?2023北京北師大實驗中學(xué)初三3月月考
數(shù) 學(xué)
（滿分：100分時間：120分鐘）
一、選擇題：（每小題2分，共16分）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 北京故宮有著近六百年的歷史，是最受中外游客喜愛的景點之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大關(guān)．將19000000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A. 0.19×108 B. 0.19×107 C. 1.9×107 D. 19×106
3. 如圖是北京大興國際機(jī)場俯視圖的示意圖.下列說法正確的是（ ）

A. 這個圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
B. 這個圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
C. 這個圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D. 這個圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形
4. 一元二次方程的解的情況是（ ）
A. 方程有且只有一個實根 B. 方程有兩個相等實根
C. 方程有兩個不等實根 D. 方程無實根
5. 實數(shù)、在數(shù)軸上的位置如下圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（ ）

A. B. C. D.
6. 如圖， 與相切于點，連接并延長交于點，連接，若，則等于（ ）

A. B. C. D.
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是正方形邊上的線段，點在其中某條線段上，若射線與軸正半軸的夾角為，且，則點所在的線段可以是　　

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、點，點、點，，點為中點，則長度的最小值為（ ）

A. B. C. D.
二、填空題：（每小題2分，共16分）
9. 若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．
10. 分解因式：=_________________________．
11. 為了豐富同學(xué)們的課余生活，某年級買了3個籃球和2個足球，共花費了474元，其中籃球的單價比足球的單價多8元，求籃球和足球的單價，如果設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，依題意可列方程組為_____．
12. 若一個多邊形的每個外角都是，則該多邊形的邊數(shù)為________.
13. 一次函數(shù)的圖像過二、四象限，且與軸的夾角為，若其經(jīng)過點，則一次函數(shù)解析式為________．
14. 矩形紙片中，厘米，厘米，按圖中方式折疊，使點與點重合，折痕為，則________厘米．

15. 如圖，在平行四邊形中，延長至點，使，連接與交于點，則的值是______．

16. 拋物線的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有________.

①；②；③；④
三、解答題：（第17~22題各5分，第23-26題各6分，第27、28題各7分，共68分）
17. 計算：．
18. 解不等式組 ．
19. 先化簡,再求值:,其中,.
20. 我們在課上曾學(xué)習(xí)過等腰三角形三線合一；等腰三角形的底邊中線、底邊高線、頂角角平分線重合，如果某個三角形的一邊中線、高線及其對角的角平分線中，有兩條線重合，也可以證明這個三角形是等腰三角形，請你選擇下面一種情況，寫出證明過程．

①已知：如圖，在中，于D，，
求證：．
②已知：如圖，在中，于，平分，
求證：．
③已知：如圖，在中，是中點，平分，
求證：．

21. 如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB＝BC＝2CD，E為對角線AC的中點，F(xiàn)為邊BC的中點，連接DE，EF．

（1）求證：四邊形CDEF為菱形；
（2）連接DF交EC于G，若DF＝2，CD，求AD的長．
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點，．
（1）求和的值：
（2）將點向右平移到軸上，得到點，設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為，記線段與線段為圖形．若雙曲線與圖形恰有一個公共點，直接寫出的取值范圍．
23. 為迎接2022年冬奧會，鼓勵更多的學(xué)生參與到志愿服務(wù)中來，甲、乙兩所學(xué)校組織了志愿服務(wù)團(tuán)隊選拔活動，經(jīng)過初選，兩所學(xué)校各400名學(xué)生進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)．為了了解兩所學(xué)校學(xué)生的整體情況，從兩校進(jìn)入綜合素質(zhì)展示環(huán)節(jié)的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的綜合素質(zhì)展示成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．
a．甲學(xué)校學(xué)生成績的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成6組： ，，，， ，）：

b．甲學(xué)校學(xué)生成績在這一組的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙學(xué)校學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率（85分及以上為優(yōu)秀）如下：
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
優(yōu)秀率
83.3
84
78

