【解答】解：設(shè)原有戰(zhàn)士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，
則存在a2﹣b2=240，
即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b與a﹣b的奇偶性相同，且a、b都為偶數(shù)，
故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合題意舍去）；
a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，則8x=904．因為904﹣120=784，784為28的平方，即28行28列，與題意不符，即不是在原8列的方陣中減去120，而是減去120再排成隊列，所以904不符條件，應(yīng)舍去；
a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合題意舍去）；
a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合題意舍去）；
a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合題意舍去）；
a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，則8x=136；
a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合題意舍去）．
故原長方形隊列共有136名戰(zhàn)士．
故答案為：136．

【例70】 20．明明用圍棋子擺成一個三層空心方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個，明明擺這個方陣最里層一周共有40個棋子．?dāng)[這個三層空心方陣共用了144個棋子．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由于方陣每減少一層，每邊的圍棋子數(shù)減少2個，所以這個方陣最里層每邊有：15﹣2×2=11個，那么明明擺這個方陣最里層一周共有：（11﹣1）×4=40（個）；
根據(jù)公式：空心方陣的總點數(shù)=（最外層每邊的點數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，可得：（15﹣3）×3×4=144（個）；據(jù)此解答．
【解答】解：根據(jù)分析可得，
15﹣2×2=11（個），
（11﹣1）×4=40（個）；

（15﹣3）×3×4，
=12×12，
=144（個）；
答：明明擺這個方陣最里層一周共有40個棋子．?dāng)[這個三層空心方陣共用了144個棋子．
故答案為：40，144．

【例71】 21．紅星小學(xué)五年級學(xué)生軍訓(xùn)，排成一個三層空心方陣，最外層每邊有20名學(xué)生，那么這個三層空心方陣共有學(xué)生204人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，這是一個三層空心方陣，最外層每邊有20名學(xué)生，要求這個三層空心方陣共有學(xué)生多少人，就是求這個方陣的總點數(shù)；根據(jù)方陣問題中：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4解答即可．
【解答】解：（20﹣3）×3×4，
=17×3×4，
=204（人）；
答：這個三層空心方陣共有學(xué)生204人．
故答案為：204．

【例72】 22．甲、乙兩同學(xué)按先后順序（甲先乙后）擺放棋子，要求擺成實心正方形方陣．由于每人手里一次只能拿10個棋子，故每次每人放10個．現(xiàn)已知最后一次甲仍然放了10個，而乙放的不足10個．如果他們共擺放了3000多個棋子，那么他們擺放的棋子共有3136個．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由于中實方陣棋子的總個數(shù)=每邊的個數(shù)×每邊的個數(shù)，即是一個平方數(shù)；又因為542=2916，552=3025，562=3136，而甲先乙后，最后結(jié)束的是乙，拿的次數(shù)應(yīng)是偶數(shù)次而不是奇數(shù)次，所以那么他們擺放的棋子共有3136個．
【解答】解：由于中實方陣棋子的總個數(shù)是一個平方數(shù)；
又因為542=2916＜3000，552=3025，562=3136，
而甲先乙后，最后結(jié)束的是乙，拿的次數(shù)應(yīng)是偶數(shù)次而不是奇數(shù)次，
3025÷（10+10）=151…5（個），最后放的是甲，不合題意；
3136÷（10+10）=156…16（個），最后一個周期：甲放10，乙方6個，符合題意；
所以那么他們擺放的棋子共有3136個．

【例73】 23．方陣形桃園共10層，最里層共種16棵樹，若每棵桃樹結(jié)桃子60千克，那么這桃園共收桃31200千克．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】“最里層共種16棵樹，”先根據(jù)每邊棵數(shù)=（空心方陣的四周棵數(shù)+4）÷4，計算出最內(nèi)層每邊棵數(shù)是：（16+4）÷4=5棵，因為每相鄰的兩層每邊點數(shù)相差是2，所以最外層每邊棵數(shù)是：5+2×9=23棵，由此再根據(jù)關(guān)系式：中空方陣的桃樹總棵數(shù)=（每邊棵數(shù)﹣層數(shù)）×層數(shù)×4來解答．在本題中，層數(shù)是10，每邊棵數(shù)是23，把這兩個數(shù)據(jù)代入并計算即可求出桃樹的總棵數(shù)，再乘以60就是桃子的總重量．
【解答】解：最內(nèi)層每邊棵數(shù)是：（16+4）÷4=5（棵），
所以最外層每邊棵數(shù)是：5+2×9=23（棵），
（23﹣10）×10×4，
=13×10×4，
=520（棵），
520×60=31200（千克），
答：這個桃園共結(jié)桃子31200千克．
故答案為：31200．

【例74】 24．某班抽出一些學(xué)生參加2004年“六一”國際兒童節(jié)隊列表演．如果排成一個正方形方陣（實心），就多出7人；如果每行每列都增加一排，就少4人．這些學(xué)生的人數(shù)是32．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)題干可知，每行每列都增加一排實際就是增加了7+4=11人，由此即可求得原來每行每列的人數(shù)為：（11﹣1）÷2=5人，所以原來的正方形方陣有：5×5=25人，由此即可求出這些學(xué)生的總數(shù)．
【解答】解：（11﹣1）÷2=5（人），
5×5+7=32（人），
答：這些學(xué)生數(shù)是32人．
故答案為：32．

【例75】 25．（2013?學(xué)而思杯）一隊?wèi)?zhàn)士排成一個三層空心方陣多出16人，如果在空心部分再增加一層又缺28人，這隊?wèi)?zhàn)士共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意可知，增加的一層需要16+28=44人，設(shè)此層每邊為A人，可得44=（A﹣1）×4，求得A=12，則最外層人數(shù)為12+3×2=18人，因為空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，據(jù)此解答．
【解答】解：設(shè)此增加的層每邊為A人，由題意可得：
16+28=（A﹣1）×4
44=4A=4
4A=48
A=12
則最外層每邊人數(shù)為12+3×2=18人，
總?cè)藬?shù)：（18﹣3）×3×4+16
=15×12+16
=180+16
=196（人）
答：這隊?wèi)?zhàn)士共有196人．

