上海市靜安區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學模擬題（一模）按題型匯編

這是一份上海市靜安區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學模擬題（一模）按題型匯編，共45頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題，雙空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?上海市靜安區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學模擬題（一模）按題型匯編

一、單選題
1．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）若，，則下面不等式中成立的一個是（????）．
A． B． C． D．
2．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）下列四個選項中正確的是（????）
A．關(guān)于的方程()的曲線是圓
B．設復數(shù)是兩個不同的復數(shù)，實數(shù)，則關(guān)于復數(shù)的方程的所有解在復平面上所對應的點的軌跡是橢圓
C．設為兩個不同的定點，為非零常數(shù)，若，則動點的軌跡為雙曲線的一支
D．雙曲線與橢圓有相同的焦點
3．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，、是位于不同象限的任意角，它們的終邊交單位圓(圓心在坐標原點)于A、B兩點.若A、B兩點的縱坐標分別為正數(shù)a、b，且，則a+b的最大值為(????)
A． B． C． D．不存在
4．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）方程的解是（????）
A． B． C． D．
5．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）以坐標原點為中心的橢圓的長軸長等于8，且以拋物線的焦點為一個焦點，則該橢圓的標準方程是（????）
A． B． C． D．
6．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）函數(shù)的圖像關(guān)于（????）對稱．
A．原點 B．x軸 C．y軸 D．直線
7．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知直線的斜率大于零，其系數(shù)a、b、c是取自集合中的3個不同元素，那么這樣的不重合直線的條數(shù)是（????）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（????）
A．120 B．96 C．72 D．48
9．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）若實數(shù)x,y滿足，則（????）成立．
A． B．
C． D．.
10．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在的二項展開式中，稱為二項展開式的第項，其中r=0，1，2，3，……，n．下列關(guān)于的命題中，不正確的一項是（????）
A．若，則二項展開式中系數(shù)最大的項是．
B．已知，若，則二項展開式中第2項不大于第3項的實數(shù)的取值范圍是．
C．若，則二項展開式中的常數(shù)項是．
D．若，則二項展開式中的冪指數(shù)是負數(shù)的項一共有12項．
11．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．《九章算術(shù)》總結(jié)了先秦時期數(shù)學成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學巨著，對后世數(shù)學研究產(chǎn)生了廣泛而深遠的影響．書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問積幾何？” 其意思為：“今有底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為尺和尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（????）平方尺.

A． B． C． D．

二、填空題
12．（2021·上海·統(tǒng)考一模）已知，命題：若，則且的逆否命題是__．
13．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）的展開式中的常數(shù)項是_______________.
14．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）如圖所示，弧長為，半徑為1的扇形(及其內(nèi)部)繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的表面積為___________.

15．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）設 是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)為________________
16．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D為BC的中點，則＝____________.
17．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）某校的“希望工程”募捐小組在假期中進行了一次募捐活動.他們第一天得到15元，從第二天起，每一天收到的捐款數(shù)都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，這次募捐活動至少需要___________天.(結(jié)果取整)
18．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）某校開設9門選修課程，其中A，B，C三門課程由于上課時間相同，至多選一門，若規(guī)定每位學生選修4門，則一共有___________種不同的選修方案.
19．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標系中，動點以每秒的角速度從點出發(fā)，沿半徑為2的上半圓逆時針移動到，再以每秒的角速度從點沿半徑為1的下半圓逆時針移動到坐標原點，則上述過程中動點的縱坐標關(guān)于時間的函數(shù)表達式為___________.

20．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）拋物線的準線方程是________.
21．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）設集合，集合，則________．
22．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大，則的值為__________.
23．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）在的二項展開式中，項的系數(shù)為________（結(jié)果用數(shù)值表示）
24．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知圓柱的母線長，底面半徑，則該圓柱的側(cè)面積為_______．
25．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程有兩個共軛虛數(shù)根，則m的取值范圍是________．
26．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）函數(shù)，當y取最大值時，x的取值集合是__________．
27．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的首項為，公比為，且、、成等差數(shù)列，則________．
28．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知、是夾角為的兩個單位向量，若和垂直，則實數(shù)_______．
29．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的中心是坐標原點，它的一個頂點為，兩條漸近線與以A為圓心1為半徑的圓都相切，則該雙曲線的標準方程是___________．
30．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）設函數(shù)，數(shù)列中，，一般地，，（其中）．則數(shù)列的前n項和_________．
31．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知偶函數(shù)是實數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，當時，，則當時，_________．
32．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）函數(shù)的定義域是____________．
33．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限，則實數(shù)的取值范圍是____________．
34．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離是____________．
35．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）16-17歲未成年人的體重的主要百分位數(shù)表（單位：kg）．

