第4講　萬有引力與天體運(yùn)動題型1　開普勒定律和萬有引力的理解與應(yīng)用1.對開普勒定律的理解(1)開普勒第三定律=k中,k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體k值不同。(2)對于勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)G=mr,得=k=,可視為開普勒第三定律的特例。2.萬有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn。(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。(2)在兩極上:G=mg2。3.星體表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn)):mg=G,得g=。(2)在地球上空距離地心r=R+h處的重力加速度為g′,mg′=,得g′=,所以=。[例1] (2022·嘉興選考模擬)如圖所示,地球的公轉(zhuǎn)軌道接近于圓,哈雷彗星的繞日公轉(zhuǎn)軌道則是一個非常扁的橢圓。下列說法錯誤的是(　A　)A.哈雷彗星與地球的公轉(zhuǎn)周期可能相等B.哈雷彗星在近日點(diǎn)的速度一定大于地球的公轉(zhuǎn)速度C.經(jīng)過兩公轉(zhuǎn)軌道的交點(diǎn)時,哈雷彗星與地球的加速度一定相同D.哈雷彗星從近日點(diǎn)運(yùn)動至遠(yuǎn)日點(diǎn)的過程中動能減少,勢能增加,機(jī)械能守恒解析:由于哈雷彗星的軌道半長軸與地球的軌道半長軸不相等,由開普勒第三定律=k可得哈雷彗星與地球的公轉(zhuǎn)周期不可能相等,故A錯誤;哈雷彗星的軌道在近日點(diǎn)的曲率半徑比地球的公轉(zhuǎn)半徑小,根據(jù)萬有引力提供向心力可得哈雷彗星在近日點(diǎn)的速度一定大于地球的公轉(zhuǎn)速度,故B正確;根據(jù)=ma可知經(jīng)過兩公轉(zhuǎn)軌道的交點(diǎn)時,哈雷彗星與地球的加速度一定相同,故C正確;根據(jù)開普勒第二定律可知,哈雷彗星從近日點(diǎn)運(yùn)動至遠(yuǎn)日點(diǎn)的過程中動能減少,遠(yuǎn)離太陽,勢能增加,但是運(yùn)動過程只有萬有引力做功,所以機(jī)械能守恒,故D正確。[拓展訓(xùn)練1] (2022·湖州選考模擬)2022年元旦,“天問一號”探測器從遙遠(yuǎn)的火星傳回了探測器與火星的合影。假設(shè)火星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑是地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動軌道半徑的k倍,地球繞太陽運(yùn)動的周期為T,火星探測器被發(fā)射到以地球軌道上的A點(diǎn)為近日點(diǎn)、火星軌道上的B點(diǎn)為遠(yuǎn)日點(diǎn)的橢圓軌道上繞太陽運(yùn)行時(如圖),只考慮太陽對探測器的作用,則探測器沿橢圓軌道從A到B的飛行時間為(　B　)A. B.C.    D.解析:設(shè)地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為R,則火星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為kR,由題圖可知橢圓軌道的半長軸為a=。設(shè)探測器沿橢圓軌道運(yùn)行的周期為T1,根據(jù)開普勒第三定律可知=,整理可得T1=()T=T,則探測器沿橢圓軌道從A到B的飛行時間為t==,故選B。題型2　天體質(zhì)量和密度的計算1.自力更生法:利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由G=mg,得天體質(zhì)量M=。(2)天體密度ρ===。2.借助外援法:測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T。(1)由G=m得天體的質(zhì)量M=。(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度ρ===。(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時,可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=,可見,只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T,就可估算出中心天體的密度。[例2] (多選)一宇航員在地球表面和某未知星球的表面上分別做高度和初速度相同的平拋運(yùn)動實驗:在離地面h高處讓小球以v0的初速度水平拋出,他測出在地球上小球落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)的水平距離為2x,在未知星球上小球落地點(diǎn)與拋出點(diǎn)的水平距離為x,已知地球的半徑為R,未知星球的半徑為2R,引力常量為G,則(　BC　)A.地球表面的重力加速度是未知星球表面重力加速度的4倍B.未知星球的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2 倍C.未知星球的質(zhì)量約為D.