【例76】 26．（2012?其他杯賽）在一個正方形的池塘四邊上種樹，每邊種10棵（四個角上都種一棵），四邊一共種了多少棵？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】四周植樹時，如果每個角處都植樹，那么正好圍成了一個空心方陣，此時四周點數(shù)之和=每邊點數(shù)×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（棵）
答：四邊一共種了36棵．

【例77】 27．（2010?兩岸四地）為了迎接3.15，光明社區(qū)居委會打算從林場采購一些小樹苗．居委會李大媽發(fā)現(xiàn)，林場的一些小樹苗排成一個三層的空心方陣，最里層每條邊有6棵樹．李大媽將這些小樹苗全部買下來，發(fā)動小區(qū)居民將這些樹苗種在小區(qū)南邊的一條馬路上，這條馬路長400米，只在馬路的一側(cè)種樹，并且兩頭都種，每隔5米種一棵．那么，最后還剩多少棵小樹苗？
【考點】N5：植樹問題；N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，這是一個三層空心方陣，最里層每條邊有6棵樹，因為每相鄰的兩層之間每邊上都是相差2棵樹，所以最外層每邊有6+2+2=10棵樹，根據(jù)方陣問題中：空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4即可求得樹苗的總棵數(shù)；再根據(jù)兩頭都種的植樹問題，用間隔數(shù)+1求得在馬路的一側(cè)種樹需要的棵數(shù)，最后二者相減就是還剩的棵數(shù)；據(jù)此解答即可．
【解答】解：最外層每邊有6+2+2=10棵樹，
樹苗總數(shù)：（10﹣3）×3×4=84（棵），
馬路植樹的棵數(shù)：400÷5+1=81（棵），
還剩：84﹣81=3（棵），
答：最后還剩3棵小樹苗．

【例78】 28．（2006?中環(huán)杯）有360個棋子，將它們圍成正方形（空心或?qū)嵭牡模垖懗鏊姆N不同的擺法，并求四種情況下最外層每邊棋子各是多少？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意，共有360個棋子，將它們圍成正方形（空心的），可圍成一層、兩層、三層、五層的正方形空心方陣，根據(jù)“相鄰兩層點數(shù)相差8個，相鄰兩層邊點數(shù)相差2個，以及總點數(shù)÷4+1=每邊點數(shù)”解答即可．
【解答】解：第一種情況：圍成一層的正方形空心方陣，最外層每邊棋子是：360÷4+1=91個；
第二種情況：圍成兩層的正方形空心方陣，最外層每邊棋子是：（360+8）÷2÷4+1=47個；
第三種情況：圍成三層的正方形空心方陣，最外層每邊棋子是：（360÷3+8）÷4+1=33個；
第四種情況：圍成五層的正方形空心方陣，最外層每邊棋子是：（360÷5+16）÷4+1=23個．

【例79】 29．（1992?華羅庚金杯）如圖，這是一個圍棋盤，還有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當(dāng)按格點擺成某個正方陣時，尚多余12枚棋子，如果要將這個正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿．問：這堆棋子原有多少枚？

【考點】N6：方陣問題．
【專題】489：棋盤中的數(shù)學(xué)專題．
【分析】由題意，當(dāng)按格點擺成某個正方陣時，尚多余12枚棋子，如果要將這個正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿，即兩次擺法相差12+9=21枚棋子，用（21﹣1）÷2即可求得原來正方陣的每邊的點數(shù)，再據(jù)“每邊的點數(shù)×每邊的點數(shù)=中實方陣的總點數(shù)”求得原正方陣的棋子數(shù)后再加12枚即可．
【解答】解：12+9=21（枚），
（21﹣1）÷2=10（枚），
10×10+12=112（枚），
答：這堆棋子原有112枚．

【例80】 30．在一個正方形池塘周圍種樹，每條邊上種10棵，四個角都要種一棵，需要準(zhǔn)備多少棵樹？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】把樹看作方陣中的點，每條邊上種10棵，那么根據(jù)“最外層四周點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4”代入數(shù)據(jù)解答即可．
【解答】解：10×4﹣4=36（棵）
答：四個角都要種一棵，需要準(zhǔn)備36棵樹．

【例81】 31．一個實心方陣，最外層共有44人．請問：
（1）這個方陣共有多少人？
（2）要讓這個方陣總?cè)藬?shù)減少一半，一共減少了多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】（1）因為方陣的四個角上都是重復(fù)的，方陣的四個角上都是重復(fù)了一次，所以計算時要減去，算每邊人數(shù)時，先用總數(shù)加上4，所以每邊上有（44+4）÷4=12人；
（2）減少一半就是由原來的12行12列，減少到6行6列，6行6列就是6×6=36人，進而算出減少的即可．
【解答】解：（1）（44+4）÷4=12（人）
12×12=144（人）
答：這個方陣共有144人．

（2）減少一半就是6行6列，
144﹣6×6
=144﹣36
=108（人）
答：一共減少了108人．

【例82】 32．為慶祝“六一”，同學(xué)們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊，小華的位置從左數(shù)第2個，從右數(shù)第4個；從前數(shù)第3個，從后數(shù)第5個．鮮花隊共多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】要解決這道題我們需要兩個條件：
一：每行有多少人？2+4=6，這時候小華加了兩次，所以每行應(yīng)該有2+4﹣1人；
二：隊伍的行數(shù)？用同樣的方法3+5﹣1（人），
最后用每行人數(shù)×行數(shù)，即可．
【解答】解：每行的人數(shù)：2+4﹣1=5（人），
隊伍的行數(shù)：3+5﹣1=7（行），
總?cè)藬?shù)：5×7=35（人）；
答：鮮花隊共有35人．

