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2023年4月山東省新高考聯(lián)合模擬考試
數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁(yè)，22題，全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改 動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在
本試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。


一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù) i, 則z2+z=
A.— 1 C. D.1
2.已知集合A={(x,y)ly=x},B=((x,y)||xl+ly|=1}, 則 A∩B 中元素的個(gè)數(shù)為
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知拋物線y2=2px(p>0) 的焦點(diǎn)在圓x2+y2=4 上，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
A.1 B.2 C.4 D.8
4.某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)(環(huán)數(shù)為整數(shù))形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8,唯一
的眾數(shù)為9,極差為3,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
A.7.6 B.7.8 C.8 D.8.2
5.已知直線y=x- 1 與曲線y=e+ 相切，則實(shí)數(shù)a 的值為
A.— 2 B.— 1 C.0 D.2
6.17世紀(jì)30年代，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在《不可分量幾何學(xué)》 一書(shū)中介紹了利用平面圖形旋
轉(zhuǎn)計(jì)算球體體積的方法.如圖，AEB 是一個(gè)半圓，圓心為O,ABCD 是
半圓的外切矩形.以直線OE 為軸將該平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，記△OCD,
陰影部分，半圓AEB 所形成的幾何體的體積分別為V?,V?,V?, 則下列
說(shuō)法正確的是
A.V?+V?V? C.Vi>V? D.V?=V?
高三數(shù)學(xué)試題 第 1 頁(yè) (共4頁(yè))

7.已知函數(shù) ,數(shù)列{a} 滿 足a;=1,an+s=a,(n ∈N?),?(a?)+f(a?)+ f(a?)=0, 則
A.0 B.1 C.675 D.2023
8.已知函數(shù)f(x)=asin2x+bcos2x(ab≠0) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正
確的是

)是偶函數(shù) B.f(x) 的最小正周期為2π

C.f(x) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增 D. 方程f(x)= 2b 在區(qū)間[0,2π]上有2個(gè)實(shí)根
二 、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符
合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.已知實(shí)數(shù)a,b,c 滿足a>b>c, 且 a+b+c=0, 則下列說(shuō)法正確的是
A. B.a-c> 2b C.a2>> b2 D.ab +bc 0
10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示 事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”,丙表示事件
“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”,則
A.乙發(fā)生的概率為 B.丙發(fā)生的概率為
C.甲與丁相互獨(dú)立 D.丙與丁互為對(duì)立事件
11.如圖所示，在菱形ABCD 中 ， ,E,F,G 分別是線段AD,CD,BC 的中點(diǎn)，將
△ABD 沿直線BD 折起得到三棱錐A—BCD, 則在該三棱錐中，下列說(shuō)法正確的是
A. 直線EF// 平 面ABC
B. 直線BE 與 DG 是異面直線
C. 直線BE 與 DG 可能垂直
D.若 ,則二面角A-BD—C 的大小為
12.若定義在[0,1]上的函數(shù)f(x) 同時(shí)滿足：① f(1)=1;② 對(duì) Vx ∈[0,1],f(x)≥0 成
立；③對(duì) Vx?,xz,x?+x? ∈[0,1],f(x?)+f(x?)≤f(x?+x?) 成立；則稱(chēng)f(x) 為“正
方和諧函數(shù)”.下列說(shuō)法正確的是
A.f(x)=x2,x ∈[0,1] 是“正方和諧函數(shù)”
B. 若 f(x) 為“正方和諧函數(shù)”,則f(O)=0
C.若 f(x) 為“正方和諧函數(shù)”,則f(x) 在[0,1]上是增函數(shù)
D.若 f(x) 為“正方和諧函數(shù)”,則對(duì) Vx ∈[0,1],f(x)≤2x 成立
高三數(shù)學(xué)試題 第 2 頁(yè) ( 共 4 頁(yè) )

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知 ,則 的 值 為
14.已知abc 表示一個(gè)三位數(shù)，如果滿足a>b 且 c>b, 那么我們稱(chēng)該三位數(shù)為“凹數(shù)”,則沒(méi)
有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”共 個(gè)(用數(shù)字作答).
15.已知向量a=(1,2),b=(4,2), 若非零向量c 與a,b 的夾角均相等，則c 的坐標(biāo)為
(寫(xiě)出一個(gè)符合要求的答案即可).
16.如圖，在矩形ABCD 中， |AB|=2|ADI,A?,A? 分別為邊AB,
CD 的中點(diǎn)，M,N 分別為線段A?C (不含端點(diǎn))和AD 上的動(dòng)點(diǎn)，
滿足 ,直線A?M,A?N 的交點(diǎn)為P, 已知點(diǎn)P
的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17. (10分)
根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)，我國(guó)2018-2022年的新生兒數(shù)量如下：

年份編號(hào)x
1
2
3
4
5
年份
2018
2019
2020
2021
2022
新生兒數(shù)量y(單位：萬(wàn)人)
1523
1465
1200
1062
956
(1)由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合新生兒數(shù)量y 與年份編號(hào)x的關(guān)系，請(qǐng)用 相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；
(2)建立y 關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)我國(guó)2023年的新生兒數(shù)量.


,a=y-bx,
參考公式及數(shù)據(jù)：




),
,


18. (12分)
已知數(shù)列{a} 的前n 項(xiàng)和S 。=2°+1—2, 數(shù)列{b.} 滿足b 。=log?an ·
(1)求數(shù)列{an},{bn} 的通項(xiàng)公式；
(2)由a,,b, 構(gòu)成的n×n 階數(shù)陣如圖所示， 求該數(shù)陣中所有項(xiàng)的和T,.