未知星球的密度約為 解析:小球在地球上做平拋運(yùn)動,在水平方向上有2x=v0t,解得從拋出到落地時間為t=,小球做平拋運(yùn)動時,在豎直方向上有h=gt2,解得地球表面的重力加速度為g=,同理,可得未知星球表面的重力加速度為g星==4g,故A錯誤;根據(jù)=mg可得v=,未知星球的第一宇宙速度v星==,地球的第一宇宙速度v==,則未知星球的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2倍,故B正確;設(shè)未知星球的質(zhì)量為M星,靜止在未知星球上的物體質(zhì)量為m,由萬有引力等于物體的重力得=mg星,可得未知星球的質(zhì)量約為M星=,故C正確;根據(jù)ρ=可得未知星球的密度ρ=,故D錯誤。[拓展訓(xùn)練2] (多選)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)“最圓球狀天體”Kepler 11145123距地球5 000光年,它是一顆熾熱明亮的恒星,體積是太陽的兩倍,自轉(zhuǎn)速度是太陽的。假設(shè)某行星P繞恒星Kepler 11145123做圓周運(yùn)動,天文觀測其運(yùn)動的周期為T,軌道半徑為r,已知引力常量為G,則下列說法正確的是(　AB　)A.恒星Kepler 11145123的質(zhì)量為B.恒星Kepler 11145123的密度可能大于C.行星P的速度大小為D.行星P運(yùn)動的向心加速度大小為解析:設(shè)恒星Kepler 11145123的質(zhì)量為M,半徑為R,萬有引力提供向心力,則G=m()2r,得M=,體積V=πR3,則密度ρ==,由于r≥R,恒星Kepler 11145123的密度一定不小于,選項A、B正確;行星P的速度大小為v=,選項C錯誤;行星P運(yùn)動的向心加速度大小a=,得a=,選項D錯誤。題型3　天體運(yùn)行參量的比較1.人造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律(1)一種模型:無論自然天體(如地球、月球)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看作質(zhì)點(diǎn),圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運(yùn)動。(2)兩條思路。①萬有引力提供向心力,即G=ma。②天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力,即=mg或gR2=GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度),公式gR2=GM應(yīng)用廣泛,被稱為“黃金代換”。2.衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律規(guī)
律[例3] (2022·杭州二模)2021年10月16日,神舟十三號載人飛船與我國太空站天和核心艙完成自主對接。若對接前神舟十三號在較低圓軌道上運(yùn)行,天和核心艙在較高圓軌道上運(yùn)行,則(　B　)A.神舟十三號運(yùn)行的周期比天和核心艙的大B.神舟十三號運(yùn)行的線速度比天和核心艙的大C.神舟十三號運(yùn)行的角速度比天和核心艙的小D.神舟十三號所受的向心力比天和核心艙的大解析:由題意知神舟十三號的軌道半徑小于天和核心艙的軌道半徑,根據(jù)Fn=G=m=mω2r=mr,可得T=2π,v=,ω=,所以神舟十三號運(yùn)行的周期比天和核心艙的小,神舟十三號運(yùn)行的線速度比天和核心艙的大,神舟十三號運(yùn)行的角速度比天和核心艙的大,故B正確,A、C錯誤;由于神舟十三號的質(zhì)量和天和核心艙的質(zhì)量未知,所以無法比較向心力大小,故D錯誤。[拓展訓(xùn)練3] (2022·義烏二模)某衛(wèi)星在距地球表面某高度處繞地球做勻速圓周運(yùn)動,測得飛行N圈所用時間為t,已知地球表面的重力加速度為g0,地球可視為均勻球體,其半徑為R,引力常量為G,下列說法正確的是(　B　)A.衛(wèi)星的線速度大小為B.衛(wèi)星距地球表面的高度為h=-RC.地球的第一宇宙速度大小為D.地球的平均密度為解析:設(shè)地球的質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)量為m,衛(wèi)星在距地球表面高h(yuǎn)處繞地球做勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)萬有引力提供向心力=m(R+h),又有=m′g0,T=,聯(lián)立解得h=-R,故B正確;衛(wèi)星的線速度大小為v===,故A錯誤;設(shè)地球的第一宇宙速度大小為v0,根據(jù)題意有m′g0=m′,解得地球的第一宇宙速度大小為v0=,故C錯誤;根據(jù)=m′g0解得M=,又有V=πR3,聯(lián)立解得地球的平均密度為ρ==,故D錯誤。題型4　衛(wèi)星發(fā)射、變軌、追及問題1.