P1
P5
P10
P25
P50
P75
P90
P95
P99
男
40.1
45.1
47.9
51.5
56.7
63.7
72.4
80.4
95.5
女
38.3
41.2
43.1
46.5
50.5
55.3
61.1
65.4
75.6
表中數(shù)據(jù)來源：《中國未成年人人體尺寸》（標準號：GB/T26158-2010）
小王同學今年17歲，她的體重50kg，她所在城市女性同齡人約有4.2萬人．估計小王同學所在的城市有________ 萬女性同齡人的體重一定高于她的體重．（單位：萬人，結(jié)果保留一位小數(shù)）
36．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則函數(shù)的導數(shù)____________．
37．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）現(xiàn)有5根細木棍，長度分別為1、3、5、7、9（單位：cm），從中任取3根，能搭成一個三角形的概率是____________．
38．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g，測得球的外直徑等于5.0cm，若球壁厚度均勻，則它的內(nèi)直徑為__________cm．（鋼的密度是7.9g/cm3，結(jié)果保留一位小數(shù)）．
39．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）、分別是事件、的對立事件，如果、兩個事件獨立，那么以下四個概率等式一定成立的是____________．（填寫所有成立的等式序號）
①
②
③
④
40．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）2022年11月27日上午7點，時隔兩年再度回歸的上海馬拉松賽在外灘金牛廣場鳴槍開跑，途徑黃浦、靜安和徐匯三區(qū).數(shù)千名志愿者為1.8萬名跑者提供了良好的志愿服務.現(xiàn)將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點管理組、路線垃圾回收組4個組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有__________種.（結(jié)果用數(shù)值表示）
41．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知全集為實數(shù)集R，集合，N=，則=____________．
42．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為________.

三、解答題
43．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）如圖所示，等腰梯形是由正方形和兩個全等的Rt△FCB和Rt△EDA組成，，.現(xiàn)將Rt△FCB沿BC所在的直線折起，點移至點，使二面角的大小為.

（1）求四棱錐的體積；
（2）求異面直線與所成角的大小.
44．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）設，其中常數(shù).
（1）設，，求函數(shù)()的反函數(shù)；
（2）求證：當且僅當時，函數(shù)為奇函數(shù).
45．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）如圖所示，在河對岸有兩座垂直于地面的高塔和.張明在只有量角器(可以測量從測量人出發(fā)的兩條射線的夾角)和直尺(可測量步行可抵達的兩點之間的直線距離)的條件下，為了計算塔的高度，他在點A測得點的仰角為，，又選擇了相距100米的點，測得.

（1）請你根據(jù)張明的測量數(shù)據(jù)求出塔高度；
（2）在完成（1）的任務后，張明測得，并且又選擇性地測量了兩個角的大小(設為?).據(jù)此，他計算出了兩塔頂之間的距離.
請問：①張明又測量了哪兩個角？(寫出一種測量方案即可)
②他是如何用表示出的？(寫出過程和結(jié)論)
46．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）個正數(shù)排成行列方陣，其中每一行從左至右成等差數(shù)列，每一列從上至下都是公比為同一個實數(shù)的等比數(shù)列.

已知，，.
（1）設，求數(shù)列的通項公式；
（2）設，求證：()；
（3）設，請用數(shù)學歸納法證明：.
47．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）如圖所示，定點到定直線的距離.動點到定點的距離等于它到定直線距離的2倍.設動點的軌跡是曲線.

（1）請以線段所在的直線為軸，以線段上的某一點為坐標原點，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，使得曲線經(jīng)過坐標原點，并求曲線的方程；
（2）請指出（1）中的曲線的如下兩個性質(zhì)：①范圍；②對稱性.并選擇其一給予證明.
（3）設（1）中的曲線除了經(jīng)過坐標原點，還與軸交于另一點，經(jīng)過點的直線交曲線于，兩點，求證：.
48．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，在正三棱柱中，．

(1)求正三棱柱的體積；
(2)若點M是側(cè)棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值．
49．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．
(1)求的值；
(2)求b的值．
50．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）某學校對面有一塊空地要圍建成一個面積為的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（舊墻需要整修），其它三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為的進出口，如圖所示．已知舊墻的整修費用為45元/m，新建墻的造價為180元/m，建寬的進出口需2360元的單獨費用，設利用的舊墻的長度為x（單位：m），設修建此矩形場地圍墻的總費用（含建進出口的費用）為y（單位：元）．