【例83】 33．三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數(shù)是第6個，從后數(shù)是第5個；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個．三（4）班共有學(xué)生多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】要解決這道題我們需要兩個條件：
一：每行有多少人？3+3=6，這時候梅梅加了兩次，所以每行應(yīng)該有3+3﹣1=5（人）；
二：隊伍的列數(shù)？用同樣的方法：6+5﹣1=10（人），
最后用每行人數(shù)×列數(shù)即可．
【解答】解：3+3﹣1=5（人）
6+5﹣1=10（人）
5×10=50（人）
答：三（4）班共有學(xué)生50人．

【例84】 34．同學(xué)們排隊跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多．小紅的位置無論從前數(shù)從后數(shù)，從左數(shù)還是從右數(shù)起都是第4個．跳舞的共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)小紅的位置可以分析：小紅的前后左右都有3個人，即小紅被重復(fù)計算了1次，4+4﹣1=7人；這個方隊組成的是一個實心方陣，是一個正方形，最外層每條邊上都有7個人，根據(jù)實心方陣的總點數(shù)=每邊點數(shù)×每邊點數(shù)，即可解答問題．
【解答】解：4+4﹣1=7（人），
7×7=49（人），
答：跳舞的共有49人．

【例85】 35．一個正方形實心方陣，最外層總共72人，這個方陣共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)最外層人數(shù)=每邊人數(shù)×4﹣4，先求出這個方陣的每邊人數(shù)，再利用實心方陣總點數(shù)=每邊點數(shù)×每邊點數(shù)即可計算這個方陣的總?cè)藬?shù)．
【解答】解：最外層每邊人數(shù)：（72+4）÷4
=76÷4
=19（人）；
19×19=361（人）；
答：這個方陣共有361人．

【例86】 36．如圖，用10枚棋子可以擺出一個正三角形點陣，每邊4枚棋子；如圖，用9枚棋子可以擺出一個正方形點陣，每邊3枚棋子．今有一堆棋子，棋子總數(shù)小于200，用這堆棋子擺出一個盡可能大的正三角形點陣，結(jié)果多出13枚；而若用這堆棋子去擺某個正方形點陣，則還差11枚．問這堆棋子共有多少枚？

【考點】N6：方陣問題．
【分析】我們可據(jù)“用這堆棋子擺成邊長盡可能大的正三角形點陣，結(jié)果多出13枚”，得知：正三角形點陣每邊上的棋子不少于13枚，所以這堆棋子數(shù)必定大于：1+2+3+…+12+13+13=104：再結(jié)合“而用這堆棋子擺某個正方形點陣，則還差11枚”知：這堆棋子數(shù)是在104+11=115，115+14=129，129+15=144，144+16=160，160+17=177，177+18=195（總數(shù)小于200）中能成完全平方數(shù)的數(shù)減掉11的數(shù)．
【解答】解：①1+2+3+…+12+13=104（枚）
104+11=115不是完全平方數(shù)，不行；
②若115+14=129，129+15=144，144+16=160，160+17=177，177+18=195中只有129+15=144是完全平方數(shù)，符合要求；
③144﹣11=133（枚）
答：這堆棋子共有133枚．

【例87】 37．國慶節(jié)期間，園林工人把40盆花排成二層中空方陣，這一方陣的外層每邊擺多少盆？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】此題為空心方陣問題，每相鄰的兩層相差8人，根據(jù)和差公式可求出最外層有（40+8）÷2=24（盆）；由此根據(jù)“每邊的點數(shù)=四周的點數(shù)÷4+1，”這一方陣的外層每邊擺多少盆．
【解答】解：（40+8）÷2
=48÷2
=24（盆）
24÷4+1=7（盆）
答：這一方陣的外層每邊擺7盆．

【例88】 38．學(xué)校進行課間操比賽，高年級同學(xué)恰好可以排成一個實心方陣，可學(xué)校操場較小，只好橫豎各減少一排，這樣就減少了23個人，問這個學(xué)校高年級有多少個學(xué)生？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)題意減少23人，使橫豎各減少一排；由于在角上有一人即屬于行又屬于列，所以原來最外層的每邊有：（23+1）÷2=12人，這個學(xué)校高年級的總?cè)藬?shù)就是12×12=144（人）．
【解答】解：（23+1）÷2
=24÷2
=12（人）
12×12=144（人）
或 （23﹣1）÷2+1=12（人）
12×12=144（人）
答：這個學(xué)校高年級有144個學(xué)生．

【例89】 39．一隊?wèi)?zhàn)士排成中空方陣，最外層的人數(shù)為44人，最內(nèi)層的人數(shù)為28人，這方陣共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】此題為空心方陣問題，每相鄰的兩層相差8人，已知最外層有44人，最內(nèi)層有28人，則方陣的層數(shù)：（44﹣28）÷8+l=3（層）；最外層每邊的人數(shù)44÷4+1=12人；由此根據(jù)“空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，”即可求出這個方陣的總?cè)藬?shù)．
【解答】解：方陣的層數(shù)：（44﹣28）÷8+l=3（層）；
最外層每邊的人數(shù)：44÷4+1=12（人）；
總?cè)藬?shù)：（12﹣3）×3×4=108（人）；
答：這方陣共有108人．

【例90】 40．有學(xué)生若干人，排成5層的中空方陣，最外層每邊人數(shù)是12人，問有多少學(xué)生？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】本題可根據(jù)關(guān)系式：中空方陣的總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)﹣層數(shù)）×層數(shù)×4來解答．在本題中，層數(shù)是5，每邊人數(shù)是12，把這兩個數(shù)據(jù)代入并計算即可．
【解答】解：（12﹣5）×5×4
=7×5×4
=140（人）
答：有140個學(xué)生．

