?2023年吉林省松原市前郭縣西部學(xué)區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（每小題2分，共12分）
1．下列計(jì)算結(jié)果為5的是（　?。?br /> A．﹣（+5） B．+（﹣5） C．﹣（﹣5） D．﹣|﹣5|
2．2、5、m是某三角形三邊的長，則+等于（　　）
A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
3．下列四幅圖片上呈現(xiàn)的是垃圾類型及標(biāo)識(shí)圖案，其中標(biāo)識(shí)圖案是中心對(duì)稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．不等式3x+1＜2x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．將含30°角的一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，若∠1＝50°，則∠2等于（　?。?br />
A．80° B．100° C．110° D．120°
6．如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．分解因式：m3﹣4m＝　 ?。?br /> 8．為了解某校學(xué)生對(duì)湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1000名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．結(jié)果顯示有95名學(xué)生知曉．由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的學(xué)生有 　 　名．
9．已知xy＝2，x﹣3y＝3，則2x3y﹣12x2y2+18xy3＝　 ?。?br /> 10．若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)P（a+1，﹣a﹣3）在第 　 　象限．
11．如圖，在量角器的圓心O處下掛一鉛錘，制作了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)傾儀．量角器的0刻度線AB對(duì)準(zhǔn)樓頂時(shí)，鉛垂線對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是50°，則此時(shí)觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是　 　．

12．第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖所示，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）后能夠與它本身重合，則角α可以為 　 　度．（寫出一個(gè)即可）

13．已知二元一次方程組，則x﹣y的值為 　 ?。?br /> 14．如圖，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，若陰影部分的面積是π，則半圓的半徑OA的長為　 　．

三、解答題（每小題5分，共20分）
15．解不等式組請(qǐng)按下列步驟完成解答．
（1）解不等式①，得 　 ??；
（2）解不等式②，得 　 ?。?br /> （3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

（4）原不等式組的解集是 　 　．
16．學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)旅行活動(dòng)，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)．已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．
17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求證：DE＝BC．

18．甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲：在一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)小球（除標(biāo)號(hào)外無其它差異）．從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)后放回口袋中，充分搖勻后，再從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下該小球的標(biāo)號(hào)，兩次記下的標(biāo)號(hào)分別用x、y表示．若x+y為奇數(shù)，則甲獲勝；若x+y為偶數(shù)，則乙獲勝．
（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求（x，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；
（2）你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說明理由．
四、解答題（每小題7分，共28分）?
19．如圖，已知正比例函數(shù)y1＝x與反比例函數(shù)y2的圖象交于A（2，2），B兩點(diǎn)．
（1）求y2的解析式并直接寫出y1＜y2時(shí)x的取值范圍；
（2）以AB為一條對(duì)角線作菱形，它的周長為4，在此菱形的四條邊中任選一條，求其所在直線的解析式．

20．如圖，在2×6的方格紙中，已知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求畫格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
（1）在圖1中畫一個(gè)銳角三角形，使P為其中一邊的中點(diǎn)，再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的圖形．
（2）在圖2中畫一個(gè)以P為一個(gè)頂點(diǎn)的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．

21．隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，小剛利用無人機(jī)來測(cè)量廣場(chǎng)B，C兩點(diǎn)之間的距離．如圖所示，小剛站在廣場(chǎng)的B處遙控?zé)o人機(jī)，無人機(jī)在A處距離地面的高度是41.6m，此時(shí)從無人機(jī)測(cè)得廣場(chǎng)C處的俯角為63°，他抬頭看無人機(jī)時(shí)，仰角為α，若小剛的身高BE＝1.6m，EA＝50m（點(diǎn)A、E、B、C在同一平面內(nèi)）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C兩點(diǎn)之間的距離．（計(jì)算結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

22．某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市50名教師某日行走的步數(shù)情況并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）：
步數(shù)/步
頻數(shù)
頻率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
d
0.04
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）寫出a，b，c，d的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）該市約有37800名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12000步（包含12000步）的教師有多少名．