(1)將y表示為x的函數(shù)；
(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用（含建進出口的費用）最少，并求出最少總費用．
51．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖1，已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，點B是橢圓的上頂點，橢圓上一點到兩焦點距離之和為．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若點是橢圓上異于點B的兩點，，且滿足的點C在y軸上，求直線的方程；
(3)設x軸上點T坐標為，過橢圓的右焦點F作直線l（不與x軸重合）與橢圓交于M、N兩點，如圖2，點M在x軸上方，點N在x軸下方，且，求的值．
52．（2021·上海靜安·統(tǒng)考一模）對于數(shù)列：若存在正整數(shù)，使得當時，恒為常數(shù)，則稱數(shù)列是準常數(shù)數(shù)列．現(xiàn)已知數(shù)列的首項，且．
(1)若，試判斷數(shù)列是否是準常數(shù)數(shù)列；
(2)當a與滿足什么條件時，數(shù)列是準常數(shù)數(shù)列？寫出符合條件的a與的關(guān)系；
(3)若，求的前項的和（結(jié)果用k、a表示）．
53．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足：，，，對一切正整數(shù)成立．
(1)證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項之和．
54．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）平面向量，函數(shù).
(1)求函數(shù)y=的最小正周期；
(2)若，求y=的值域；
(3)在△中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，，求△的面積.
55．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中點，O為AE的中點，以AE為折痕將向上折起，使D點折到P點，且．

(1)求證：面ABCE；
(2)求AC與面PAB所成角的正弦值．
56．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知橢圓：（）的離心率為，它的上頂點為，左、右焦點分別為，（常數(shù)），直線，分別交橢圓于點，．為坐標原點．

(1)求證：直線平分線段；
(2)如圖，設橢圓外一點在直線上，點的橫坐標為常數(shù)（），過的動直線與橢圓交于兩個不同點、，在線段上取點，滿足，試證明點在直線上．
57．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.
(1)若x＝2是函數(shù)f(x)的駐點，求實數(shù)a的值；
(2)當a >0時，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若存在x?[，e2 ]（e為自然對數(shù)的底），使得不等式f(x)￡ g (x)成立，求實數(shù)a的取值范圍．

四、雙空題
58．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）在空間直角坐標系中，點關(guān)于坐標平面的對稱點在第_______卦限；若點的坐標為，則向量與向量夾角的余弦值是____________．