衛(wèi)星變軌問題的實質(zhì)兩類變軌離心運(yùn)動近心運(yùn)動變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小受力分析G<mG>m 續(xù)　表兩類變軌離心運(yùn)動近心運(yùn)動變軌結(jié)果變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動或在較大半徑圓軌道上運(yùn)動,在新的軌道上運(yùn)行速度將減小,重力勢能、機(jī)械能均增大變?yōu)闄E圓軌道運(yùn)動或在較小半徑圓軌道上運(yùn)動,在新的軌道上運(yùn)行速度將增大,重力勢能、機(jī)械能均減小軌道相切點(diǎn)衛(wèi)星經(jīng)過兩個軌道的相切點(diǎn),加速度相等,外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度2.若某中心天體有兩顆軌道共面的環(huán)繞天體,當(dāng)兩環(huán)繞天體與中心天體在同一直線上,且位于中心天體同一側(cè)時相距最近;當(dāng)兩環(huán)繞天體與中心天體在同一直線上,且位于中心天體異側(cè)時相距最遠(yuǎn)。如兩環(huán)繞天體某時刻相距最近,則:(1)若經(jīng)過時間t,兩環(huán)繞天體與中心天體連線半徑轉(zhuǎn)過的角度相差2π的整數(shù)倍,則兩環(huán)繞天體相距最近。(2)若經(jīng)過時間t,兩環(huán)繞天體與中心天體連線半徑轉(zhuǎn)過的角度相差π的奇數(shù)倍,則兩環(huán)繞天體相距最遠(yuǎn)。[例4] (2022·名校協(xié)作體模擬)神舟十三號載人飛船順利將3名航天員送入空間站。飛船的某段運(yùn)動可近似為如圖所示的情境,圓形軌道Ⅰ為空間站運(yùn)行軌道,設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為r,地球表面重力加速度為g,地球半徑為R,地球的自轉(zhuǎn)周期為T,橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運(yùn)行軌道,兩軌道相切于A點(diǎn),橢圓軌道Ⅱ的半長軸為a,下列說法正確的是(　D　)A.載人飛船若要進(jìn)入軌道Ⅰ,需要在A點(diǎn)減速B.根據(jù)題中信息,可求出地球的質(zhì)量M=C.載人飛船在軌道Ⅰ上的機(jī)械能小于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能D.空間站在圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期與載人飛船在橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期之比為∶解析:載人飛船若要進(jìn)入軌道Ⅰ,做離心運(yùn)動,需要在A點(diǎn)加速,A錯誤;設(shè)T1為空間站的運(yùn)行周期,由此可得G=,解得M=,題中T為地球自轉(zhuǎn)的周期,并非空間站在軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期,不能利用該數(shù)據(jù)計算地球質(zhì)量,B錯誤;載人飛船若要進(jìn)入軌道Ⅰ,需要在A點(diǎn)加速,動能增加,機(jī)械能增加,因此載人飛船在軌道Ⅰ上的機(jī)械能大于在軌道Ⅱ上的機(jī)械能,C錯誤;設(shè)飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期為T2,根據(jù)開普勒第三定律得=,解得T1∶T2=∶,D正確。[拓展訓(xùn)練4] (多選)已知地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,衛(wèi)星繞地球運(yùn)動軌道為圓軌道,在某時刻地球的兩顆衛(wèi)星A和B處于如圖所示的位置,設(shè)衛(wèi)星A的軌道半徑為rA=2R,衛(wèi)星B的軌道半徑為rB=3R,已知(3+2)≈5,則下列說法正確的是(　AC　)A.兩衛(wèi)星的環(huán)繞速度之比=B.開始時,衛(wèi)星A在B的前面,只要B加速即可追上AC.從此時刻開始再經(jīng)大約5π時間再次相距最近D.從此時刻開始再經(jīng)大約π時間第一次相距最遠(yuǎn)解析:根據(jù)G=m解得v=,故兩衛(wèi)星的環(huán)繞速度之比為=,A正確;開始時衛(wèi)星A在B的前面,但是B只要加速,就會做離心運(yùn)動增加其運(yùn)動軌道的半徑,增加其運(yùn)動周期,不可能追上衛(wèi)星A,B錯誤;對衛(wèi)星A,由牛頓第二定律可得G=m()2rA,G=m′g,聯(lián)立解得TA=4π,同理,可得TB=6π,從此時刻開始到下次相遇衛(wèi)星A比衛(wèi)星B多轉(zhuǎn)一圈,即多轉(zhuǎn)2π,所以(ωA-ωB)t=(-)t=2π,解得t=(3+2)π≈5π,C正確;兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(ωA-ωB)t′=(-)t′=π,解得t′≈π,D錯誤。題型5　雙星及多星問題1.模型概述在天體運(yùn)動中,將兩顆彼此相距較近,且在相互之間萬有引力作用下繞二者連線上的某點(diǎn)做角速度、周期相同的勻速圓周運(yùn)動的星體稱為雙星。2.模型特點(diǎn)(1)“向心力等大反向”——兩顆星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由它們之間的萬有引力提供。(2)“周期、角速度相等”——兩顆星做勻速圓周運(yùn)動的周期、角速度相等。(3)三個反比關(guān)系:m1r1=m2r2;m1v1=m2v2;m1a1=m2a2。