23．隨著“公園城市”建設(shè)的不斷推進(jìn)，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個(gè)超大型“體育場(chǎng)”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風(fēng)尚．甲、乙兩人相約同時(shí)從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是18km/h，乙騎行的路程s（km）與騎行的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）直接寫出當(dāng)0≤t≤0.2和t＞0.2時(shí)，s與t之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）何時(shí)乙騎行在甲的前面？

24．已知：如圖，四邊形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿DA邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），0＜t＜5．

根據(jù)題意解答下列問題：
（1）用含t的代數(shù)式表示AP；
（2）設(shè)四邊形CPQB的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)QP⊥BD時(shí)，求t的值；
（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)E在∠ABD的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25．問題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．
嘗試證明：
（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：＝；
應(yīng)用拓展：
（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．


26．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．


參考答案
一、選擇題（每小題2分，共12分）
1．下列計(jì)算結(jié)果為5的是（　?。?br /> A．﹣（+5） B．+（﹣5） C．﹣（﹣5） D．﹣|﹣5|
【分析】根據(jù)相反數(shù)判斷A，B，C選項(xiàng)；根據(jù)絕對(duì)值判斷D選項(xiàng)．
解：A選項(xiàng)，原式＝﹣5，故該選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)，原式＝﹣5，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，原式＝5，故該選項(xiàng)符合題意；
D選項(xiàng)，原式＝﹣5，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)，絕對(duì)值，掌握只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．2、5、m是某三角形三邊的長，則+等于（　?。?br /> A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4
【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．
解：∵2、5、m是某三角形三邊的長，
∴5﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴+
＝m﹣3+7﹣m
＝4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
3．下列四幅圖片上呈現(xiàn)的是垃圾類型及標(biāo)識(shí)圖案，其中標(biāo)識(shí)圖案是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與自身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．據(jù)此判斷即可．
解：A．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D．是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念．中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
4．不等式3x+1＜2x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)解不等式的方法可以解答本題．
解：3x+1＜2x，
移項(xiàng)，得：3x﹣2x＜﹣1，
合并同類項(xiàng)，得：x＜﹣1，
其解集在數(shù)軸上表示如下：
，
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．
5．將含30°角的一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，若∠1＝50°，則∠2等于（　?。?br />
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
解：如圖所示，

∵AB∥CD
∴∠ABE＝∠1＝50°，
又∵∠2是△ABE的外角，
∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
6．如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC，一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】利用圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，而點(diǎn)B是展開圖的一邊的中點(diǎn)，再利用螞蟻爬行的最近路線為線段可以得出結(jié)論．
解：將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”，側(cè)面展開圖為矩形，
∵圓柱的底面直徑為AB，
∴點(diǎn)B是展開圖的一邊的中點(diǎn)，
∵螞蟻爬行的最近路線為線段，
∴C選項(xiàng)符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓柱的側(cè)面展開圖，最短路徑問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．分解因式：m3﹣4m＝　m（m﹣2）（m+2）?。?br /> 【分析】當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式有公因式，將其分解因式時(shí)應(yīng)先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．
解：m3﹣4m，
＝m（m2﹣4），
＝m（m﹣2）（m+2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法分解因式，利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，要注意分解因式要徹底．
8．為了解某校學(xué)生對(duì)湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1000名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．結(jié)果顯示有95名學(xué)生知曉．由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的學(xué)生有 　950　名．
【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中知曉“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的人數(shù)所占比例即可得．
解：估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的學(xué)生有：1000×＝950（名）．
故答案為：950．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查樣本估計(jì)總體，熟練掌握樣本估計(jì)總體的思想及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
9．已知xy＝2，x﹣3y＝3，則2x3y﹣12x2y2+18xy3＝　36?。?br /> 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整體代入求值即可．
解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）
＝2xy（x﹣3y）2，
∵xy＝2，x﹣3y＝3，
∴原式＝2×2×32
＝4×9
＝36，
故答案為：36．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，利用因式分解將代數(shù)式化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
10．若關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)P（a+1，﹣a﹣3）在第 　四　象限．
【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍，由a的取值范圍可得出a+1＞0，﹣a﹣3＜0，進(jìn)而可得出點(diǎn)P在第四象限，此題得解．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：a＞﹣1且a≠0．
∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0，
∴點(diǎn)P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限．
故答案為：四．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ＞0，找出關(guān)于a的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在量角器的圓心O處下掛一鉛錘，制作了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)傾儀．量角器的0刻度線AB對(duì)準(zhǔn)樓頂時(shí)，鉛垂線對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是50°，則此時(shí)觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是　40°　．

