2022～2023學年度下期高中2021級期中聯(lián)考理科數(shù)學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項： 1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的學校、姓名、班級、準考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條形碼粘貼處”。2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效。3.考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A．    B．    C．    D．2．函數(shù)的導函數(shù)為A．      B．C．      D．3．若可導函數(shù)滿足，則A．1    B．2    C．3    D．44．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實數(shù)的值為A．         B．   C．         D．5．若定義在上的函數(shù)的導數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在處取極大值，無極小值D．函數(shù)在處取極大值，無極小值  6．若函數(shù)在點處的切線斜率為1，則A．    B．    C．    D．7．若關于的不等式恒成立，則的取值范圍為A．   B．   C．   D．8．已知正四面體的棱長為，若分別是的中點，則線段的長為A．2    B．    C．    D．9．函數(shù)的圖象大致是       A          B       C     D10．若函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍為A．       B．C．或     D．11．如圖，半徑為1的球是圓柱的內(nèi)切球，線段是球的一條直徑，點是圓柱表面上的動點，則的取值范圍為A．         B．C．         D．12．若關于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是A．        B． C．     D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則______．14．______．15．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是______．16．如圖，正方體的棱長為，若空間中的動點滿足，，則下列命題正確的是______．（請用正確命題的序號作答）①若，則點到平面的距離為；②若，則二面角的平面角為； ③若，則三棱錐的體積為；④若，則點的軌跡構成的平面圖形的面積為． 三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若與相互垂直，求．  18．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值．  19．（12分）如圖，在正三棱柱中，，是的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明：平面平面．  20．（12分）制作一個容積為的圓柱體容器（有底有蓋，不考慮器壁的厚度），設底面半徑為．（1）把該容器外表面積表示為關于底面半徑的函數(shù)；（2）求的值，使得外表面積最小．    21．（12分）在如圖①所示的長方形中，，，是上的點且滿足，現(xiàn)將三角形沿翻折至平面平面（如圖②），設平面與平面的交線為．（1）求二面角的余弦值；（2）求與平面所成角的正弦值．    22．（12分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的導函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）證明：，有．     2022～2023學年度下期高中2021級期中聯(lián)考理科數(shù)學參考答案及評分標準 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。123456789101112BDCCADBBADAC 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．    14．    15．    16．②④ 三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）解：（1），         …………………………2分，即，且，，解得；    …………………………5分（2），，      …………………………7分又，解得．       …………………………10分 18．（12分）解：（1），切點為，又，，        …………………………3分切線方程為，即曲線在點處的切線方程為；   …………………………6分（2）由（1）知，令，得或，令，得，函數(shù)在區(qū)間，為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)，  ……………………8分又，，；      …………………………10分又，，．     …………………………12分 19．（12分）解：（1）如圖，分別作，的中點，，連接，，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，，設異面直線與所成角為，，，，      …………………………3分；       …………………………6分（2），，設平面的法向量為，有，取非零向量，          …………………………8分，，設平面的法向量為，有，取非零向量，            …………………………10分，平面平面．       …………………………12分 20．（12分）解：（1）設圓柱體水杯的高為，則，       …………………………2分表面積，即；        …………………………6分（2）由（1）得令，解得，   …………………………8分當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，        …………………………10分當時，表面積取最小值．         …………………………12分 21．（12分）解：（1）如圖，作的中點，連接，易證，又平面平面，又平面平面，又平面平面，           …………………………2分取的三等分點(靠近點)，易知，建立分別以所在直線為軸的空間直角坐標系如圖所示，  平面，平面，，又，平面的法向量為，且， …………………………4分又，，設平面的法向量為，則，取非零向量，          …………………………6分設二面角的平面角為，，,由題知，二面角的余弦值為；    …………………………7分（2）設直線與相交于點，，平面，同理平面，由平面公理3可得，又，即為，       …………………………10分平面，是在平面內(nèi)的投影，是與平面所成角，由，又，，，與平面所成角的正弦值為．        …………………………12分 22．（12分）解：（1），，      …………………………2分，令，又，       …………………………4分，，，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增；  …………………………6分（2）要證，即證，不妨設函數(shù)，      …………………………8分即證，在上單調(diào)遞增，又，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，命題得證．         …………………………12分
解析：1．解：由向量加、減運算的定義可知B正確，故選B．2．解：由求導法則可知D正確，故選D．3．解：由導數(shù)的定義可知，故選C．4．解：若直線與平面平行，則，即，解得，故選C．5．解：均為導函數(shù)的性質(zhì)，均錯誤，在處極小值，錯誤，故選A．6．解：，，，解得，故選D．7．解：構造函數(shù)，則，令，得，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，，若題設成立，則，故選B．8．解：，又與，的夾角均為，又，，，故選B．9．解：由定義域為，排除B；又，令，得，的單增區(qū)間為，排除C；當時，，排除D；故選A．10．解：，，即有兩個大于的解，必須滿足，且，解得，故選D．11．解：，又，，，故選A．12．解：，不等式可化為，令，，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，令，則的圖象恒過，若解集恰有個整數(shù)，滿足不等式且3不滿足不等式，即且，，故選C．13．解：，故答案為．14．解：，故答案為2．15．解：，若在區(qū)間單調(diào)遞減，則，即在恒成立，即，故答案為．16．解：由空間向量的正交分解及其坐標表示可建立如圖空間直角坐標系，由題可知向量，平面的法向量，則點與平面的距離為，故①錯誤；設平面的法向量，又，，且，取非零向量，設二面角的平面角為，則，是銳角，二面角的平面角為，故②正確；，，平面的法向量為，則點到平面的距離為，易知，則三棱錐，故③錯誤；延長至點，使得，取中點，中點，，整理得，點在平面上，截面為邊長為的正六邊形，其面積，即，故④正確．故答案為②④．

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