2023屆新疆維吾爾自治區(qū)莎車縣第九中學(xué)等2校高三二模數(shù)學(xué)（文）試題含解析

這是一份2023屆新疆維吾爾自治區(qū)莎車縣第九中學(xué)等2校高三二模數(shù)學(xué)（文）試題含解析，共20頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023屆新疆維吾爾自治區(qū)莎車縣第九中學(xué)等2校高三二模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，故選：C．2．集合，為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}，記，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過質(zhì)數(shù)的概念化簡集合B，然后利用交集運(yùn)算求解集合M，根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>為1~10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}，又，則，對比選項(xiàng)可知，，即D正確，ABC錯誤.故選：D.3．在正項(xiàng)等比數(shù)列列中，若，，依次成等差數(shù)列，則的公比為（    ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的等差中項(xiàng)，進(jìn)行基本量的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，依次成等差數(shù)列，得，即，所以，即，解得或，又因?yàn)?/span>是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，得到，故選：D．4．閱讀下圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式，模擬執(zhí)行程序，找到規(guī)律，從而得解.【詳解】當(dāng)時，，，，循環(huán)執(zhí)行；當(dāng)時，，，，循環(huán)執(zhí)行；當(dāng)時，，，，循環(huán)執(zhí)行；當(dāng)時，，，，循環(huán)執(zhí)行；當(dāng)時，，，，循環(huán)執(zhí)行；當(dāng)時，，，，循環(huán)執(zhí)行；依次下去，不難發(fā)現(xiàn)，周期為，當(dāng)時，，，，循環(huán)執(zhí)行；當(dāng)時，，，滿足，跳出循環(huán)，輸出．故選：C．5．下列有關(guān)事件的說法正確的是（    ）A．若，則事件A，B為對立事件B．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大C．若A，B為互斥事件，則D．若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義，條件概率的定義判斷．【詳解】對于A，若在不同試驗(yàn)下，雖然有，但事件和不對立．若在同一試驗(yàn)下，說明事件和對立．所以A錯誤；對于B，若事件和都為不可能事件，則B錯誤；對于C，互斥，若對立，則，若不對立，則，C正確；對于D，若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則，則D錯誤，故選：C．6．平面內(nèi)三個單位向量，，，滿足，若，則（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由，可得，后結(jié)合與可得答案.【詳解】由得，所以，即.因?yàn)?/span>，所以，又將代入，整理得，解得.故選：D．7．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷出是奇偶性，排除A、C，再由的正負(fù)排除D，從而得到答案.【詳解】由題知，則定義域?yàn)?/span>，∵，即，所以在上為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A、C，又∵當(dāng)時，，排除D，故選：B．【點(diǎn)睛】考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)研究函數(shù)圖象.考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．8．在中，角A，B，C所對的過分別為a，b，c，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用三角恒等變換及正弦定理即可判定.【詳解】由二倍角公式可化簡得：，而，故，由正弦定理可得，反之，也成立，即為充要條件.故選：C．9．已知函數(shù)，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷的對稱性與單調(diào)性，再利用中間值法得，最后利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以的對稱軸為，則有，又當(dāng)時，得，而和均在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，即，所以，即.故選：A10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上一點(diǎn)滿足，則過點(diǎn)的切線方程為（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】由結(jié)合拋物線定義可得，后由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線方程斜率，即可得答案.【詳解】由已知得，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，P點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為d.則由拋物線定義有，即.將代入得，，所以.注意到則當(dāng)的坐標(biāo)為時，過點(diǎn)的切線斜率為，所以過點(diǎn)的切線方程為，即，當(dāng)的坐標(biāo)為時，過點(diǎn)的切線斜率為，所以過點(diǎn)的切線方程為，即，綜上，過點(diǎn)的切線方程為或．故選：B11．已知在直三棱柱中，E，F分別為，的中點(diǎn)，，，，，如圖所示，若過A、E、F三點(diǎn)的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長，且與相交于，連接EG，并與相交于，連接FD，則四邊形AEDF為所求的截面，后由幾何知識可得截面面積.【詳解】解析：延長，且與相交于，連接EG，并與相交于，連接FD，則四邊形AEDF為所求的截面.在中，由，，得.在中，由，，得.因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以由平面幾何知識可知，.所以，，即為AG的中點(diǎn)，所以.又由，可得，又，，所以.在中，由，，得，所以.所以在中，有，，，即，所以.又注意到，，則四邊形AEDF的面積為.故選：B．12．