【分析】過A點(diǎn)作AC⊥OC于C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠OAC，再根據(jù)仰角的定義即可求解．
解：過A點(diǎn)作AC⊥OC于C，
∵∠AOC＝50°，
∴∠OAC＝40°．
故此時(shí)觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是40°．
故答案為：40°．

【點(diǎn)評(píng)】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，仰角是向上看的視線與水平線的夾角，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出∠OAC的度數(shù)．
12．第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖所示，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）后能夠與它本身重合，則角α可以為 　60（答案不唯一）　度．（寫出一個(gè)即可）

【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．
解：360°÷6＝60°，
則這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)60°后能夠與它本身重合，
故答案為：60（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，掌握正六邊形的中心角是關(guān)鍵．
13．已知二元一次方程組，則x﹣y的值為 　1?。?br /> 【分析】將第一個(gè)方程化為x＝4﹣2y，并代入第二個(gè)方程中，可得2（4﹣2y）+y＝5，解得y＝1，將y＝1代入第一個(gè)方程中，可得x＝2，即可求解．
解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二個(gè)方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
將y＝1代入第一個(gè)方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案為：1；
解法二：∵，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握加減消元法與代入消元法．
14．如圖，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分點(diǎn)，若陰影部分的面積是π，則半圓的半徑OA的長為　3?。?br />
【分析】連接OC、OD，利用同底等高的三角形面積相等可知陰影部分的面積等于扇形OCD的面積，列式計(jì)算就可．
解：連接OC、OD、CD．
∵點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCD＝∠AOC，
∴CD∥AB，
∵△COD和△CBD等底等高，
∴S△COD＝S△BCD．
∴陰影部分的面積＝S扇形COD，
∵陰影部分的面積是π，
∴＝π，
∴r＝3，
故答案為3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積等于扇形OCD的面積．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15．解不等式組請(qǐng)按下列步驟完成解答．
（1）解不等式①，得 　x≥﹣3　；
（2）解不等式②，得 　x＜1??；
（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

（4）原不等式組的解集是 　﹣3≤x＜1?。?br /> 【分析】分別解這兩個(gè)不等式，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來，找到解集的公共部分即可得到原不等式組的解集．
解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來為：

（4）原不等式組的解集為：﹣3≤x＜1．
故答案為：（1）x≥﹣3；
（2）x＜1；
（4）﹣3≤x＜1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，在數(shù)軸上找到解集的公共部分是解題的關(guān)鍵．
16．學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)旅行活動(dòng)，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)．已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．
【分析】根據(jù)題意可知：張老師騎車用的時(shí)間﹣汽車用的時(shí)間＝2，即可列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗(yàn)．
解：設(shè)張老師騎車的速度為x千米/小時(shí)，則汽車的速度為3x千米/小時(shí)，
由題意可得：﹣2＝，
解得x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原分式方程的解，
答：張老師騎車的速度是15千米/小時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的分式方程．
17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求證：DE＝BC．

【分析】利用平行線的性質(zhì)得∠EDC＝∠B，再利用ASA證明△CDE≌△ABC，可得結(jié)論．
【解答】證明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲：在一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)小球（除標(biāo)號(hào)外無其它差異）．從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)后放回口袋中，充分搖勻后，再從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下該小球的標(biāo)號(hào)，兩次記下的標(biāo)號(hào)分別用x、y表示．若x+y為奇數(shù)，則甲獲勝；若x+y為偶數(shù)，則乙獲勝．
（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求（x，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；
（2）你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請(qǐng)說明理由．
【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
解：畫樹狀圖如圖所示，