推導(dǎo):根據(jù)兩星體的向心力大小相等可得,m1ω2r1=m2ω2r2,即m1r1=m2r2;等式m1r1=m2r2兩邊同乘以角速度ω,得m1r1ω=m2r2ω,即m1v1=m2v2;由m1ω2r1=m2ω2r2直接可得,m1a1=m2a2。(4)求質(zhì)量和:=m1ω2r1,即=ω2r1①,=m2ω2r2,即=ω2r2②,由①+②得=ω2L,所以m1+m2=。[例5] (2022·寧波選考模擬)如圖所示,恒星A、B構(gòu)成的雙星系統(tǒng)繞點(diǎn)O做順時針方向的勻速圓周運(yùn)動,運(yùn)動周期為T1,它們的軌道半徑分別為RA、RB,RA<RB。C為B的行星,繞B做逆時針方向的勻速圓周運(yùn)動,周期為T2,忽略A與C之間的引力,且A與B之間的引力遠(yuǎn)大于C與B之間的引力。引力常量為G,則以下說法正確的是(　D　)A.若知道C的軌道半徑,則可求出C的質(zhì)量B.恒星B的質(zhì)量為MB=C.若A也有一顆運(yùn)動周期為T2的行星,則其軌道半徑一定小于C的軌道半徑D.設(shè)A、B、C三星由圖示位置到再次共線的時間為t,則t=解析:在知道C的軌道半徑和周期的情況下,根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列方程只能求解B的質(zhì)量,無法求解C的質(zhì)量,故A錯誤;在A、B組成的雙星系統(tǒng)中,對A根據(jù)牛頓第二定律有G=MA()2RA,解得MB=,故B錯誤;若A也有一顆運(yùn)動周期為T2的行星,設(shè)行星的質(zhì)量為m,軌道半徑為r,則根據(jù)牛頓第二定律G=m()2r,解得r=,同理可得C的軌道半徑為RC=,對A、B組成的雙星系統(tǒng)有MA()2RA=MB()2RB,因為RA<RB,所以MA>MB,則r>RC,故C錯誤;如圖所示,A、B、C三星由圖示位置到再次共線時,A、B轉(zhuǎn)過的圓心角θ1與C轉(zhuǎn)過的圓心角θ2互補(bǔ),則t+t=π,解得t=,故D正確。[拓展訓(xùn)練5] 天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時,發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng),如圖所示,它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成,兩星視為質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別為mA和mB。不考慮其他天體的影響,A、B圍繞二者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,它們之間的距離保持不變,引力常量為G,下列說法錯誤的是(　D　)A.A和B兩行星的角速度相同B.可見星A和暗星B的半徑大小與其質(zhì)量有關(guān)C.暗星B的速率vB與可見星A速率vA的比值為mA∶mBD.可見星A和暗星B的線速度大小相等,方向相反解析:由雙星系統(tǒng)特點(diǎn)可知,二者角速度相同,故A正確;因為二者之間的萬有引力提供它們的向心力,即G=mArAω2=mBrBω2,所以=,故B正確;因為雙星系統(tǒng)可看成兩星繞同一點(diǎn)同軸轉(zhuǎn)動模型,故線速度滿足v=ωr,所以==,故C正確,D錯誤。[拓展訓(xùn)練6] (多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他星體較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m,半徑均為R,四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點(diǎn)上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng),下列說法正確的是(　AD　)A.四顆星圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動B.四顆星的軌道半徑為aC.四顆星表面的重力加速度均為D.四顆星的周期均為2πa解析:某一星體在其他三個星體的引力作用下,合力方向指向?qū)蔷€的交點(diǎn),圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,故A正確;根據(jù)對稱性可知,四顆星繞正方形的中心做勻速圓周運(yùn)動,由幾何關(guān)系可知四顆星的軌道半徑為a,故B錯誤;根據(jù)萬有引力大小等于重力大小,即=m′g星,解得g星=,故C錯誤;某一星體在其他三個星體的引力作用下圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,由萬有引力提供向心力得+cos 45°=m·a,解得T=2πa,故D正確。專題訓(xùn)練4　萬有引力與天體運(yùn)動保分基礎(chǔ)練1.嫦娥五號探測器是我國首個實施月面采樣返回的航天器,由軌道器、返回器、著陸器和上升器等多個部分組成。為等待月面采集的樣品,軌道器與返回器的組合體環(huán)月做圓周運(yùn)動。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,地球質(zhì)量m1=6.0×1024 kg,月球質(zhì)量m2=7.3×1022 kg,月地距離r1=3.8×105 km,月球半徑r2=1.7×103 km。