19. (12分)
如圖，在正三棱臺(tái)ABC-DEF 中 ，M,N 分別為棱AB,BC 的中點(diǎn)， AB=2DE.
(1)證明：四邊形MNFD 為矩形；
(2)若四邊形MNFD 為正方形，求直線BC 與平面ACFD 所成 角的正弦值.



20. (12分)
已知△ABC 內(nèi)角A,B,C 的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)G 是△ABC 的重心，且AG ·BG=0.
(1)若 ,求tan ∠GAC 的值；
(2)求cos ∠ACB 的取值范圍.



21. (12分)
已知橢圓E: )的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,由E 的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積
為2 .
(1)求E 的方程；
(2)記E 的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A,B, 點(diǎn) P 在線段AB 上運(yùn)動(dòng)，垂直于x軸的直線PQ 交E 于點(diǎn)M (點(diǎn)M 在第一象限),P 為線段QM 的中點(diǎn)，設(shè)直線AQ 與E 的另一個(gè)交點(diǎn)為
N, 證明：直線MN 過(guò)定點(diǎn).



22,(12分)
已知函數(shù)
(1)當(dāng)a=0 時(shí)，求f(x) 在區(qū)間[1,e] 上的值域；
(2)若f(x) 有唯一的極值點(diǎn)，求a 的取值范圍.

山 東 省 新 高 考 聯(lián) 合 模 擬 考 試

數(shù) 學(xué) 試 題 參 考 答 案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只
有一項(xiàng)是符合題目要求的。

題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
B
A
D
B
D
二、 多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有
多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

題號(hào)
9
10
11
12
答案
BC
ACD
ABD
ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13. √③;14.240;15. (1,1),答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可；16. √ 3.
四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 17. 【解析】
(1)由題意及參考數(shù)據(jù)可得：
x=3, ), ;


所以


因?yàn)閥 與x的相關(guān)系數(shù)近似為-0.98,說(shuō)明y 與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而
可以用線性回歸模型擬合y 與x的關(guān)系.

(2)由及 ( 1 ) 得 ：


a=y-bx=1241.2-(- 153.7)×3=1702.3.
所以 y 關(guān)于x的回歸方程為： y=-153.7x+1702.3.
將2023年對(duì)應(yīng)的年份編號(hào)x=6代入回歸方程得： y=- 153.7×6+1702.3=780.1. 所以我國(guó)2023年的新生兒數(shù)量約780.1萬(wàn)人.
18. 【解析】

(1)因?yàn)?Sn=2°+1-2, 所以 an=S,-S?=2",n≥2,

當(dāng) n=1 時(shí)，α=S=2, 適合上式，所以 a?=2".
所以 b,=log?a?=log?2”=n.

(2)T?=a(b+b?+ …+b?)+a?(b+b?+ …+b?)+ …+a,(k+b?+ …+bn)

=(a+a?+ …+a?)(b+b?+ …+b?)

,
因?yàn)?S 。=2+1-2,

19. 【解析】
(1)因?yàn)槿馀_(tái)ABC-DEF 是正三棱臺(tái)， M 為棱AB 的中點(diǎn)， AB=2DE.
所 以DE//MB 且DE=MB, 所以四邊形DMBE 為平行四邊形，
所 以MD//BE 且MD=BE, 同理 NF //BE 且NF=BE;
所 以MD//NF 且 MD=NF, 所以四邊形DMNF 為平行四邊形.
取 AC 的中點(diǎn)為O, 連接AE,EC,OE,OB,
因?yàn)?EA=EC,BA=BC,
所以 AC ⊥OB,AC ⊥OE, 又OB∩OE=O,
所以直線AC⊥ 面BOE, 又BEc 面BOE,
所 以AC ⊥BE, 又MN//AC,MD//BE, 所以 MN ⊥MD,
所以四邊形DMNF 為矩形.
( 2 ) 以O(shè) 為原點(diǎn)， OB,OC 所在直線分別為x軸， y 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方形DMNF 的邊長(zhǎng)為1,則DE=1,AB=2,BE=1.
則A(O,- 1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0), ),
則AC=(0,2,0), ,BC=(-√3,1,0),
設(shè)平面ACFD 的法向量為n=(x,y,z),




由


, 得



, 令z=- 1, 得n=(2√2,0,- 1),



設(shè)BC 與平面ACFD 所成的角為θ,所以

所 以 直 線BC 與平面ACDF 所成角的正弦值為
20. 【解析】
(1)延長(zhǎng)CG 交 AB 于 點(diǎn)D, 因 為 G 是 △ABC 的重心，
則 D 為線段AB 的中點(diǎn)，且, 又AG ·BG=0,
所 以 GA ⊥GB, 因 此 ,GC=2DG=c,
又因?yàn)?, 所 以 , 在 △AGC 中，記∠CAG=a,



由正弦定理


, 即






所以

, 即 cosα=2√3sinα,




所以

, 即




( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知

, 在 △ABC 中，





在△ACD中 ，

所以 , 整 理 得 a2+b2=5c2,
在△ABC 中，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，等號(hào)成立；
又∠ACB ∈(0,π), 所 以 cos ∠ACB0, 當(dāng)x∈(x,+c∞)時(shí)，g(x)0,
當(dāng)x∈(x? ,x?)時(shí)， g(x)>0,?"(x)0,
當(dāng)x∈(x? ,1)時(shí)， g(x)>0,f"(x)

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