若函數(shù)在區(qū)間上的三個零點(diǎn)為，，，且，且，則下列結(jié)論：（   ）①的最小正周期為；                ②在區(qū)間有3個極值點(diǎn)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；        ④為函數(shù)離原點(diǎn)最近的對稱中心．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先利用條件求出，再利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及的零點(diǎn)、極值點(diǎn)，逐一對各個選項(xiàng)分析判斷即可得到結(jié)果．【詳解】令，則由，得，所以，由，得到如圖，由的圖像與性質(zhì)知，，，即化簡得，將代入得，所以，故①正確；對于②，因?yàn)?/span>，由的圖像與性質(zhì)知，函數(shù)的極值點(diǎn)，即函數(shù)的最值點(diǎn)，所以由，得到，又因?yàn)?/span>，所以或， 所以在區(qū)間上有且僅有2個極值點(diǎn)，故②錯誤；對于③，由，，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③錯誤；對于④，令，解得，當(dāng)時，為最小，所以函數(shù)離原點(diǎn)最近的對稱中心為，故④錯誤．故選：B． 二、填空題13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為3，則________．【答案】16【分析】先求得雙曲線的漸近線的方程，根據(jù)F到漸近線的距離運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，則，且焦點(diǎn)在x軸上，故漸近線方程可以為，即，則點(diǎn)到漸近線的距離為，即，解得，故答案為：16．【點(diǎn)睛】考查雙曲線的基本性質(zhì)，以及點(diǎn)到線的距離公式運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性.14．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為______．【答案】1【分析】根據(jù)不等式組作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)幾何意義求最值.【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，并平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點(diǎn)時，取得最大值，此時．故答案為：115．若，則________．【答案】【分析】利用角的正余弦表示m，再利用湊特殊角的方法結(jié)合差角的正弦求解作答.【詳解】依題意，.故答案為：16．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．【答案】【分析】通過對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義上的零點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，有，解得，所以當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，由，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又因?yàn)?/span>，，所以，存在一個正數(shù)零點(diǎn)，所以不符合題意；當(dāng)時，令，解得或，且有，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又因?yàn)?/span>，，所以，存在一個負(fù)數(shù)零點(diǎn)，要使存在唯一的零點(diǎn)，則滿足，解得或，又因?yàn)?/span>，所以，綜上，的取值范圍是．故答案為：. 三、解答題17．已知數(shù)列中，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對于，都滿足，（）．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求；(2)已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)證明見解析，(2) 【分析】（1）利用結(jié)合可得答案；（2）由（1）可得，后由分組求和法可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，由得化簡得，即又，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即；當(dāng)，符合上式，所以（2）由（1）知，，則，故.即18．如圖，在直四棱柱中，，，為等腰三角形，且．(1)證明：；(2)設(shè)側(cè)棱，點(diǎn)在上，當(dāng)的面積最小時，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明面，利用線面垂直即可得出線線垂直；（2）先得出滿足條件的E位置，利用三棱錐的體積計算即可.【詳解】（1）證明：連接AC，并與BD相交于，如圖所示，由題可知，為等腰直角三角形，且為等腰三角形，所以點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，且在直四棱柱中，有平面ABCD且平面ABCD，所以，又，、平面所以平面，又平面，所以，在四邊形中，有，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>，所以（2）由（1）知平面，且平面，所以，即的面積為，要使的面積最小，則PE為最小，即，根據(jù)及邊長可知點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，即點(diǎn)到底面ABC的距離為在等腰中，由，，所以，在等腰中，因?yàn)?/span>，所以由勾股定理可得，所以因此的面積為所以三棱錐的體積為綜上，三棱錐的體積為19．網(wǎng)絡(luò)直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會各界的追捧.某直播間開展地標(biāo)優(yōu)品帶貨直播活動，其主播直播周期次數(shù)（其中10場為一個周期）與產(chǎn)品銷售額（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：直播周期數(shù)12345產(chǎn)品銷售額（千元）37153040根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理．如下表：5538265978101其中，(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）；(2)①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？(3)由①所得的結(jié)論，計算該直播間欲使產(chǎn)品銷售額達(dá)到8萬元以上，直播周期數(shù)至少為多少？