【例91】 41．學(xué)生參加體操表演，排成一個方隊，外層共100人，參加體操表演的有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)“每邊的人數(shù)=四周的人數(shù)÷4+1”求出每邊的人數(shù)，再根據(jù)“中實方陣的總?cè)藬?shù)=每邊的人數(shù)×每邊的人數(shù)”解答即可．
【解答】解：100÷4+1
=25+1
=26（人）
26×26=676（人）
答：參加體操表演的有676人．

【例92】 42．運動會上，五年級學(xué)生排成了一個方隊（橫豎行人數(shù)相等），已知最外層有60人，這個方隊共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】先根據(jù)每邊人數(shù)=（最外層人數(shù)+4）÷4，求出每邊人數(shù)，再利用實心方陣的總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)即可解答．
【解答】解：每邊人數(shù)是：（60+4）÷4
=15+1
=16（人）
所以方隊的總?cè)藬?shù)是：16×16=256（人）
答：這個方隊共有256人．

【例93】 43．在學(xué)校的運動會上，同學(xué)們集體表演一個節(jié)目，站成了一個空心的正六邊形陣列，與圖中的陣列類似．從外向內(nèi)一共8層，依次站著兩層六年級的同學(xué)，兩層五年級的同學(xué)，兩層四年級的同學(xué)以及兩層三年級的同學(xué)．已知參加表演的六年級同學(xué)有126名，請問：
（1）最外層有多少人？
（2）現(xiàn)在陣列中一共有多少人？
（3）如果想要一、二年級的同學(xué)把這個空心陣列填滿，還需要多少人？

【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】（1）相鄰兩邊的人數(shù)相差1，所以相鄰的兩圈的人數(shù)相差6，因為六年級同學(xué)有126名，站了兩層，所以根據(jù)和差問題的解答方法即可求出最外層有多少人：（126+6）÷2=66（人）；
（2）最外層有66人，最內(nèi)層有66﹣6×（8﹣1）=24（人），然后根據(jù)高斯求和公式解答即可；
（3）如果想要一、二年級的同學(xué)把這個空心陣列填滿，里面空缺的最外一層有24﹣6=18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1=3層，然后根據(jù)高斯求和公式解答，最后加上最中心的一人即可．
【解答】解：（1）（126+6）÷2
=132÷2
=66（人）；
答：最外層有66人．

（2）最內(nèi)層有66﹣6×（8﹣1）
=66﹣42
=24（人）
（24+66）×8÷2
=90×4
=360（人）；
答：現(xiàn)在陣列中一共有360人．

（3）里面空缺的最外一層有24﹣6=18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1=3（層），
（18+6）×3÷2+1
=36+1
=37（人）
答：如果想要一、二年級的同學(xué)把這個空心陣列填滿，還需要37人．

【例94】 44．費叔叔把一些樹苗栽種成一個盡量大的實心方陣，結(jié)果還多出了6棵樹苗，后來又運來了34棵樹苗，恰好能補成一個更大的實心方陣，那么后來的方陣最外層每邊有多少棵樹？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)“結(jié)果還多出了6棵樹苗，后來又運來了34棵樹苗，恰好能補成一個更大的實心方陣，”可知增加了6+34=40棵，那么后來的方陣最外層就有40棵，然后根據(jù)每邊的棵數(shù)=外層的總棵數(shù)÷4+1解答即可．
【解答】解：（6+36）÷4+1
=10+1
=11（棵）
答：后來的方陣最外層每邊有11棵樹．

【例95】 45．如圖，一塊綠地由3塊相同的等邊三角形草地和一個水池構(gòu)成，現(xiàn)在要在草地上種花，要求在草地與草地的公共點處種上花（即圖中的A、B、C點），且每塊草地上的花朵排成一個三角形實心點陣，每塊草地上最外層的每條邊上有10朵花．請問：整個綠地一共要種多少朵花？

【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】先看每個等邊三角形草地種花的棵數(shù)：1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55（棵），再乘3求出總棵數(shù)，然后再減去圖中的A、B、C點重復(fù)計算的棵數(shù)即可．
【解答】解：1+2+3+…+10
=（1+10）×10÷2
=55（棵）
55×3﹣3
=165﹣3
=162（棵）
答：整個綠地一共要種162朵花．

【例96】 46．二年級舞蹈隊為全校做健美操表演，組成一個正方形隊列，后來由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人正好是17人，原來準(zhǔn)備參加健美操表演的有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】先求出現(xiàn)在最外層每邊的人數(shù)：（17+1）÷2=9（人），然后根據(jù)“中實方陣的總?cè)藬?shù)=每邊的人數(shù)×每邊的人數(shù)”，求出原來參加隊列表演的師生有多少人即可，列式為：（9﹣1）×（9﹣1）=64（人）．
【解答】解：（17+1）÷2
=18÷2
=9（人）；
（9﹣1）×（9﹣1）
=8×8
=64（人）
答：原來準(zhǔn)備參加健美操表演的有64人．

【例97】 47．某校四年級學(xué)生排成了一個正方形的方陣參加學(xué)校廣播操比賽，由于人數(shù)太多，所以去掉了一行一列，這樣去掉了29人．請問原來有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)題干，去掉一行一列共去掉了29人，那么原來的方陣的每邊人數(shù)是（29+1）÷2=15人，據(jù)此利用每邊人數(shù)×每邊人數(shù)即可求出總?cè)藬?shù)．
【解答】解：（29+1）÷2=15（人）
15×15=225（人）
答：原來有225人．