當(dāng)軌道器與返回器的組合體在月球表面上方約200 km處做環(huán)月勻速圓周運(yùn)動時,其環(huán)繞速度約為(　C　)A.16 m/s B.1.1×102 m/sC.1.6×103  m/s D.1.4×104 m/s解析:根據(jù)萬有引力提供向心力G=m可知v==m/s≈1.6×103 m/s,選項C正確。2.宇宙中半徑均為R0的兩顆恒星S1、S2,相距無限遠(yuǎn)。若干行星分別環(huán)繞恒星S1、S2運(yùn)動的公轉(zhuǎn)周期平方T2與公轉(zhuǎn)半徑立方r3的規(guī)律如圖所示。不考慮兩恒星的自轉(zhuǎn)。則(　C　)A.S1的質(zhì)量小于S2的質(zhì)量B.S1的密度等于S2的密度C.S1表面的環(huán)繞速度大于S2表面的環(huán)繞速度D.S1表面的重力加速度小于S2表面的重力加速度解析:根據(jù)萬有引力提供向心力有G=mr,得M=·,根據(jù)圖像可知S1的比較大,所以恒星S1的質(zhì)量大于恒星S2的質(zhì)量,故A錯誤;由題可知,兩星球的半徑相等,則體積相等,根據(jù)ρ=可得S1的密度大于S2的密度,故B錯誤;根據(jù)G=m,可得v=,可知S1表面的環(huán)繞速度大于S2表面的環(huán)繞速度,故C正確;根據(jù)G=mg,可得g=,可知S1表面的重力加速度大于S2表面的重力加速度,故D錯誤。3.(2022·嘉興選考模擬)如圖所示,a為在地球赤道表面隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體,b為繞地球做勻速圓周運(yùn)動的近地衛(wèi)星,軌道半徑可近似為地球半徑。假設(shè)a與b質(zhì)量相同,地球可看作質(zhì)量分布均勻的球體,比較物體a和衛(wèi)星b(　D　)A.角速度大小近似相等B.線速度大小近似相等C.向心加速度大小近似相等D.所受地球引力大小近似相等解析:由=m可得v=,近地衛(wèi)星的半徑小于同步衛(wèi)星,則近地衛(wèi)星的線速度大于同步衛(wèi)星;同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,半徑大于地球半徑,同步衛(wèi)星線速度大于a的線速度,則近地衛(wèi)星線速度大于a的線速度,故B錯誤;近地衛(wèi)星線速度大于a的線速度,半徑近似相等,由ω=,可知近地衛(wèi)星角速度大于a的角速度,故A錯誤;近地衛(wèi)星線速度大于a的線速度,半徑近似相等,由an=,可知近地衛(wèi)星向心加速度大小大于a的向心加速度大小,故C錯誤;由萬有引力公式得F=,a與b質(zhì)量相同,半徑近似相等,a與b所受地球引力大小近似相等,故D正確。4.如圖所示,假設(shè)“天宮二號”空間實驗室與“神舟十一號”飛船都圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動,為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接,下列措施可行的是(　C　)A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運(yùn)行,然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運(yùn)行,然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速,加速后飛船逐漸靠近空間實驗室,二者速度接近時實現(xiàn)對接D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速,減速后飛船逐漸靠近空間實驗室,二者速度接近時實現(xiàn)對接解析:為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接,可使飛船在較低的軌道上加速做離心運(yùn)動,逐漸靠近空間實驗室,在二者速度接近時實現(xiàn)對接,選項C正確。5.開普勒通過對第谷的多年觀測數(shù)據(jù)的研究,發(fā)現(xiàn)了行星圍繞太陽運(yùn)動的規(guī)律,后人稱之為開普勒定律。根據(jù)開普勒定律,可判斷以下說法正確的是(　D　)A.地球圍繞太陽做勻速圓周運(yùn)動,太陽位于圓軌道的圓心B.火星圍繞太陽做橢圓運(yùn)動時,離太陽近時速度小,離太陽遠(yuǎn)時速度大C.木星圍繞太陽的運(yùn)動軌跡是橢圓,太陽位于橢圓的中心D.行星圍繞太陽做橢圓運(yùn)動的半長軸越長,繞著太陽運(yùn)動一周所需的時間也越長解析:地球圍繞太陽運(yùn)動的軌跡是橢圓,太陽處于橢圓的一個焦點(diǎn)上,故A錯誤;根據(jù)開普勒第二定律,火星圍繞太陽做橢圓運(yùn)動時,距離太陽越近,其運(yùn)動速度越大,距離太陽越遠(yuǎn),其運(yùn)動速度越小,故B錯誤;木星圍繞太陽的運(yùn)動軌跡是橢圓,太陽位于橢圓的一個焦點(diǎn)上,故C錯誤;根據(jù)開普勒第三定律,行星圍繞太陽運(yùn)動軌道的半長軸的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等,所以行星圍繞太陽做橢圓運(yùn)動的半長軸越長,繞著太陽運(yùn)動一周所需的時間也越長,故D正確。6.