浙江省衢溫51聯(lián)盟2022-2023學年高二數(shù)學下學期期中聯(lián)考試題（Word版附解析）

這是一份浙江省衢溫51聯(lián)盟2022-2023學年高二數(shù)學下學期期中聯(lián)考試題（Word版附解析），共27頁。試卷主要包含了考試結束后，只需上交答題紙， 設，，，則， 已知函數(shù)，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
衢溫“5+1”聯(lián)盟2022學年第二學期期中聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先分別求兩個集合，再求交集.【詳解】，解得：，所以,，即，所以.故選：D2. 已知復數(shù)，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則把展開，再根據(jù)復數(shù)相等解出、的值，進而求解.【詳解】解：因為復數(shù)，且，所以，即，解得，則.故選：.3. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的大小，結合排除法進行排除即可.【詳解】記函數(shù)，定義域為R，，則是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，排除AC，又，排除D.故選∶B.4. 隨著杭州亞運會的臨近，吉祥物“琮琮、蓮蓮、宸宸”開始走俏國內(nèi)外.現(xiàn)有個完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙位體育愛好者要與這個“宸宸”站成一排拍照留念，則有且只有個“宸宸”相鄰的排隊方法數(shù)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先將位體育愛好者進行排序，將其中兩個“宸宸”捆綁，形成一個“大元素”，再將“大元素”與另外一個“宸宸”插入位體育愛好者所形成的空位中（包括兩端），結合分步乘法原理可得結果.【詳解】先將位體育愛好者進行排序，共有種排法，因為個“宸宸”完全相同，將其中兩個“宸宸”捆綁，形成一個“大元素”，再將“大元素”與另外一個“宸宸”插入位體育愛好者所形成的空位中（包括兩端），由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排隊方法種數(shù)為種.故選：C.5. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，是線段的中點，是線段的中點，則點到平面的距離是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用錐體體積公式，，結合垂直關系求的面積，即可求點到平面的距離.【詳解】，點到底面的距離，所以，，，因為平面，平面，所以,且，，平面，平面，所以平面，且平面，所以，所以，因為是線段的中點，是線段的中點，所以，因為，所以,，設點到平面的距離為，則，即.故選：A6. 如圖所示的是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著的一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，則的展開式中的常數(shù)項是（    ）A.  B.  C. 15 D. 20【答案】C【解析】【分析】設球的半徑為，分別表達出球，圓柱的體積和表面積，求出，利用二項式定理得到通項公式，求出常數(shù)項.【詳解】設球的半徑為，則球的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，故，球的表面積為，圓柱的表面積為，故，故，展開式中的通項公式為，令，解得，故常數(shù)項為.故選：C7. 已知圓和點，為坐標原點，若圓上存在點滿足，則的最大值為（    ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】【分析】利用已知求出點的軌跡方程，再利用兩圓的幾何關系即可求出的最大值.【詳解】設，由可得，整理得，∴點在圓上，且圓心為,半徑為，又∵點在圓上，∴圓與圓有公共點，∴，且,∴，則最大值為，故選：.8. 設，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用構造函數(shù)的方法比較大小即可.【詳解】先比較和，令，則，令，則，當時，，即，所以，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即，故，排除和;再比較和，令，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最小值，故（當時等號成立），，故.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 空間直角坐標系中，已知，，，，則（    ）A. B. 是等腰直角三角形C. 與平行的單位向量的坐標為或D. 在方向上的投影向量的坐標為【答案】AC【解析】【分析】本題考查空間向量的坐標運算，利用向量的加減法得出坐標，再利用向量的模長公式，可判斷A選項；計算出三角形三條邊長，可判斷B選項；與已知向量平行的單位向量計算公式：可判斷C選項；根據(jù)在方向上的投影向量與向量共線的性質(zhì)，可判斷D選項.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算，，選項A正確；計算可得，三條邊不相等，選項B不正確；與平行的單位向量為：選項C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項D不正確，故選：AC.10. 已知函數(shù)，則（    ）A. 函數(shù)在處的切線方程是B. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C. 函數(shù)有唯一的零點D. 函數(shù)的最大值為3【答案】BC【解析】【分析】由導數(shù)的幾何意義求得切線方程判斷A；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進而判斷B、D；C中函數(shù)零點問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，利用導數(shù)研究其單調(diào)性并結合零點存在定理可得出其只有一個零點，進而得出C正確.