【例98】 48．游戲隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車四周圍成了每邊兩層的方陣．最外面一層每邊13人，彩車周圍的少先隊員至少有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】最外層每邊人數(shù)是13人，則每少一層，每邊人數(shù)就少2人，即內(nèi)層每層每邊人數(shù)為11人；則由外到內(nèi)第一層共有（13﹣1）×4=48人，第二層共有（11﹣1）×4=40人，據(jù)此即可解答．
【解答】解：最外層每邊人數(shù)是13人，則每少一層，每邊人數(shù)就少2人，即內(nèi)層每層每邊人數(shù)為11人；
所以最外層共有（13﹣1）×4=48（人），
第二層共有（11﹣1）×4=40（人），
48+40=88（人），
答：彩車周圍的少先隊員至少有88人．

【例99】 49．在一次團體操表演中，有一個中空方陣最外層有64人，最內(nèi)層有32人，參加團體操表演的共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】因為每相鄰的兩層相差8人，據(jù)此可以求出這個方陣的層數(shù)是（64﹣32）÷8+1=5層，又因為最外層每邊人數(shù)=最外層人數(shù)÷4+1，據(jù)此再利用空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，即可求出總?cè)藬?shù)．
【解答】解：這個方陣的層數(shù)是（64﹣32）÷8+1=5（層），
最外層每邊人數(shù)是：64÷4+1=17（人），
總?cè)藬?shù)是：（17﹣5）×5×4，
=12×20，
=240（人），
答：參加體操表演的一共有240人．

【例100】 50．正方形舞廳四周均勻地裝彩燈，如果四個角都裝一盞，且每邊12盞，那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞？
練一練：一個由圓片擺成的中實方陣，最外一層有12個圓片，把4個這樣的中實方陣拼成一個大的中實方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個圓片？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】（1）根據(jù)方陣最外層總點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4，代入數(shù)據(jù)計算即可解答；
（2）根據(jù)方陣最外層每邊點數(shù)=（總點數(shù)+4）÷4，可以求出小方陣的每邊有（12+4）÷4=4個圓片，則4個這樣的小方陣拼成一個大方陣后，每邊是4+4=8個圓片，再利用方陣最外層總點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4，即可解答問題．
【解答】解：（1）12×4﹣4
=48﹣4
=44（盞）
答：這個舞廳四周共裝彩燈44盞．

（2）（12+4）÷4
=16÷4
=4（個）
4+4=8（個）
8×4﹣4
=32﹣4
=28（個）
答：最外層應(yīng)該有28個圓片．

C 較難
【例101】 1．（2017?華羅庚金杯）有11個正方形方陣，每個都有相同數(shù)量的士兵組成，如果加上1名將軍，就可以組成一個大的正方形方陣．原來的一個正方形方陣?yán)镒钌僖?名士兵．
【考點】N6：方陣問題；P1：最大與最?。?br /> 【分析】本題考察方陣問題．
【解答】解：由題，設(shè)原來的一個正方形方陣有a名士兵，
則a和11a+1是一個完全平方數(shù)，
當(dāng)a=1時，11a+1=12，不符合題意；
當(dāng)a=4時，11a+1=45，不符合題意；
當(dāng)a=9時，11a+1=100，符合題意，
所以原來的一個正方形方陣?yán)镒钌僖?名士兵．

【例102】 2．（2007?小機靈杯）一個正方形隊列，如果減少一橫行和一豎行，要減少21人，問原正方形隊列有121人．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)正方形隊列減少一橫行和一豎行，要減少21人，知道（21+1）÷2就是原正方形隊列一行的人數(shù)，由此即可求出原正方形隊列的人數(shù)．
【解答】解：（21+1）÷2，
=22÷2，
=11（人），
11×11=121（人），
答：原正方形隊列有121人．
故答案為：121．

【例103】 3．中空方陣最外層36人，最內(nèi)層12人，將這一方隊改排一列縱隊，前后兩人相距1.5米（包括每人所占空間），這列隊伍長142.5米．
【考點】N6：方陣問題；OK：格點面積（畢克定理）．
【分析】此題為空心方陣問題，每相鄰的兩層相差8人，已知最外層有36人，最內(nèi)層有12人，則方陣的層數(shù)：（36﹣12）÷8+l=4（層）；最外層每邊的人數(shù)36÷4+1=10人；由此根據(jù)“空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，”即可求出這個方陣的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)植樹問題，進一步解答即可．
【解答】解：
方陣的層數(shù)：
（36﹣12）÷8+l
=3+1
=4（層）
最外層每邊的人數(shù)：
36÷4+1
=9+1
=10（人）
總?cè)藬?shù)：（10﹣4）×4×4
=6×16
=96（人）
隊伍長：1.5×（96﹣1）=142.5（米）
答：這列隊伍長142.5米．
故答案為：142.5．

【例104】 4．六年一班開展植樹活動，如果每行、每列的棵數(shù)相等，那么樹苗將多出25棵；如果每行、每列都增植1棵，樹苗將多出6棵．六年一班打算種下106棵樹．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】先求出多出一組一列后多出幾棵樹，然后分析這幾棵樹的組成，得到原來是幾組幾列．
【解答】解：
25﹣6=19（棵）
（19﹣1）÷2=9（棵）
9×9+25=106（棵）
故填106．

【例105】 5．參加小學(xué)生運動會團體操的運動員排成一個正方形隊列，如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人．參加團體操表演的運動員有289人．
【考點】N6：方陣問題．
【分析】我們據(jù)已知條件和公式“去掉一行一列的總?cè)藬?shù)=原來每邊人數(shù)×2﹣1”，可得到排成的這個正方形隊列的每邊的人數(shù)是17人，之后再由求實心方陣總?cè)藬?shù)公式即可得到了問題答案．
【解答】解：（33+1）÷2=17（人）
172=289（人）
答：參加團體操表演的運動員有289人．