參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和關(guān)系進行判斷即可．
【詳解】，，
，則，
故選：C．
【點睛】本題主要考查不等式性質(zhì)的應用，結(jié)合同向不等式相加的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
2．D
【分析】A. 由圓的一般方程判斷；B.由橢圓的定義判斷； C.由雙曲線的定義判斷；D.由雙曲線和橢圓的焦點判斷.
【詳解】A. 當時，方程()表示的曲線是圓，故錯誤；
B. 設復數(shù)所對應的點A，B，復數(shù)所對應的點C，方程表示點C到點AB的距離和為2a，當時，軌跡是橢圓，故錯誤；
C.設為兩個不同的定點，為非零常數(shù)，若，當時，動點的軌跡為雙曲線的一支，故錯誤；
D.因為雙曲線，所以，所以其焦點坐標為和，橢圓，，所以其焦點坐標為和，故正確；
故選：D
3．B
【分析】用a、b表示出點A、B的坐標，利用三角函數(shù)定義結(jié)合探求出a、b的關(guān)系再求解即得.
【詳解】、是位于不同象限的任意角，依題意它們的終邊在x軸上方，不妨令為第一象限角，為第二象限角，則點，，
由三角函數(shù)定義知，
，而a>0，b>0，
，當且僅當時取“=”，
，當且僅當時取“=”，
所以a+b的最大值是.
故選：B
【點睛】基本不等式處理最值問題的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等號，要確保各次取等號的條件不矛盾.
4．A
【分析】先化簡為，再通過對指互化即得解.
【詳解】由題得.
故選：A
5．D
【分析】求出拋物線的焦點坐標，得橢圓的焦點坐標，值，再由長軸長求得，從而得橢圓方程．
【詳解】由拋物線方程知，拋物線焦點坐標為，所以橢圓中，又，，所以，焦點在軸，
所以橢圓方程為．
故選：D．
6．C
【分析】分析給定函數(shù)的性質(zhì)，再借助性質(zhì)即可判斷作答.
【詳解】令，因，，即恒成立，
函數(shù)的定義域是R，，
因此，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.
故選：C
7．A
【分析】根據(jù)直線的斜率大于零，得到，再分，，三種情況分類求解.
【詳解】因為直線的斜率大于零，
所以，
當，a有2種選法，b有2種選法，c有1種選法；
因為直線與直線重合，
所以這樣的直線有條；
當時，a有1種選法，b有2種選法， c有2種選法；
所以這樣的直線有條，
當時，a有2種選法，b有1種選法， c有2種選法；
所以這樣的直線有條，
綜上：這樣的不重合直線的條數(shù)是3+8=11條，
故選：A
8．A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標性質(zhì)計算可得結(jié)果.
【詳解】因為是等差數(shù)列，，
所以，即，
所以.
故選：A
9．B
【分析】運用基本不等式，對條件代數(shù)式變形，逐項求解.
【詳解】由 和基本不等式 （當 時等號成立），
，當 時，有 ，當 時， ，A錯誤；
由 （當 同號時等號成立）得： ，
，B正確；
， （當 時等號成立） ，
，C，D錯誤；
故選：B.
10．D
【分析】A選項：根據(jù)系數(shù)最大列不等式，解不等式即可；B選項：根據(jù)題意列不等式，然后分和兩種情況解不等式即可；C選項：令，解方程即可；D選項：令，解不等式即可.
【詳解】A選項：令，解得，所以，所以A正確；
B選項：，整理可得，當時，不等式恒成立；當時，解得，所以，故B正確；
C選項：令，解得，所以常數(shù)項為，故C正確；
D選項：令，解得，所以可取，共11項，故D錯.
故選：D.
11．C
【分析】將四棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，然后求外接球表面積即可.
【詳解】
如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同，所以外接球的半徑為，外接球的表面積.
故選：C.
12．若或，則
【分析】根據(jù)逆否命題的定義進行求解即可．
【詳解】由逆否命題定義可得原命題的逆否命題為：若或，則
故答案為：若或，則.
【點睛】本題主要考查四種命題的關(guān)系，掌握逆否命題的定義是解決本題的關(guān)鍵．
13．60
【分析】由題意可得，二項展開式的通項，要求展開式的常數(shù)項，只要令可求，代入可求
【詳解】解：由題意可得，二項展開式的通項為：
，
令，可得：，此時，
即的展開式中的常數(shù)項為60.
故答案為：60．
【點睛】本題考查了二項展開式項的通項公式的應用，考查解題運算能力．
14．
【分析】旋轉(zhuǎn)得半球進而可得表面積.
【詳解】根據(jù)題意可得得到一個半徑為1的半球，
所以表面積為半個球的表面積和一個底面圓.

故答案為：.
15．2
【分析】把復數(shù)化為代數(shù)形式，再由復數(shù)的分類求解．
【詳解】，
它為純虛數(shù)，則且，解得．
故答案為：2．
16．
【詳解】試題分析：
考點：向量數(shù)量積
17．14
【分析】由題意可知，捐款數(shù)構(gòu)成一個以15為首項，以10為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和公式可得，即可求出n的最小值.
【詳解】由題意可知，捐款數(shù)構(gòu)成一個以15為首項，以10為公差的等差數(shù)列，
設要募捐到不少于1100元，這次募捐活動至少需要n天，
則，整理得：，
又∵為正整數(shù)，
∴當時，；
當時，，∴n的最小值為14，
即這次募捐活動至少需要14天．
故答案為：14.
18．75
【分析】A，B，C三門由于上課時間相同至多選一門，A，B，C三門課都不選，A，B，C中選一門，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果.
【詳解】由題意知本題需要分類來解，
第一類，若從A、B、C三門選一門有，
第二類，若從其他六門中選4門有，
∴根據(jù)分類計數(shù)加法得到共有種不同的方法，
故答案為：75.
19．
【分析】首先分析動點在半徑為2的上半圓上運動時，時間的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得點的坐標，再分析動點在半徑為1的下半圓上運動時，時間的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得點的坐標，最后寫出函數(shù)表達式即可.
【詳解】由三角函數(shù)的定義可得：當動點在半徑為2的上半圓上運動時，，終邊對應的角度為，所以點坐標為，
當動點在半徑為1的下半圓上運動時，，終邊對應的角度為，
所以點坐標為，
綜上：動點的縱坐標關(guān)于時間的函數(shù)表達式為，
故答案為：
【點睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的定義解決實際問題，在做題過程中點的坐標與角度之間的關(guān)系，從而幫助解題.
20．
【詳解】分析：利用拋物線的準線方程為，可得拋物線的準線方程.
詳解：因為拋物線的準線方程為，
所以拋物線的準線方程為，故答案為.
點睛：本題考查拋物線的準線方程和簡單性質(zhì)，意在考查對基本性質(zhì)的掌握情況，屬于簡單題.
21．/
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，先求出集合A、B，然后根據(jù)交集的定義即可求解.
【詳解】解：因為集合，，
所以，
故答案為：.
22．或
【分析】討論或，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可求解.
【詳解】當時，單調(diào)遞減，
所以，，
又，解得，
當時，單調(diào)遞增，
所以，，
又，解得，
故答案為：或
23．
【分析】直接用二項式定理求解即可.
【詳解】由二項式定理得，
令，故，因此.
故答案為：.
24．
【分析】利用圓柱的側(cè)面積公式求解.
【詳解】因為圓柱的母線長，底面半徑，
所以該圓柱的側(cè)面積為,
故答案為：
25．
【分析】根據(jù)關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程有兩個共軛虛數(shù)根，由求解.
【詳解】因為關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程有兩個共軛虛數(shù)根，
所以，
即，即 ，
解得 ，
所以m的取值范圍是，
故答案為：
26．．
【分析】把作為一個整體，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解．
【詳解】，又，
所以時，，此時．
故答案為：．
27．2
【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的基本量，列出的方程，求解即可.
【詳解】因為是等比數(shù)列，又、、成等差數(shù)列，
故可得，即，
又，整理得：，
解得.
故答案為：.
28．
【分析】由向量垂直的數(shù)量積表示列方程求解．
【詳解】由題意，
因為和垂直，
則，解得，
故答案為：．
29．
【分析】先判斷雙曲線的焦點在軸上，即可求出，再設出雙曲線的方程，即可寫出雙曲線漸近線的方程，最后由點到直線的距離公式即可求出的值即可.
【詳解】有雙曲線一個頂點為，可知焦點在軸上，則，
故雙曲線可設為，則漸近線，
又，解得，則雙曲線的方程為.
故答案為：.
30．
【分析】先證明，從而可求數(shù)列的通項公式，最后求和即可.
【詳解】因為
，
所以，
所以當為偶數(shù)時，