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）甲學(xué)校學(xué)生A，乙學(xué)校學(xué)生B的綜合素質(zhì)展示成績同為83分，這兩人在本校學(xué)生中的綜合素質(zhì)展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根據(jù)上述信息，推斷______學(xué)校綜合素質(zhì)展示的水平更高，理由為____________________________（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）；
（3）若每所學(xué)校綜合素質(zhì)展示的前120名學(xué)生將被選入志愿服務(wù)團(tuán)隊，預(yù)估甲學(xué)校分?jǐn)?shù)至少達(dá)到_________分的學(xué)生才可以入選．
24. 如圖，在中，，點為邊的中點，以為直徑作⊙，分別與交于點，過點作于．

（1）求證：是的切線；
（2）若，的半徑為5，求的長．
25. 我國著名科學(xué)家錢學(xué)森于20世紀(jì)40年代提出了一種新型導(dǎo)彈彈道設(shè)想，即“助推-滑翔”彈道，這種彈道可以讓導(dǎo)彈在大氣層中“打水漂”（如下圖），從而達(dá)到節(jié)省燃料，增加射程的目的，而且錢學(xué)森彈道在俯沖的最后階段，彈速可達(dá)音速的20倍，雷達(dá)幾乎無法捕捉.

小明借鑒靈感改裝了模型飛機(jī).設(shè)飛機(jī)飛行時間為秒，對應(yīng)飛行高度為米，測量數(shù)據(jù)得：

0
1
2
3
4
8
16
40
41
42
43
44

0
5
8
9
8
4
2
0.8
0.75
0.6
0.35
0

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，畫出與的函數(shù)圖像；

（2）利用初中所學(xué)的函數(shù)知識分析圖像，那么該函數(shù)圖像可以分為______段來研究；
（3）請你選擇（2）中的一段圖像，用解析式法來表示與的函數(shù)關(guān)系，并注明自變量范圍.
26. 已知：拋物線過點.
（1）用含代數(shù)式表示；
（2）若拋物線與軸的另一個交點為點，且點在點的左側(cè)，求的取值范圍；
（3）若，點、、在拋物線上，請比較、、的大小，并說明理由.
27. 如圖，在中，，，在線段上取點，作于，連接，點是中點，連接.

（1）求線段與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（）；
①在（1）中線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否依然成立？請證明你的結(jié)論；
②若點是的重心，直接寫出的值.
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，存在一個圖形為圖形上任意一點，線段（點與不重合）繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，延長至點，使得，若點為線段上一點（點可與線段端點重合），則稱點為圖形的“二倍點”.
已知點、點.

（1）中，是線段的“二倍點”的是_______；
（2）直線）存在線段的“二倍點”，求的取值范圍；
（3）的半徑為1，是⊙的“二倍點”，直線與軸、軸分別交于兩點，點在線段上（可與線段端點重合），當(dāng)點在線段上運動時，直接寫出線段的最大值和最小值.

參考答案
一、選擇題：（每小題2分，共16分）
1. 【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可得到答案．
【詳解】解：的相反數(shù)是2，
故選：C．
【點睛】本題考查了相反數(shù)，只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)，熟練掌握該定義是解題的關(guān)鍵．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】直接利用科學(xué)記數(shù)法的定義結(jié)合科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：將19000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.9×107．
故選：C．
【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3. 【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的定義：繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形與原圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形，即可判斷得出答案．
【詳解】由圖可知，圖形關(guān)于中間軸折疊能完全重合，
此圖形是軸對稱圖形，
但繞中心旋轉(zhuǎn)180°后，圖形不能完全重合，
此圖形不是中心對稱圖形．
故選：A．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．
4. 【答案】B
【解析】
【分析】先求出的值，再比較出其與的大小即可求解．
【詳解】解：∵一元二次方程，
∴，，，
∴，
∴一元二次方程有兩個相等實根，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．理解和掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
5. 【答案】D
【解析】
【分析】先由點n，m在數(shù)軸上的位置確定n，m的取值范圍，取符合條件的特殊值進(jìn)行計算再比較即可．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可以知道，令，可知，
A. ，即，故此選項錯誤；
B.，即，故此選項錯誤；
C.，即，故此選項錯誤；
D. ，兩邊同時乘以得，即，故此選項正確．
故選D．
【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應(yīng)關(guān)系及大小比較問題， 熟練掌握實數(shù)大小比較方法是解題的關(guān)鍵．
6. 【答案】C
【解析】
【分析】關(guān)于圓的習(xí)題只要提到切線，就必須構(gòu)造半徑的切線形成的直角，已知條件欲求也就是求，在中，根據(jù)直角三角形的特殊性質(zhì)即可求出，最后解出．
【詳解】解：連接