現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的衛(wèi)星B在距離它的中心行星A表面高h(yuǎn)處的圓軌道上運(yùn)行,已知中心行星半徑為R,設(shè)其等效表面重力加速度為g,引力常量為G,只考慮中心行星對這顆衛(wèi)星的作用力,不計其他物體對這顆衛(wèi)星的作用力。下列說法正確的是(　B　)A.中心行星A的等效質(zhì)量M=B.衛(wèi)星B繞它的中心行星A運(yùn)行的周期 T=C.衛(wèi)星B的速度大小為v=D.衛(wèi)星B的等效質(zhì)量m=解析:繞中心行星表面做圓周運(yùn)動的物體,由萬有引力提供做圓周運(yùn)動的向心力得G=m′g,可得M=,故A錯誤;根據(jù)萬有引力提供做圓周運(yùn)動的向心力得 G=m()2r,r=R+h,解得T=,故B正確;根據(jù)萬有引力提供做圓周運(yùn)動的向心力得 G=m,r=R+h,解得v=,故C錯誤;衛(wèi)星B是中心行星A的環(huán)繞衛(wèi)星,質(zhì)量不可求,故D錯誤。7.(2022·強(qiáng)基聯(lián)盟選考模擬)2021年5月15日火星探測器“天問一號”成功在火星表面著陸,如圖為“天問一號”降低軌道示意圖,由橢圓軌道1、橢圓軌道2、圓軌道3、最終經(jīng)過軌道4落在火星表面附近,最后啟動主發(fā)動機(jī)進(jìn)行反沖,穩(wěn)穩(wěn)地落在火星表面,P點(diǎn)是它們的內(nèi)切點(diǎn)。關(guān)于探測器的上述運(yùn)動過程,下列說法正確的是(　C　)A.探測器在軌道1和軌道2上運(yùn)動時的機(jī)械能相等B.探測器在軌道2上由Q點(diǎn)向P點(diǎn)運(yùn)動的過程中速度增大,機(jī)械能減小C.探測器在軌道1上運(yùn)行經(jīng)過P點(diǎn)的速度大于在軌道2上運(yùn)行經(jīng)過P點(diǎn)的速度D.軌道4可以看作平拋運(yùn)動的軌跡解析:探測器由軌道1變到軌道2需要在P點(diǎn)點(diǎn)火減速,故機(jī)械能減小,所以探測器在軌道1和軌道2上運(yùn)動時的機(jī)械能不相等,故C正確,A錯誤;探測器在同一軌道運(yùn)行,機(jī)械能不變,探測器在軌道2上由Q點(diǎn)向P點(diǎn)運(yùn)動的過程中速度增大,動能增大,勢能減小,機(jī)械能不變,故B錯誤;探測器經(jīng)軌道4落到地面是在做近心運(yùn)動,平拋運(yùn)動的加速度不發(fā)生改變,由a=G,可得在降落過程中加速度不斷增大,故不能看成平拋運(yùn)動的軌跡,故D錯誤。8.(2022·浙江1月選考)“天問一號”從地球發(fā)射后,在如圖甲所示的P點(diǎn)沿地火轉(zhuǎn)移軌道到Q點(diǎn),再依次進(jìn)入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道,則天問一號(　C　)A.發(fā)射速度介于7.9 km/s與11.2 km/s之間B.從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到Q點(diǎn)的時間小于6個月C.在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上小D.在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動時的速度均大于地球繞太陽的速度解析:因發(fā)射的“天問一號”要變軌到繞太陽運(yùn)動,則發(fā)射速度要大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度,即發(fā)射速度介于11.2 km/s與16.7 km/s之間,選項A錯誤;由題圖可知地火轉(zhuǎn)移軌道的半長軸長度比地球公轉(zhuǎn)軌道半徑長,根據(jù)開普勒第三定律可知,其周期大于地球公轉(zhuǎn)周期(1年共12個月),則從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到Q點(diǎn)的時間為軌道周期的一半,時間大于6個月,選項B錯誤;同理,根據(jù)開普勒第三定律可知“天問一號”在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上小,選項C正確;“天問一號”在P處點(diǎn)火加速,做離心運(yùn)動,速度比地球環(huán)繞太陽速度大,但在到達(dá)Q處之后,要加速進(jìn)入火星軌道,又因地球繞太陽的速度大于火星繞太陽的速度,因此“天問一號”在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動時的速度并不是都大于地球繞太陽的速度,選項D錯誤。9.如圖所示,“天舟一號”貨運(yùn)飛船與“天宮二號”空間實驗室對接,對接后飛行軌道高度與“天宮二號”原軌道高度相同。已知引力常量為G,地球半徑為R。對接前“天宮二號”的軌道半徑為r、運(yùn)行周期為T。由此可知(　C　)A.“天舟一號”貨運(yùn)飛船是從與“天宮二號”空間實驗室同一高度軌道上加速追上“天宮二號”完成對接的B.地球的質(zhì)量為C.對接后,“天舟一號”與“天宮二號”組合體的運(yùn)行周期等于TD.