；
當為奇數(shù)時，

.
所以，
數(shù)列的前n項和.
故答案為：
31．
【分析】根據(jù)是實數(shù)集上的偶函數(shù)，且以2為周期的周期函數(shù)，分，兩種情況求解.
【詳解】因為偶函數(shù)是實數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，
當時，，
所以，
當，，，
所以，
綜上：，
故答案為：
32．
【分析】由可得答案.
【詳解】，則，.
故答案為：
33．
【分析】先由復數(shù)的除法運算計算出，再由復數(shù)的幾何意義得出相應點的坐標，列方程組求解即可.
【詳解】，
∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，
由已知，在第二象限，
∴，解得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
34．/
【分析】運用兩直線平行求得m的值，再運用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】由直線與直線平行，
可知，即，
故直線為，
直線變形得，
故這兩條直線間的距離為，
故答案為：.
35．
【分析】根據(jù)題意，由圖表可知，該城市女性同齡人高于小王的百分位數(shù)，由百分位數(shù)的定義計算可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，小王同學今年17歲，她的體重50kg，
由圖表可知，小王體重的百分位數(shù)是，
所以體重一定高于她的體重的人數(shù)有(萬)
故答案為：
36．
【分析】根據(jù)求導公式和四則運算法則計算即可.
【詳解】.
故答案為：.
37．0.3/
【分析】根據(jù)古典概型，先求出樣本空間，再求出條件空間即可.
【詳解】從5根木棍中任取3個共有 種，符合條件有 3種，
能搭成一個三角形的概率 ；
故答案為： .
38．4.5
【分析】設空心鋼球的內(nèi)直徑為，表示空心鋼球的體積，由條件列方程求即可.
【詳解】設空心鋼球的內(nèi)直徑為，則空心鋼球的體積為，
因為空心鋼球的質(zhì)量為140.2g，鋼的密度是7.9g/cm3，
所以，所以，
解得，所以，
故答案為：.
39．②③
【分析】根據(jù)事件的獨立性定義判斷即可.
【詳解】①，故①不一定成立；
②③由事件的獨立性定義可得與，與相互獨立，所以，，故②③正確；
④，故④不一定成立.
故答案為：②③.
40．240
【分析】先將5名志愿者分成四組，然后再分配到四個地方即可.
【詳解】將5名志愿者分成四組，且每組至少1名志愿者有種情況，所以不同的分配方法有.
故答案為：240.
41．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到，，，然后求交集即可.
【詳解】不等式可整理為，所以，解得，所以，或，
不等式可整理為，所以，即，解得或，所以或，.
故答案為：.
42．
【分析】對分類討論：，和，分別求出對應情況下的實根情況列不等式，即可求解.
【詳解】函數(shù)的導函數(shù)為.
當時，令，解得：，所以函數(shù)有兩個零點，不符合題意.
當時，要使函數(shù)只有一個零點，只需的極大值小于0或的極小值大于0.
令，解得：或.
列表：