【詳解】，則，所以函數(shù)在處的切線方程是，即，故A錯誤；令，，當時，；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故B正確，D錯誤；，等價于，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即函數(shù)在上存在唯一零點，即函數(shù)有唯一的零點，故C正確；故選：BC11. 《九章算術》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬．如圖正方體的棱長為2，點是該正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），且平面，，分別是棱，的中點，則下列結論正確的是（    ）A. 直線與直線不可能垂直B. 三棱錐的體積為定值C. 直線與平面所成角的正弦值的最大值為D. 陽馬的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量即可判斷A和C；根據(jù)平面即可判斷B；利用等體積法即可判斷D，從而得出答案．【詳解】以為原點，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為正方體的棱長為2，，分別是棱，的中點，所以 ，，，則，， 設平面的一個法向量為，則,取，則，因為點是該正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），所以設點，其中，則，對于A：因為平面，所以，即，得，所以，所以，因為，所以，當時，，即直線與直線垂直，故A錯誤；對于B：設點到平面的距離為，則三棱錐的體積為，又因為平面，所以點到平面的距離為定值，又因為為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C：由上述結論得，，平面的一個法向量為，直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故C正確；對于D：易得陽馬的外接球的直徑為，所以外接球半徑，易得，，，，，由等體積法得即，解得，所以，故D正確，故選：BCD．12. 已知為坐標原點，為拋物線上一點，直線與交于，兩點，過，作的切線交于點，則下列結論正確的是（    ）A.  B. 若點為，且直線與傾斜角互補，則C. 點在定直線上 D. 設點為，則的最小值為3【答案】ABC【解析】【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可判斷AB；分別求點處的切線方程，聯(lián)立切線方程求點的坐標，即可判斷C；設，利用兩點間距離，結合二次函數(shù)求最值，即可判斷D.【詳解】A.設，，聯(lián)立，得，，，，故A正確；B.因，直線與傾斜角互補，所以，，得，且，即，且解得：，故B正確；C.設點在軸上方，在軸下方，，，軸上方的拋物線方程為，軸下方的拋物線方程為，此時在點處的切線的斜率，點處的切線的斜率，所以點處的切線方程為，點處的切線方程為，方程化簡為，，兩式相除化簡得，故C正確；D.設，,，當時，的最小值為，故D錯誤.故選：ABC非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13. 在三次獨立重復射擊中，若至少有一次擊中目標的概率為，則每次射擊擊中目標的概率是______.【答案】##【解析】【分析】設每次射擊擊中目標的概率為，根據(jù)相互獨立事件及對立事件的概率公式計算可得；【詳解】設每次射擊擊中目標的概率為，則，即，所以，所以；故答案為：14. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若，則______.【答案】##【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)可得出、的等量關系，進而可求得的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故答案為：.15. 若，則______.【答案】【解析】【分析】利用兩角和的正切公式以及正弦二倍角公式恒等變形即可求出.【詳解】∵，∴，∴，兩邊平方得，∴.故答案為：.16. 已知橢圓的左右頂點為，，點為直線上一點，若的外接圓的面積的最小值為，則該橢圓的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】設為外接圓的圓心且在在軸上，由已知可得外接圓半徑且，則，進而求離心率.【詳解】若為外接圓的圓心，半徑為，則，故，由外接圓圓心為各邊中垂線的交點知：必在軸上（不妨令其在軸上方），所以，故，則.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和，求證：.【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）當時，可得，當時，由可得，兩式作差可得出，根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列可得其公比，進而可求得的值，由等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；（2）計算可得，利用裂項相消法可證得結論成立.【小問1詳解】解：對任意的，，當時，則，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，因數(shù)列為等比數(shù)列，故其公比為，所以，，解得，所以，.【小問2詳解】解：，因此，.18. 在2023年3月10日，十四屆全國人大一次會議在北京召開.中共中央總書記、國家主席、中央軍委主席習近平在十四屆全國人大一次會議閉幕會上發(fā)表重要講話.出席全國兩會的代表委員和全國各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔當、指引前進方向，必將激勵我們在新征程上團結奮斗，開拓創(chuàng)新，堅定信心，勇毅前行，作出無負時代、無負歷史、無負人民的業(yè)績，為推進強國建設、民族復興作出應有貢獻.某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對這次會議的關注度，隨機抽取了60名年齡在的社區(qū)居民，并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；（2）現(xiàn)若樣本中和年齡段的所有居民都觀看了會議講話，社區(qū)計劃從樣本里這兩個年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會議的感受，設表示年齡段在的人數(shù)，求的分布列及期望.