【例106】 6．一塊正方形苗圃種滿了樹苗．后來又補種了19棵，使橫、豎各增加了一排，原來正方形苗圃中有81棵樹苗．
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，后來又補種了19棵，使橫、豎各增加了一排，即補種的19棵只是外層兩條邊上的總棵數(shù)，它只比相應(yīng)的里層兩邊上的棵數(shù)多1，由此可用（19﹣1）÷2=9（棵）求得原來正方形苗圃中每邊上的棵數(shù)，進而求得原來正方形苗圃中樹苗的總棵數(shù)；據(jù)此解答．
【解答】解：（19﹣1）÷2=9（棵），
9×9=81（棵）；
答：原來正方形苗圃中有81棵樹苗．
故答案為：81．

【例107】 7．（2008?走美杯）邊長為5的正方形，被分割成5×5個小方格．每個小方格上堆放邊長為1cm的正方體積木，個數(shù)如下圖所示．在每個積木外露的面上貼一張紅紙，其它面（與其它積木塊或方格紙相接的面）不貼．共貼147張紅紙．恰貼3張紅紙的有15塊積木．

【考點】N6：方陣問題．
【分析】（1）①按頂面和側(cè)面分類，頂面共25張；
②側(cè)面按四個方向每行每列計數(shù)，共計122張，總數(shù)：25+122=147（張）．將圖形四周各加5格，格內(nèi)均填入0．原圖形中6行、6列，每個相鄰兩數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），60個差的和為122．
（2）頂面貼紙四周有2個露面或頂面未貼紙四周有3個露面的積木為恰好貼3張紅紙的積木．個數(shù)如下圖，共15塊．

【解答】解：①按頂面和側(cè)面分類，頂面共25張；
②側(cè)面按四個方向每行每列計數(shù)，共計122張，總數(shù)：25+122=147（張）．將圖形四周各加5格，格內(nèi)均填入0．原圖形中6行、6列，每個相鄰兩數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），60個差的和為122．
（2）頂面貼紙四周有2個露面或頂面未貼紙四周有3個露面的積木為恰好貼3張紅紙的積木．個數(shù)如上圖，共15塊．
故答案為：147張、15塊．

【例108】 8．（2012?其他模擬）明明用棋子擺了一個五層圖形，每兩層棋子的個數(shù)相差5，最內(nèi)層用了18個棋子，問一共用了多少個棋子？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】因為每兩層棋子的個數(shù)相差5，一共是5層，所以相差的總數(shù)為：5+5×2+5×3+5×4，再求出5個18是多少，最后相加即可．
【解答】解：18×5+（5+5×2+5×3+5×4），
=90+50，
=140（個），
答：一共用了140個棋子．

【例109】 9．學(xué)校開聯(lián)歡晚會，要在正方形的操場四周裝彩燈，四個角都裝一盞，每邊裝7盞，那么一共要準(zhǔn)備多少盞彩燈？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】利用方陣最外層四周點數(shù)=每邊點數(shù)×4﹣4計算出一共要準(zhǔn)備彩燈的盞數(shù)即可．
【解答】解：4×7﹣4
=28﹣4
=24（盞）
答：一共要準(zhǔn)備24盞彩燈；

【例110】 10．某部隊有解放軍戰(zhàn)士若干人，正好排成一個方陣，若將此方陣改排成長方陣，因而減少6行，同時各行均增加10人．問戰(zhàn)士人數(shù)是多少？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】我們由“減少6行，排成方長陣各行增加10人”，得知：6行的人數(shù)與長方陣中10列的人數(shù)相等；又因長方陣中每列的人數(shù)=原正方陣每列人數(shù)﹣6，所以這10列人數(shù)比原正方陣10列人數(shù)少了6×10=60人．由盈虧問題可知，這些人可站成原正方形陣的6行或10行少60人，可求得原方陣每行有60÷（10﹣6）=15人，之后便可求出戰(zhàn)士的人數(shù)．
【解答】解：6×10=60（人）
60÷（10﹣6）=15（人）
152=225（人）
答：戰(zhàn)士人數(shù)是225人．

【例111】 11．用綠白兩種顏色的小正方形瓷磚400塊鋪成一塊正方形墻面，這個墻面最外一周鋪的是白色瓷磚，由外到里的第二周是綠色瓷磚，第三周是白色瓷磚，第四周又是綠色瓷磚，……，這樣依次下去．問這個墻面上綠色瓷磚共有多少塊？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】我們據(jù)“用400塊小正方形瓷磚鋪成一塊正方形墻面“得出“正方形墻面最外面一圈（即第一圈）的每邊需用20塊瓷磚；之后可推知：第二圈每邊需用20﹣2=18塊瓷磚，依次為16、14…4、2塊共有20÷2=10圈，其中綠色瓷磚所鋪的幾圈每邊對應(yīng)為18，14，10，6，2塊（最后一圈為綠色，且為實心）．這樣由“方陣問題的公式”便可得出綠色瓷磚的磚數(shù)．
【解答】解：①400=20×20，正方形墻面第一圈每邊有20塊（白色）
②用綠色瓷磚的第一圈每邊有：20﹣2=18（塊），則它的第二至第五圈每邊分別是14、10、6、2塊．
③所用綠色瓷磚共計：18×4﹣4+14×4﹣4+10×4﹣4+6×4﹣4+2×2=180（塊）
答：這個墻面上綠色瓷磚共有180塊．

【例112】 12．有一隊學(xué)生，排成中空方陣，最外層的人數(shù)共56人，最內(nèi)層的人數(shù)共32人，這一隊學(xué)生共有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】此題為空心方陣問題，每相鄰的兩層相差8人，已知最外層有56人，最內(nèi)層有32人，則方陣的層數(shù)：（56﹣32）÷8+l=4（層）；最外層每邊的人數(shù)56÷4+1=15人；由此根據(jù)“空心方陣的總?cè)藬?shù)=（最外層每邊的人數(shù)﹣空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)×4，”即可求出這個方陣的總?cè)藬?shù)．
【解答】解：方陣的層數(shù)：（56﹣32）÷8+l=4（層）；
最外層每邊的人數(shù)：56÷4+1=15（人）；
總?cè)藬?shù)：（15﹣4）×4×4=176（人）；
答：這一隊學(xué)生共有176人．