0




+
0
-
0
+

單增
極大值
單減
極小值
單增
所以極大值不符合題意.
所以極小值，解得：；
當時，要使函數(shù)只有一個零點，只需極大值小于0或的極小值大于0.
.
令，解得：或.
列表：




0


-
0
+
0
-

單減
極小值
單增
極大值
單減
所以極大值不符合題意.
所以極小值，解得：.
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）先證明，，利用線面垂直的判定定理證明平面ABCE得到就是四棱錐的高，可以求出四棱錐的體積；
（2）取的中點，連結(jié)?，得到（或其補角）就是與所成角，利用余弦定理求出求異面直線與所成角的大小.
【詳解】解：（1）由已知，有所以

連結(jié)，由，，有①
由有所以，②
由①②知，又，所以
所以就是四棱錐的高，
在Rt中，
故
（2）取的中點，連結(jié)?，
則，故（或其補角）就是與所成角.
在中，，，
則
故異面直線與所成角的大小為.
【點睛】（1）基本位置關(guān)系的證明用判定定理；
（2）求異面直線所成的角
思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：
(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；
(2)認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；
(3)計算：求該角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．
44．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）設，得.利用分離常數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得原函數(shù)的值域，得到反函數(shù)的定義域；
（2）先證明若，，利用函數(shù)的奇偶性的定義為奇函數(shù)；接下來證明為奇函數(shù)，必有.可以根據(jù)奇函數(shù)的定義，利用特值法求得；也可以利用反證法;假設，利用特值法得出矛盾；也可以根據(jù)奇函數(shù)的定義，進行恒等式的變形推導出.
【詳解】解：（1）由已知，設，得.
又，所以，函數(shù)()單調(diào)遞增.
因為,所以的值域.
故，；
（2）證明：
i)函數(shù)的定義域為.
若，，對于任意的，有
.
所以，是奇函數(shù).
ii)方法1：由是奇函數(shù)，有，解得.
方法2：若，則，，
(否則)，不是奇函數(shù).
方法3：若為奇函數(shù)，則對于任意的，有
，即，.
即..
【點睛】本題考查反函數(shù)的求法和奇函數(shù)的判定與性質(zhì)，涉及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)運算，屬中等難度.關(guān)鍵是要注意通過求原函數(shù)的值域確定反函數(shù)的定義域，再就是注意(2)中的證明的邏輯方向是雙向的，證明為奇函數(shù)，必有時可以使用多種方法，要靈活運用.
45．（1）米；（2）答案見解析.
【分析】（1）由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求得的值，由正弦定理可求的值，進而可求得的值；
（2）由（1）知，可求出的值，①測得，；②利用線面垂直的判定定理可得，可求出，在中，由余弦定理，可求.
【詳解】解：（1）在中，，

由正弦定理，有，
所以，米.
米.
（2）由（1）知米.
①測得，.
②由已知，，，.
所以，平面，得.
所以，.
在中，由余弦定理，米.
【點睛】解三角形應用題的一般步驟：
（1）閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．
（3）根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
（4）將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.
46．（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【分析】（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，設首項為，公差為，聯(lián)立方程組，求出和，寫出通項公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)即可求解；
（3）利用數(shù)學歸納法可以證明.
【詳解】解：（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，設首項為，公差為，
由，得
解得，.
故數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）可得，再由已知，得
，解得，由題意舍去.
.
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有().
（3）(i)當時，，等式成立.
(ii)假設當時等式成立，即，
當時，


，
等式成立.
根據(jù)(i)和(ii)可以斷定，對任何的都成立.
【點睛】(1)等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換；
(2)數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)的有關(guān)知識研究最值．
(3)數(shù)學歸納法用來解決與自然數(shù)n有關(guān)的問題.
47．（1）建系答案見解析，；（2）答案見解析；（3）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)“定點到定直線的距離.動點到定點的距離等于它到定直線距離的2倍”，建立坐標系得到關(guān)于P點的坐標的關(guān)系式，即曲線的方程，原點距點M的距離為1.
（2）根據(jù)曲線的方程以及圖像的特點，得出曲線的兩個性質(zhì)，范圍和對稱性.
（3）證明，即是證明，故需聯(lián)立直線與曲線方程得到，.然后得出結(jié)果為0，即得到證明.
【詳解】解：（1）在線段上取點，使得，以點為原點，以線段所在的直線為軸建立平面直角坐標系.