（最終答案精確到1）附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，相關(guān)指數(shù)：．【答案】(1)(2)乙建立的回歸模型擬合效果更好(3)10 【分析】（1）取對數(shù)，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，利用公式求解系數(shù)可得答案；（2）根據(jù)公式求解相關(guān)指數(shù)，比較兩個方程的相關(guān)指數(shù)的大小可得結(jié)論；（3）利用乙的方程進(jìn)行預(yù)測，求解不等式可得結(jié)果.【詳解】（1）將兩邊取對數(shù)得，令，則;∵，∴根據(jù)最小二乘估計可知，;∴，∴回歸方程為，即．（2）①甲建立的回歸模型的．∴乙建立的回歸模型擬合效果更好．（3）由①知，乙建立的回歸模型擬合效果更好．設(shè)，解得，∴直播周期數(shù)至少為10.20．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，的中點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，設(shè)直線BC的斜率為，證明：為定值，并求的值．【答案】(1)(2)證明見解析，． 【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)在軸上，得出結(jié)合橢圓經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)可求方程；（2）解法一聯(lián)立方程寫出韋達(dá)定理，利用斜率公式進(jìn)行化簡，可得為定值；解法二利用點(diǎn)在橢圓上，代入方程，作差表示出斜率，利用斜率關(guān)系可得為定值.【詳解】（1）設(shè)，由的中點(diǎn)在軸上，為的中點(diǎn)，得軸，即，又由得，即，，所以，即，解得，，所以橢圓的方程為．（2）證明：解法一:設(shè)直線BC的方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立方程組消去，整理得關(guān)于的方程為；則，，.因?yàn)橹本€AB和直線AC的傾斜角互補(bǔ)，所以其斜率互為相反數(shù)，即，所以，即，整理得，將，及代入上式，整理得，將，代入上式，化簡整理得，即，所以，解得或.當(dāng)時，代入消去得，即直線BC過定點(diǎn)，與題意不符；所以，即為定值.解法二：設(shè)兩直線與橢圓交于點(diǎn)，，則①，②，③，①－③，得，，同理，，因?yàn)?/span>，所以④，⑤，④⑤展開得，相減得，即，所以為定值．21．已知函數(shù)，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：對于，都有恒成立．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，化簡導(dǎo)函數(shù)后，討論參數(shù)的取值范圍，通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來求出解集，從而求出單調(diào)區(qū)間；（2）轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)，化簡后構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合常用的切線不等式解決問題.【詳解】（1）由題意可得 當(dāng)時，，；，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，；，；，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，；，；，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，，對于，都有恒成立．等價于構(gòu)造函數(shù)，，令，解得當(dāng)，，當(dāng)時，，所以先減后增，所以，即因此成立，故對于，都有恒成立．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及最值、方程與不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力；其中構(gòu)造常用的切線不等式的形式舉例如下：，等.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出直線的參數(shù)方程及曲線的普通方程；(2)設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)（為參數(shù)），(2) 【分析】（1）利用極坐標(biāo)與普通方程的互化，，得到直線的普通方程，從而求出參數(shù)方程，再通過消去曲線的參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）利用參數(shù)方程的幾何意義和條件即可求出實(shí)數(shù)的取值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，所以化簡為，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由（為參數(shù)），消去得；，所以曲線的普通方程為.（2）設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)分別為，由知，與反向，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），代入曲線的普通方程， 得到，由韋達(dá)定理得，，，又因?yàn)橹本€和曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則，即，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以，得到，又由，得到，所以，由參數(shù)的幾何意義知，，又因?yàn)?/span>，不妨設(shè)，由，得到，解得，滿足條件，所以實(shí)數(shù)的值為．23．設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)對任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由絕對值不等式的解法，當(dāng)a=2，分，，三種情況討論，求解不等式即可得解；（2）分析可得原題意等價于，結(jié)合絕對值不等式分析運(yùn)算.【詳解】（1）當(dāng)時，可得，當(dāng)時，則，解得，此時得；當(dāng)時，則，此時無解；當(dāng)時，則，解得，此時得；綜上所述：不等式的解集為．（2）對任意，恒有，等價于，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立所以，且，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】考查絕對值不等式的解法，不等式恒成立問題，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．