【例113】 13．有一個正方形池塘，四個角上都栽1棵樹，如果每邊栽6棵，四邊一共栽多少棵樹？
練一練：有100個少先隊員參加廣播操比賽，十人一行，排成了一個正方形隊．這個正方形四周站了多少個少先隊員？
【考點】N5：植樹問題；N6：方陣問題．
【專題】455：植樹問題；456：方陣問題．
【分析】（1）根據(jù)題意，在一個正方形池塘栽樹，每邊栽6棵，乘上邊數(shù)4，即，6×4=24棵，因為4個角都栽一棵樹，每個角的樹都多數(shù)了一次，再減去4即可．
（2）根據(jù)題干分析可得，這個正方形方陣的每邊人數(shù)是10人，根據(jù)方陣最外層總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×4﹣4計算即可解答．
【解答】解：（1）6×4﹣4，
=24﹣4，
=20（棵）．
答：塘邊一共栽了20棵．

（2）10×4﹣4，
=40﹣4，
=36（人），
答：正方形四周站了36人．

【例114】 14．某學(xué)校三年級舉行方陣隊列表演．四二班的同學(xué)排成了8行8列．如果去掉1行1列，要去掉多少人？還剩多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，每行每列都有8個人，而這一行一列必有一個人是重復(fù)的，所以減少的人數(shù)是8×2﹣1=15（人），用總?cè)藬?shù)（8×8）減去要去掉的人數(shù)就是還剩下的人數(shù)；據(jù)此解答．
【解答】解：減少的人數(shù)：8×2﹣1=15（人），
還剩的人數(shù)：8×8﹣15=49（人）；
答：如果去掉一行一列，則要去掉15人，還剩49人．

【例115】 15．有若干盆鮮花擺成一個四層的中空方陣，最外層每邊有12盆，一共擺了多少盆鮮花？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，擺成的是一個四層的中空方陣，最外層每邊有12盆，由于相鄰兩層每邊相差2個，則由外向里的兩層每邊分別是（12﹣2）個、（12﹣2×2）個、（12﹣2×3）個，根據(jù)“四周的盆數(shù)=（每邊的盆數(shù)﹣1）×4”可分別求得這四層鮮花的盆數(shù)，再相加就是所用的總盆數(shù)，據(jù)此解答．
【解答】解：最外層：（12﹣1）×4=44（盆），
第二層：（12﹣2﹣1）×4=36（盆），
第三層：（12﹣2×2﹣1）×4=28（盆），

第四層：（12﹣2×3﹣1）×4=20（盆），
一共擺了：44+36+28+20=128 （盆）；
答：一共擺了128盆鮮花．

【例116】 16．小美用棋子擺了一個空心方陣，最外每邊擺30顆棋子，一共擺了5層，那么這個方陣一共用了多少顆棋子？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】利用空心方陣公式：（最外邊數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4=總數(shù)；據(jù)此即可解答問題．
【解答】解：棋子總數(shù)：（30﹣5）×5×4，
=25×20，
=500（顆）．
答：一共用了500顆棋子．

【例117】 17．學(xué)校組織一次團體操表演，把男生排列成一個實心方陣，又在這個實心方陣四周站一排女生．女生有72人參加表演，男生有多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】根據(jù)題干可得：此題是一個實心方陣問題，這個方陣的四周總點數(shù)為72，由此可以求得每邊點數(shù)為：72÷4+1=19，
由此可得這個實心方陣的總點數(shù)為：19×19=361，那么減去最外層的女生人數(shù)，即可得出男生人數(shù)．
【解答】解：每邊點數(shù)為：
72÷4+1，
=18+1，
=19（人），
總點數(shù)為：19×19=361（人），
男生人數(shù)為：361﹣72=289（人），
答：男生有289人．

【例118】 18．小強用棋子排成了一個每邊11枚的中空方陣，共2層，求這個方陣共用多少枚棋子？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】此題為空心方陣問題，空心方陣每邊點數(shù)為11，那么第2層的每邊點數(shù)就是11﹣2=9，由此利用四周點數(shù)之和=每邊點數(shù)×4﹣4即可解答．
【解答】解：11×4﹣4=44﹣4=40（枚），
（11﹣2）×4﹣4=36﹣4=32（枚），
40+32=72（枚），
答：這個方陣共有72枚棋子．

【例119】 19．在正方形的廣場四周裝彩燈，四個角上都裝一盞，每邊裝25盞，問這個廣場一共需裝彩燈多少盞？
【考點】N6：方陣問題．
【分析】這個問題可以看做是空心方陣問題：根據(jù)四周點數(shù)之和=每邊點數(shù)×4﹣4即可計算所需要的彩燈盞數(shù)．
【解答】解：25×4﹣4，
=100﹣4，
=96（盞）；
答：這個廣場一共需要彩燈96盞．

【例120】 20．（2013?小機靈杯）有若干名學(xué)生，恰好組成一個八列長方形方陣．如果在隊列中再增加120人或從隊列中減去120人，都能組成一個方形方陣，那么原長方形方陣中有多少名學(xué)生呢？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】可設(shè)原有戰(zhàn)士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，則存在a2﹣b2=240，根據(jù)奇偶性相同，即可求得a、b的值，進一步求得n的值．
【解答】解：設(shè)原有戰(zhàn)士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，
則存在a2﹣b2=240，
即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b與a﹣b的奇偶性相同，且a、b都為偶數(shù)，
故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合題意舍去）；
a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，則8x=904．因為904﹣120=784，784為28的平方，即28行28列，與題意不符，即不是在原8列的方陣中減去120，而是減去120再排成隊列，所以904不符條件，應(yīng)舍去；
a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合題意舍去）；
a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合題意舍去）；
a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合題意舍去）；
a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，則8x=136；
a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合題意舍去）．
故原長方形隊列共有136名戰(zhàn)士．