設動點的坐標為，則有，，由題意，有
，
整理得：.①
（2）①范圍：或，
②對稱性：
曲線關(guān)于成軸對稱；
曲線關(guān)于成軸對稱；
曲線關(guān)于成中心對稱.
范圍證明：
由，，得，
所以或；
，所以
對稱性證明：
在方程①中，把換成，方程①不變，
所以，曲線關(guān)于成軸對稱；
在方程①中，把換成，方程①不變，
所以，曲線關(guān)于成軸對稱；
在方程①中，把換成，或把換成，方程①不變，
所以，曲線關(guān)于成中心對稱；
（3）將代入，解得，(舍).
所以.
(i)若直線垂直于軸：
將代入，解得，
此時，?.所以，，.
.
(ii)若直線不垂直于軸：
設?，，.
直線的方程為，將其代入，整理得，
.
所以，，.
.
.
故，.
【點睛】（1）根據(jù)題目信息建立適當坐標系，得到關(guān)于點的橫縱坐標的等量關(guān)系.
（2）利用圖形觀察特點，得出性質(zhì).
（3）將證明垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明向量乘積為0的問題，聯(lián)立方程組，對基本的運算由一定的要求.
48．(1)
(2)．

【分析】（1）由棱柱體積公式計算；
（2）由異面直線所成角的定義得是所求異面直線所成的角或其補角，在三角形中計算可得．
【詳解】（1）由已知；
（2）因為，所以或其補角是所求異面直線所成的角，
在中，，，
．
所以異面直線與所成角的余弦值是．

49．(1)
(2)5

【分析】（1）先由，求得，再結(jié)合，利用正弦定理求解；
（2）根據(jù)，利用余弦定理求解.
(1)
解：在中，因為，
所以，
又，
由正弦定理得：；
(2)
在中，因為，
所以由余弦定理得：，
即，
解得 .
50．(1)
(2)x=24,12800

【分析】（1）設矩形的另一邊長為am，根據(jù)舊墻的整修費用為45元/m，新建墻的造價為180元/m，建寬的進出口需2360元的單獨費用，且面積為求解；
（2）由（1）得到，利用基本不等式求解.
【詳解】（1）解：設矩形的另一邊長為am，
則，
，
因為，
所以，
則；
（2）由（1）知：，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
此時最少總費用為12800元.
51．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可得答案；
（2）由題知直線的斜率都存在，設直線的斜率為，直線的斜率為，進而得直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程解得點的橫坐標為，同理得點的橫坐標，再結(jié)合解得，即可得答案；
（3）由題設直線的方程為，點的坐標分別為，則，進而聯(lián)立方程并結(jié)合韋達定理得線段的中點的坐標為，故，再結(jié)合得，代入即可得答案.
【詳解】（1）解：設橢圓的標準方程為，
因為橢圓經(jīng)過點，所以，
因為橢圓上一點到兩焦點距離之和為，所以，
所以，
所以橢圓的標準的方程為.
（2）解：由題知直線的斜率都存在，設直線的斜率為，
則由知直線的斜率為，
所以直線的方程為，
代入橢圓方程得：，
因為是該方程的解，所以點的橫坐標為，
將上述的用代替，即得到點的橫坐標，
因為，所以，解得，
所以直線的方程為
（3）解：橢圓的右焦點坐標為，
設直線的方程為，代入橢圓方程得，
設點的坐標分別為，則，
所以
所以
所以線段的中點的坐標為，
所以
又因為，所以，
所以，
所以，兩邊平方得，解得，
所以，即
52．(1)取時，恒等于，數(shù)列是準常數(shù)數(shù)列；
(2)答案見解析；
(3).

【分析】（1）將代入已知條件，即可求出；
（2）根據(jù)已知條件，對進行分類討論，分別寫出答案即可；
（3）由和分別求出，，…，，，，…，
，的值，將前項放在一起，后項中，從項起,每相鄰兩項的和為定值，這樣即可求解.
（1）
由得，，
當時，恒等于，數(shù)列是準常數(shù)數(shù)列，取即可；
（2）
∵，
∴時，,
而當時，若存在，當時，，則必有，
若時，則，，此時只需，，
故存在，，取（取大于等于1的正整數(shù)也可以），數(shù)列是準常數(shù)數(shù)列.
若，不妨設，，則，
，若，則，
所以或，取，當時，（，取大于等于的皆可）
若，不妨設，，則，
所以，，，…，，
所以,若，則或，
取，當，（ ，取大于等于的皆可以）
存在和：，，；，；，
（其中,），（為某個整數(shù)加上時，數(shù)列是準常數(shù)數(shù)列）.
（3）
∵,且，
∴，，…，，
，，，
，…，，.
所以