【答案】（1）    （2）分布列見解析，期望為1【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，結合平均數(shù)和中位數(shù)的公式，計算求值；（2）利用超幾何分布求概率，再根據(jù)分布列求期望.【小問1詳解】選取的社區(qū)居民平均年齡，因為，，所以中位數(shù)落于區(qū)間之間，中位數(shù)為；【小問2詳解】因為社區(qū)居民年齡在）內(nèi)的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為6人，所以的可能取值為0,1,2,3,則，，，，故的分布列為0123期望為.19. 在中，角，，的對邊分別為，，.若為銳角三角形，且滿足.（1）證明：；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和等于， 即，再結合三角恒等變換的公式化簡，并結合正弦定理“角化邊的性質(zhì)”得出結論；（2）結合余弦定理，將已知條件“角化邊”，得到，，的等式關系，結合面積公式即可求出，，，進而求出三角形的周長.【小問1詳解】證明：由題意可得：所以展開整理得∵為銳角三角形∴∴∴.【小問2詳解】∵∴∵  整理得，∴∴，∴，∵，∴∴，∴的周長為.20. 如圖，在三棱錐中，已知側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，點為側(cè)棱的中點.（1）求證：；（2）若，，若直線與平面所成角的正切值為，求的值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，即可得到、，從而得到平面，即可得證；（2）解法1：取的中點，連接，則，由已知可得，，即可得到平面，則，即可得到平面，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；解法2：取的中點，連接，則，由已知可得，，即可得到平面，則，即可得到平面，作，連接，即可得到平面，直線與平面所成的角就是，設，利用相似三角形及勾股定理求出，即可得解.【小問1詳解】取的中點，連接，，∵，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】解法1：取的中點，連接，則，由已知，，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，∴為平面的法向量，以的中點為原點，分別以，為空間直角坐標系的，軸，以垂直于平面的直線為軸，則，，，在直角三角形中，，，，所以，，∴，，，設，則，∵直線與平面所成角的正切值為，∴直線與平面所成角的正弦值為，∴，解得，而，即，得，所以.解法2：取的中點，連接，則，由已知，在，中，∵，，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，∴平面，如圖，作，連接，∴平面，直線與平面所成的角就是，由已知得直線與平面所成角，設，則在三角形和中，由得，同理得，所以，在直角三角形中，，所以在直角三角形中有，即解得，而，所以.21. 設函數(shù)，.（1）若函數(shù)存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得在有兩個不等實根，即可得到且，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）方法一：（分類討論），當時根據(jù)說明即可，當時求出函數(shù)的導函數(shù)，分、兩種情況討論，結合函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；方法二：（分離參數(shù)），依題意可得恒成立，設，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，參變分離可得恒成立，只需，設，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，因為存在兩個極值點，所以在有兩個不等實根，所以且，解得且，即實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】方法一：（分類討論）令，則，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，又，所以恒成立，即，當時，，符合題意；當時，，①若，對恒成立，在單調(diào)遞增，，符合題意；②若，則（ⅰ）當，，恒成立，在單調(diào)遞減，只需，所以；（ⅱ）當時，，恒成立，在單調(diào)遞增，只需，所以均符合題意；（ⅲ）當時，，當，，當，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，而當時，，均成立，所以符合題意.綜上所述，.方法二：（分離參數(shù)）恒成立，設，，則，由在單調(diào)遞增，得，即，所以在單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，只需.設，，則 設，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，（或者由）,從而得，故在單調(diào)遞增，所以，所以.【點睛】方法點睛，導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22. 已知離心率為2的雙曲線的左右頂點分別為，，頂點到漸近線的距離為.過雙曲線右焦點的直線與雙曲線交于，（異于點，）兩點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）記，，的面積分別為，，，當時，求直線的方程；（3）若直線，分別與直線交于，兩點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）；    （2）；    （3）定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，解之即可求解；（2）根據(jù)題意設直線，聯(lián)立方程組將面積的表達式表示出來，根據(jù)面積的值進而求解；（3）根據(jù)題意設出直線的方程，求出點，的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【小問1詳解】設雙曲線的焦距為，取一條漸近線為，又，則由題意可得，故雙曲線的標準方程為；【小問2詳解】由題意可得直線的斜率不為0，設直線，，.聯(lián)立，消去整理得，當時，，則，.當與雙曲線交于兩支時，，，，不合題意；當與雙曲線交于一支時， ，，則，得，故；【小問3詳解】直線的方程為，令，得，則.直線的方程為，令，得，則.因為，所以，，，故，即，故為定值.