【例121】 21．如圖，這是一些棋子擺成的正三角形點陣，和“空心方陣”類似，也可以有“空心三角陣”．
（1）如果有一個5層的空心三角陣，最外層每邊有20個棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一個空心三角陣共有294枚棋子，那么它最多有多少層？
（3）如果一個空心三角陣共有294枚棋子，不止一層，那么它的最外層最多有多少枚棋子？

【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】（1）根據(jù)空心三角陣的特點可知，相鄰兩層的點數(shù)相差9個，然后根據(jù)每層點的個數(shù)=每邊的個數(shù)×3﹣3代入數(shù)據(jù)求出最外層的點數(shù)，然后根據(jù)等差數(shù)列解答即可；
（2）最里層的個數(shù)6開始，要使一個空心三角陣的層數(shù)最多，要從里面第二層6+9=15個計數(shù)，設(shè)一共有n層，公差為9，然后根據(jù)等差數(shù)列解答即可；
（3）要使它的最外層最多，必須層數(shù)最少，因為294是偶數(shù)，所以從外向內(nèi)依次減少的總枚數(shù)必須是偶數(shù)，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，其中最少的是54，所以共有4層時，它的最外層最多；然后再進一步解答即可．
【解答】解：（1）20×3﹣3=57（枚）
57﹣9×（5﹣1）=21（枚）
（57+21）×5÷2
=78×5÷2
=195（枚）
答：一共有195枚棋子．

（2）設(shè)一共有n層，
15n+n（n﹣1）×9÷2=294
3n2+7n﹣196=0
解得：n=7
答：它最多有7層．

（3）因為294是偶數(shù)，所以從外向內(nèi)依次減少的總枚數(shù)必須是偶數(shù)，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，
其中最少的是54，所以共有4層時，它的最外層最多；
所以最外層最多有：（294+54）÷4=87（枚）．
答：它的最外層最多有87枚棋子．

【例122】 22．阿奇用一些棋子擺成了一個兩層的空心方陣，后來他又多擺上去28個棋子，使得圖形變成一個三層的空心方陣，開始時阿奇可能擺了多少個棋子？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】由題意知，組成一個新的三層空心方陣有兩種情況，即單層空心方陣可以放在雙層空心方陣的里面，也可以放在雙層空心方陣的外面．如果放在里面，那么原有棋子（28+8）+（28+8+8）=80枚；如果放在外面，那么原有棋子（28﹣8）+（28﹣8﹣8）=32枚．據(jù)此解答．
【解答】解：如果單層空心方陣放在雙層空心方陣的里面，那么原有棋子（28+8）+（28+8+8）=80枚；
如果單層空心方陣放在雙層空心方陣的外面，那么原有棋子（28﹣8）+（28﹣8﹣8）=32枚；
所以原來用了80枚棋子或32枚棋子；
答：他原來用了棋子80枚或32枚．

【例123】 23．陽光小學(xué)的學(xué)生在操場上排成一個方陣，方陣的行距和列距都相等，已知方陣最外面一圈都是男生，往內(nèi)一圈都是女生，然后是男生…如此下去直到最里面，如果男生總數(shù)比女生總數(shù)多52人，那么共有學(xué)生多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】根據(jù)方陣知識可知，相鄰每邊的人數(shù)相差2，所以相鄰的內(nèi)外圈相差2×4=8人，52÷8=6…4（人），所以最后一圈是男生有4人，這一圈外面還有6×2=12圈，所以最外圈有4+12×8=100人，然后根據(jù)等差數(shù)列公式即可求出總?cè)藬?shù)．
【解答】解：相鄰的內(nèi)外圈相差：2×4=8（人）
因為52÷8=6…4（人）所以最后一圈是男生有4人，這一圈外面還有6×2=12圈，
所以最外圈有：4+12×8=100（人）
（4+100）×（12+1）÷2
=104×13×2
=676（人）
答：共有學(xué)生676人．

【例124】 24．某班同學(xué)在軍訓(xùn)隊列表演中恰站成一個雙層空心方陣，外層的每邊站了9名同學(xué)．若讓這個班同學(xué)在一條250米長的筆直馬路上站崗，從一端開始每隔5米站一人，則站滿之后還剩下多少人？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】雙層空心方陣的內(nèi)層每邊應(yīng)站9﹣2=7人，故該班共有[（9﹣1）+（7﹣1）]×4=56人，由于兩端都站，所以250米長的馬路包括25÷5=50個5米長的段（間隔數(shù)），所以站崗需要50+1=51人，站滿后還剩下56﹣51=5人．
【解答】解：方陣的內(nèi)層每邊站9﹣2=7人，
[（9﹣1）+（7﹣1）]×4=56（人），
250÷5=50（個），
50+1=51（人），
剩下：56﹣51=5（人）；
答：滿后還剩下5人．

【例125】 25．小美將一些紙鶴擺成一個空心的方陣．已知最外層她擺了44只紙鶴，最內(nèi)層擺了20只紙鶴．那么，小美擺完這個方陣一共用了多少只紙鶴？
【考點】N6：方陣問題．
【專題】456：方陣問題．
【分析】此題為空心方陣問題，每相鄰的兩層相差8只紙鶴，已知最外層她擺了44只紙鶴，最內(nèi)層擺了20只紙鶴，則方陣的層數(shù)：（44﹣20）÷8+l=4（層）；由此即可求出這個方陣的紙鶴總數(shù)．
【解答】解：方陣的層數(shù)：（44﹣20）÷8+1，
=24÷8+1，
=3+1，
=4（層）；
紙鶴的總數(shù)：20×4+8+8×2+8×3，
=80+8+16+24，
=88+16+24，
=104+24，
=128（只）．
答：小美擺完這個方陣一共用了128只紙鶴．

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