.
53．(1)證明見解析
(2)

【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；
(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式求解出數(shù)列的通項公式，再利用分組求和即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）證明：∵，∴，
∵，對一切正整數(shù)成立，∴，
即． ∴數(shù)列{}是以為首項，4為公比的等比數(shù)列．
（2）由(1)知，，
∴
,
當n=1時，滿足上式，
綜上所述，.
設數(shù)列的前項之和為，則=．
54．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用數(shù)量積、二倍角公式和輔助角公式化簡得到，然后求最小正周期即可；
（2）利用換元法和三角函數(shù)單調(diào)性求值域即可；
（3）利用余弦定理得到，然后利用三角形面積公式求面積即可.
【詳解】（1），
所以，
最小正周期為.
（2）設，，，
在上嚴格增，在上嚴格減，，，，所以=的值域為．
（3），即，
因為為三角形內(nèi)角，所以．
，即，解得.
所以△的面積為.
55．(1)證明見解析；
(2)．

【分析】（1）取的中點，連，，證明，，得到面，從而證明，然后可得面；
（2）作交于，則，然后以點為原點建立空間直角坐標系，然后利用向量求解即可.
【詳解】（1）
由題意，可得，，則，
取BC的中點F，連OF，，可得，所以，
因為，，且，所以平面，
又因為平面，所以．
又由BC與AE為相交直線，所以平面．
（2）
作交于，則
如圖建立空間直角坐標系，
則，
設平面的法向量為，則，所以可取，
所以與面所成角的正弦值.
56．(1)證明見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）由離心率，將，均用表示，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得點坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)橢圓的對稱性，求出點的坐標，再證出中點在直線上即可；
（2）設，和，用線段定比分點坐標公式將，坐標表示出來，并代入 ，結(jié)合的橫坐標為和，在橢圓上，進行運算證明即可.
【詳解】（1）由題意，，則，，∴，
∴橢圓方程為，即，
∴直線的斜率，直線的方程為，
聯(lián)立消去，化簡得，解得，，
即點的橫坐標為，代入直線的方程，得，
∴直線的斜率，直線的方程為，
∵，∴由橢圓的對稱性知，
又∵，∴線段AC的中點坐標為，
∵，∴線段AC的中點在直線：上，
即直線平分線段.
（2）設過點的直線與橢圓交于兩個不同點的坐標為，，
∵，在橢圓上，∴，
∵，∴設，易知，且，
則由已知，有，，
∴由線段定比分點坐標公式，有，，
∵點的橫坐標為常數(shù)（），
∴，
又∵點在直線：上，∴，∴，
將代入，得





，
即點在直線上.
【點睛】本題的兩問證明，實質(zhì)上都是證明點在直線上，第（1）問證明中點在直線上，即可證明直線平分線段，第（2）問設，由線段定比分點坐標公式求得的坐標，即可結(jié)合，，的坐標，證明點在直線上.
57．(1)
(2)答案見解析
(3)

【分析】（1）根據(jù)是函數(shù)的駐點得到，然后列方程求即可；
（2）求導，分、和三種情況討論單調(diào)性即可；
（3）將存在，使得不等式成立轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性求最值即可.
【詳解】（1）若是函數(shù)的駐點，則，可得，即得．
（2）函數(shù)的定義域為，
，
當時，令，可得或，
①當，即時，對任意的，，
此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
②當，即時，
令，得或，
令，得，
此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
③當，即時，令，得或；令，得，
此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）由，可得，即，其中，
令，，若存在，使得不等式成立，則，，，令，得，
當時，，當時，，
∴函數(shù)在上嚴格遞增，在上嚴格遞減，
∴函數(shù)在端點或處取得最小值．
∵，∴，
∴，∴，
因此，實數(shù)的取值范圍是
【點睛】對于存在問題，常用到以下兩個結(jié)論：
（1）存在；
（2）存在.
58． 五
【分析】根據(jù)坐標平面對稱先求出的坐標，根據(jù)卦限在空間中的位置可以得出結(jié)果；
利用空間坐標直接求出夾角的余弦值即可得出答案.
【詳解】點關(guān)于坐標平面的對稱點為，根據(jù)卦限在空間中的位置，所以點在第五卦限.
由已知可得，，所以
故答案為：五；