地球的第一宇宙速度為解析:根據(jù)=m,當(dāng)“天舟一號”加速時,所需向心力大于萬有引力,“天舟一號”做離心運(yùn)動,則“天舟一號”貨運(yùn)飛船是從比“天宮二號”空間實驗室軌道低的軌道上加速追上“天宮二號”完成對接的,故A錯誤;根據(jù)萬有引力提供向心力=mr可得M=,故B錯誤;根據(jù)=mr,解得T=,對接后飛行軌道高度與“天宮二號”原軌道高度相同,則對接后,“天舟一號”與“天宮二號”組合體的運(yùn)行周期仍等于T,故C正確;根據(jù)=m,可得v=,把M=代入解得v=,故D錯誤。高分強(qiáng)化練10.(多選)設(shè)想航天員隨飛船繞火星飛行,飛船貼近火星表面時的運(yùn)動可視為繞火星做勻速圓周運(yùn)動。若航天員測得飛船在靠近火星表面的圓形軌道繞行n圈的時間為t,飛船在火星上著陸后,航天員用彈簧測力計測得質(zhì)量為m的物體受到的重力大小為F,引力常量為G,將火星看成一個球體,不考慮火星的自轉(zhuǎn),則下列說法正確的是(　AC　)A.火星的半徑為B.火星的質(zhì)量為C.飛船貼近火星表面做圓周運(yùn)動的線速度大小為D.火星的平均密度為解析:飛船繞在靠近火星表面的圓形軌道飛行的周期T=,根據(jù)萬有引力提供向心力得G=m′R,在火星表面滿足G=mg,且F=mg,聯(lián)立可得火星的半徑R=,火星的質(zhì)量為M=,故A正確,B錯誤;根據(jù)線速度公式v=,得飛船貼近火星表面做圓周運(yùn)動的線速度大小為v=,故C正確;火星的平均密度ρ=,其中V=,解得ρ==,故D錯誤。11.2020年7月23日,我國首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器,在中國文昌航天發(fā)射場,應(yīng)用長征五號運(yùn)載火箭送入地火轉(zhuǎn)移軌道?；鹦蔷嚯x地球最遠(yuǎn)時有4億千米,最近時大約0.55億千米。由于距離遙遠(yuǎn),地球與火星之間的信號傳輸會有長時間的時延。當(dāng)火星離我們最遠(yuǎn)時,從地球發(fā)出一個指令,約22 min才能到達(dá)火星。為了節(jié)省燃料,我們要等火星與地球之間相對位置合適的時候發(fā)射探測器。受天體運(yùn)行規(guī)律的影響,這樣的發(fā)射機(jī)會很少。為簡化計算,已知火星的公轉(zhuǎn)周期約是地球公轉(zhuǎn)周期的1.9倍,認(rèn)為地球和火星在同一平面上、沿同一方向繞太陽做勻速圓周運(yùn)動,如圖所示。根據(jù)上述材料,結(jié)合所學(xué)知識,判斷下列說法正確的是(　A　)A.當(dāng)探測器加速后剛離開A處的加速度與速度均比火星在軌時的要大B.當(dāng)火星離地球最近時,地球上發(fā)出的指令需要約10 min到達(dá)火星C.如果火星運(yùn)動到B點(diǎn)時,地球恰好在A點(diǎn),此時發(fā)射探測器,那么探測器沿軌跡AC運(yùn)動到C點(diǎn)時,恰好與火星相遇D.下一個發(fā)射時機(jī)需要再等約2.7年解析:當(dāng)探測器加速后剛離開A處,根據(jù)萬有引力提供向心力可知G=ma,解得a=G,探測器在A處距太陽距離較小,則加速度較大,探測器在A處做圓周運(yùn)動的線速度v=,探測器在A處做圓周運(yùn)動的線速度比火星在軌的線速度大,探測器加速后剛離開A處速度比探測器在A處做圓周運(yùn)動的線速度大,因此當(dāng)探測器加速后剛離開A處的加速度與速度均比火星在軌時的要大,A正確;火星距離地球最遠(yuǎn)時有4億千米,從地球發(fā)出一個指令,約22 min才能到達(dá)火星,最近時大約0.55億千米,因為指令傳播速度相同,則時間為t= min=3.025 min,B錯誤;根據(jù)開普勒第三定律可知,火星與探測器的公轉(zhuǎn)周期不相同,因此探測器與火星不能在C點(diǎn)相遇,C錯誤;地球的公轉(zhuǎn)周期為1年,火星的公轉(zhuǎn)周期約是地球公轉(zhuǎn)周期的1.9倍,二者的角速度之差為Δω=-=,則地球再一次追上火星的用時為t=≈2.1年,D錯誤。12.(2022·溫州二模)如圖所示,北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由地球同步靜止軌道衛(wèi)星a、與地球自轉(zhuǎn)周期相同的傾斜地球同步軌道衛(wèi)星b,以及比它們軌道低一些的中軌道衛(wèi)星c組成,它們均為圓軌道衛(wèi)星。若某中軌道衛(wèi)星與地球同步靜止軌道衛(wèi)星運(yùn)動軌跡在同一平面內(nèi),下列說法正確的是(　D　)A.衛(wèi)星b運(yùn)行的線速度大于衛(wèi)星c的線速度B.衛(wèi)星a與衛(wèi)星b一定具有相同的機(jī)械能C.可以發(fā)射一顆地球同步靜止軌道衛(wèi)星,每天同一時間經(jīng)過溫州上空同一位置D.若衛(wèi)星b與衛(wèi)星c的周期之比為3∶1,某時刻二者相距最近,則約12 h后,二者再次相距最近解析:由牛頓第二定律得=,得v=,因衛(wèi)星b運(yùn)行的軌道半徑大于衛(wèi)星c的軌道半徑,衛(wèi)星b運(yùn)行的線速度小于衛(wèi)星c的線速度,A錯誤;機(jī)械能包括衛(wèi)星的動能和勢能,而二者與衛(wèi)星的質(zhì)量有關(guān),衛(wèi)星a與衛(wèi)星b的質(zhì)量不一定相同,故衛(wèi)星a與衛(wèi)星b不一定具有相同的機(jī)械能,B錯誤;地球同步靜止軌道衛(wèi)星必須與地球同步,具有固定的軌道,只能在赤道上空的特定軌道上,不可能經(jīng)過溫州上空,C錯誤;衛(wèi)星c比衛(wèi)星b多運(yùn)行一周時二者再次相距最近,則(-)t=2π,Tb=Ta=24 h=3Tc,解得t=12 h,即約12 h后,二者再次相距最近,D正確。