2023年中考復(fù)習(xí)存在性問題系列               特殊角的存在性問題專題探究    特殊角的存在性問題也是近年來各地中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，不確定因素較多，解題有一定的難度．因此對(duì)此類問題建立解題模型，則可以大大降低學(xué)生思維難度。解題攻略  【基本概念】特殊角存在性問題在坐標(biāo)系中可以由以下幾種方式得到：（1）等腰直角三角形的性質(zhì)；（2）平行線的性質(zhì)；（3）等邊三角形的性質(zhì)；（4）等角三角函數(shù)相等。（5）直角三角形性質(zhì)。2.【基本題型】（1）30°，60°特殊角（2）90°的特殊角（3）45°的特殊角（4）15°的特殊角3.【解題思路】（1）運(yùn)用三角函數(shù)值；（2）遇45°構(gòu)造等腰直角三角形；（3）遇30°，60°構(gòu)造等邊三角形；（4）遇90°構(gòu)造直角三角形。典例剖析1.遇45°構(gòu)造等腰直角三角形例1.如圖，拋物線與y＝－x2＋x＋2與直線y＝x＋2交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線CD上方的拋物線上一點(diǎn)，PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，∠PCF＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練1如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 遇30°，60°構(gòu)造等邊三角形例2.如圖，拋物線y＝x2－12與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P在拋物線上，且∠APB＝60°，求點(diǎn)P坐標(biāo)．變式訓(xùn)練2如圖，拋物線y＝ax2﹣2x+c（a≠0）過點(diǎn)O（0，0）和A（6，0）．點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，連接OB，OD．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，當(dāng)∠BOD＝30°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；遇90°構(gòu)造直角三角形。例3.已知二次函數(shù)圖象過點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，在線段PB上是否存在點(diǎn)M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）點(diǎn)K在拋物線上，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，直線KD與直線BC的夾角為銳角θ，且tanθ，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．練習(xí)：已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) 和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）拋物線的解析式為　　，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　　；（2）如圖1，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積為8？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）如圖3，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，，連接，若，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．                            答案例1.【解答】延長(zhǎng)PC交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AG⊥AC，交直線CD于點(diǎn)G，設(shè)A（a，0），易得G（a－2，－a），代入y＝x＋2，得a＝－ ，∴A（－，0），∴AC：y＝3x＋2．聯(lián)立，得P（，）變式訓(xùn)練1【解答】解：（1）將點(diǎn)代入直線得，，，直線，當(dāng)時(shí)，代入直線得：，解得：，點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線表達(dá)式為，將點(diǎn)代入拋物線得，，解得：，拋物線表達(dá)式；（2）當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，有兩種情況：①如圖，當(dāng)為邊時(shí)， 設(shè)點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)，，，，即，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作軸于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．由，可得，，，， ②如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)， 取線段的中點(diǎn)，作輔助圓，與軸交于點(diǎn)，，作軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，，即，由①可得線段，半徑，在△中，，，，根據(jù)垂徑定理可得，，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)；綜上所述，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為：或或或；（3）存在點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，使．理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，如圖，當(dāng)四邊形為正方形，且點(diǎn)，分別在直線和直線上時(shí)，，設(shè)過線段中點(diǎn)，且與線段垂直的直線：，將點(diǎn)代入得：，解得，直線為，設(shè)點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，在中，，，，解得，，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線表達(dá)式為：，將點(diǎn)，點(diǎn)代入得，，解得，直線的表達(dá)式為，同理可得直線的表達(dá)式為，聯(lián)立直線與拋物線可得，，解得，，同理聯(lián)立直線與拋物線可解得，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．例2解：A（－，0），B（，0），在y軸上取點(diǎn)M（0，2），設(shè)P（t，t2－12），易得∠AMB＝120°，（1）點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，以M為圓心，MA＝4為半徑畫圓，與拋物線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，MP2＝MB2＝16，t2＋（t2－12－2）2＝16，t4－27t2＋180＝0，（t2－12）（t2－15）＝0，t2＝12或t2＝15，∴P（±，0）（舍去），（±，3）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，M（0，－2），MP2＝MB2，t2＋（t2－12＋2）2＝16， t2＝12（舍）或t2＝7，t＝±，P（±，－5）；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±，3），P（±，－5）．變式訓(xùn)練2【答案】見解析.【解析】解：（1）把點(diǎn)O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，得到，解得，∴拋物線的解析式為yx2﹣2x．（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于M，與OD交于點(diǎn)N．∵yx2﹣2x（x﹣3）2﹣3，∴頂點(diǎn)B（3，﹣3），M（3，0），∴OM＝3．BM＝3，∴tan∠MOB，∴∠MOB＝60°，∵∠BOD＝30°，∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，∴MN＝OM?tam30°，∴N（3，），∴直線ON的解析式為yx，由，解得或，∴D（5，）．例3.【答案】見解析.【解析】解：（1）∵二次函數(shù)圖象過點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)A（﹣2，0），∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函數(shù)圖象過點(diǎn)C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a，∴二次函數(shù)的解析式為y（x+2）（x﹣4）x2+x+4；（2）存在，理由如下：取BC中點(diǎn)Q，連接MQ，∵點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC中點(diǎn)，∴P（﹣1，2），點(diǎn)Q（2，2），BC4，設(shè)直線BP解析式為：y＝kx+b，由題意可得：，解得：∴直線BP的解析式為：yx，∵∠BMC＝90°∴點(diǎn)M在以BC為直徑的圓上，∴設(shè)點(diǎn)M（c，c），∵點(diǎn)Q是Rt△BCM的中點(diǎn)，∴MQBC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（c2）2＝8，∴c＝4或，當(dāng)c＝4時(shí)，點(diǎn)B，點(diǎn)M重合，即c＝4，不合題意舍去，∴c，則點(diǎn)M坐標(biāo)（，），故線段PB上存在點(diǎn)M（，），使得∠BMC＝90°；（3）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)直線DK與BC交于點(diǎn)N，∵點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∴點(diǎn)D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE，∵點(diǎn)B（4，0），C（0，4），∴直線BC解析式為：y＝﹣x+4，設(shè)點(diǎn)E（n，﹣n+4），∴﹣n+4，∴n，∴點(diǎn)E（，），在Rt△DNE中，NE.①若DK與射線EC交于點(diǎn)N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴（4﹣m），∴m，∴點(diǎn)N（，），∴直線DK解析式為：y＝4x﹣4，聯(lián)立y＝4x﹣4，x2+x+4得：點(diǎn)K坐標(biāo)為（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK與射線EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴（4﹣m），[來源:學(xué)科網(wǎng)]∴m，∴點(diǎn)N（，），∴直線DK解析式為：yx，聯(lián)立yx，x2+x+4，得點(diǎn)K坐標(biāo)為（，）或（，），綜上所述：點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．
 

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