與相切于點


又和是圓的半徑，

在中，



故答案選．
【點睛】本題主要考查的是圓的切線性質(zhì)定理推論和直角三角形的特殊性質(zhì)．涉及到知識點有等腰三角形的性質(zhì)．解題過程中能否通過切線性質(zhì)和直角三角形特殊性質(zhì)求出角度是解題的關(guān)鍵．
7. 【答案】D
【解析】
【分析】分情況考慮：先考慮點M分別在邊PQ上的線段AB和CD上的情況，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義判斷即可；再考慮點M分別在邊QR上的線段EF和GH上的情況，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】如圖，當(dāng)點在線段上時，連接．

，，，
，
同法可證，點在上時，，
如圖，當(dāng)點在上時，作于．

，，，
，
同法可證，點在上時，，
故選：D．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角函數(shù)中正弦和余弦的定義，涉及到分類討論，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，從而可在直角三角形中利用正余弦的定義進(jìn)行．
8. 【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，得出點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，由點為中點，取點，連接，根據(jù)點到圓的距離的最值問題求得三點共線時取得最小值，進(jìn)而根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，取點，點，連接，

依題意，，
∴，
∵，得出點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，
∴三點共線時取得最小值， 最小值為，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角相等，中位線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，點到圓的最值問題，兩點之間線段最短，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：（每小題2分，共16分）
9. 【答案】x≥-1
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式求解即可．
【詳解】由題意可知x+1≥0，
∴x≥-1．
故答案為：x≥-1．
【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，明確被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．
10. 【答案】．
【解析】
【詳解】試題分析：原式==，故答案為．
考點：提公因式法與公式法的綜合運用．
11. 【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)“3個籃球的價錢+2個足球的價錢=474和籃球單價﹣足球的單價=8元”可列方程組．
【詳解】設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，
根據(jù)題意可列方程組為，
故答案為：．
【點睛】考查了實際問題抽象出二元一次方程組，解題關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)，列出方程組．
12. 【答案】18
【解析】
【分析】利用外角和除以外角的度數(shù)即可得到邊數(shù)．
【詳解】解：，故該多邊形的邊數(shù)為18．
故答案為：18．
【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握任何多邊形的外角和都是．
13.【答案】##
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到，然后將代入求解即可．
【詳解】∵一次函數(shù)的圖像過二、四象限，且與軸的夾角為，
∴，
∵經(jīng)過點，
∴，解得，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)解析式的求解方法，根據(jù)題意求出k的值是解題的關(guān)鍵．
14. 【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)四邊形為矩形，得出，根據(jù)折疊可知，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
∴，
根據(jù)折疊可知，，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理可知，，
即，
解得：，
即厘米．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程．
15. 【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合題意即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CE，AB=CD
∴?ABF~?CEF，
∴，
∵DE=DC，
∴，
故答案為：．
【點睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．
16. 【答案】②④##④②
【解析】
【分析】根據(jù)圖象開口方向，對稱軸位置，與y軸交點位置即可判斷①，根據(jù)拋物線經(jīng)過點即可判斷②，根據(jù)，即可判斷③，根據(jù)和即可判斷④．
【詳解】解：∵函數(shù)圖象開口向上，
則，
∵對稱軸在y軸左側(cè)，，
∴a與b同號，即，
∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴，
∴，故①錯誤；
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點，
∴把點代入得，
即，故②正確；
∵，，
∴，
∴，故③錯誤；
由圖象可知當(dāng)時，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，故④正確，
綜上可知，②④正確，
故答案為：②④
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（第17~22題各5分，第23-26題各6分，第27、28題各7分，共68分）
17. 【答案】
【解析】
【分析】先計算零指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，化簡二次根式，再根據(jù)實數(shù)的混合計算法則求解即可．
【詳解】解：原式

．
【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合計算，特殊角三角函數(shù)值，化簡二次根式，零指數(shù)冪，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
18. 【答案】-2

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