13.(2022·學(xué)軍中學(xué)選考模擬)(多選)A、B兩顆衛(wèi)星在同一平面內(nèi)沿同一方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動,它們之間的距離Δr隨時間變化的關(guān)系如圖所示,不考慮A、B之間的萬有引力,已知地球的半徑為0.8r,引力常量為G,衛(wèi)星A的線速度大于衛(wèi)星B的線速度,則以下說法正確的是(　BD　)A.衛(wèi)星A的發(fā)射速度可能大于第二宇宙速度B.地球的第一宇宙速度為C.地球的密度為D.衛(wèi)星A的加速度大小為解析:人造地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的發(fā)射速度應(yīng)大于或等于第一宇宙速度,又小于第二宇宙速度,故衛(wèi)星A的發(fā)射速度不可能大于第二宇宙速度,A錯誤;設(shè)衛(wèi)星A的軌道半徑為RA,衛(wèi)星B的軌道半徑為RB,結(jié)合圖像有RB-RA=3r,RB+RA=5r,解得RA=r,RB=4r,設(shè)衛(wèi)星A繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為TA,則有=mAr,解得TA=,設(shè)衛(wèi)星B繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為TB,則有=mB·4r,解得TB=8=8TA,由圖像可知每經(jīng)過t=T,兩衛(wèi)星再一次相距最近,則有(-)·T=2π,聯(lián)立解得TA=T,則地球質(zhì)量為M==,設(shè)地球的第一宇宙速度為v1,則有=m,解得v1==,B正確;設(shè)地球密度為ρ,則有M=ρ·π(0.8r)3,解得ρ=,C錯誤;設(shè)衛(wèi)星A的加速度大小為a,則有=mAa,解得a==,D正確。14.宇宙中有一孤立星系,中心天體周圍有三顆行星,如圖所示。中心天體質(zhì)量遠(yuǎn)大于行星質(zhì)量,不考慮行星之間的萬有引力,三顆行星的運(yùn)行軌道中,有兩個為圓軌道,半徑分別為r1、r3,一個為橢圓軌道,半長軸為a,a=r3,在Δt時間內(nèi),行星Ⅱ、行星Ⅲ與中心天體連線掃過的面積分別為S2、S3;行星Ⅰ速率為v1,行星Ⅱ在B點(diǎn)的速率為,行星Ⅱ在E點(diǎn)的速率為,行星Ⅲ的速率為v3,下列說法正確的是(　B　)A.S2=S3B.行星Ⅱ與行星Ⅲ的運(yùn)行周期相等C.行星Ⅱ與行星Ⅲ在P點(diǎn)時的向心加速度大小相等D.v3<v1<v2E<v2B解析:行星Ⅱ、Ⅲ滿足a=r3,根據(jù)開普勒第三定律可知它們的運(yùn)行周期相等,令Δt等于一個周期,它們與中心天體連線掃過的面積,橢圓面積小于圓面積,故A錯誤,B正確;向心加速度為垂直于速度方向的加速度,行星Ⅱ與行星Ⅲ在P點(diǎn)時加速度相等,但行星Ⅱ在該點(diǎn)的向心加速度為此加速度的分量,小于行星Ⅲ在P點(diǎn)時的向心加速度,故C錯誤;r1<r3,v1=>v3=;考慮到從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ的變軌過程,應(yīng)該在B點(diǎn)加速,有v1<v2B;從B點(diǎn)到E點(diǎn)過程,動能向勢能轉(zhuǎn)化,有v2B>v2E;考慮到v2E小于在E點(diǎn)能夠繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動所需的速度vE,而vE<v3,所以有v2E<v3,綜上所述v2E<v3<v1<v2B,故D錯誤。15.(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星體組成的三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三個星體的質(zhì)量均為M,并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動周期相同,則(　BC　)A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B.直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動周期T=4πRC.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L=RD.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為 解析:直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相同,方向相反,選項A錯誤;三星系統(tǒng)中,對直線三星系統(tǒng)有G+G=MR,解得T=4πR,選項B正確;對三角形三星系統(tǒng),根據(jù)萬有引力定律可得2Gcos 30°=M·,聯(lián)立解得L=R,選項C正確;三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v==,聯(lián)立解得v=××,選項D錯誤。 

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