（1）共有16種等可能的結(jié)果數(shù)；
（2）這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平，
理由是：
∵x+y為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為8，x+y為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為8，
∴甲獲勝的概率＝＝，乙獲勝的概率＝＝，
∴甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率，
∴這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．
四、解答題（每小題7分，共28分）?
19．如圖，已知正比例函數(shù)y1＝x與反比例函數(shù)y2的圖象交于A（2，2），B兩點(diǎn)．
（1）求y2的解析式并直接寫出y1＜y2時(shí)x的取值范圍；
（2）以AB為一條對(duì)角線作菱形，它的周長為4，在此菱形的四條邊中任選一條，求其所在直線的解析式．

【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)解析式，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，（也可以直接利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．）觀察圖象即可得出x的取值范圍；
（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，可證得△AOE是等腰直角三角形，得出：∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，再根據(jù)菱形性質(zhì)可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根據(jù)對(duì)稱性可得C（﹣1，1），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得菱形的邊所在直線的解析式．
解：（1）設(shè)反比例函數(shù)y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由圖象可知：當(dāng)y1＜y2時(shí)，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四邊形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周長為4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的對(duì)稱性可得：C（﹣1，1），
設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n，
則，
解得：，
∴AD所在直線的解析式為y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直線的解析式為y＝3x+4，AC所在直線的解析式為y＝x+，BD所在直線的解析式為y＝x﹣．

【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)等，難度適中，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
20．如圖，在2×6的方格紙中，已知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求畫格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
（1）在圖1中畫一個(gè)銳角三角形，使P為其中一邊的中點(diǎn)，再畫出該三角形向右平移2個(gè)單位后的圖形．
（2）在圖2中畫一個(gè)以P為一個(gè)頂點(diǎn)的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．

【分析】（1）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可；
（2）根據(jù)題意畫出合適的圖形即可，注意本題答案不唯一，主要作出的圖形符合題意即可．
解：（1）如圖1中△ABC即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖2中△ABC即為所求（答案不唯一）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換、作圖—平移變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，注意不要忘記畫出平移后或旋轉(zhuǎn)后的圖形．
21．隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，小剛利用無人機(jī)來測(cè)量廣場(chǎng)B，C兩點(diǎn)之間的距離．如圖所示，小剛站在廣場(chǎng)的B處遙控?zé)o人機(jī)，無人機(jī)在A處距離地面的高度是41.6m，此時(shí)從無人機(jī)測(cè)得廣場(chǎng)C處的俯角為63°，他抬頭看無人機(jī)時(shí)，仰角為α，若小剛的身高BE＝1.6m，EA＝50m（點(diǎn)A、E、B、C在同一平面內(nèi)）．
（1）求仰角α的正弦值；
（2）求B，C兩點(diǎn)之間的距離．（計(jì)算結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

【分析】（1）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥AG于點(diǎn)H．由題意可得∠ACG＝63°，AG＝41.6m，AE＝50m，EB＝GH＝1.6m，則AH＝AG﹣GH＝40（m），故sinα＝．
（2）在Rt△ACG中，tan63°＝≈1.96，解得CG≈21.22，在Rt△AEH中，AE＝50m，AH＝40m，EH＝＝30（m），則BG＝30m，根據(jù)BC＝BG+CG可得出答案．
解：（1）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥AG于點(diǎn)H．

由題意可得∠ACG＝63°，AG＝41.6m，AE＝50m，EB＝GH＝1.6m，
∴AH＝AG﹣GH＝40（m），
∴sinα＝，
即仰角α的正弦值為．
（2）在Rt△ACG中，∠ACG＝63°，AG＝41.6m，
tan63°＝≈1.96，
解得CG≈21.22，
在Rt△AEH中，AE＝50m，AH＝40m，
∴EH＝＝30（m），
∴BG＝30m，
∴BC＝BG+CG＝30+21.22≈51（m）．
答：B，C兩點(diǎn)之間的距離約為51m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．
22．某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市50名教師某日行走的步數(shù)情況并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表（不完整）：
步數(shù)/步
頻數(shù)
頻率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
d
0.04
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）寫出a，b，c，d的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（2）該市約有37800名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12000步（包含12000步）的教師有多少名．

【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)求解即可；
（2）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中步數(shù)超過12000（包含12000）的頻率和即可．
解：（1）a＝8÷50＝0.16，b＝12÷50＝0.24，c＝50×0.2＝10，d＝50×0.04＝2，
補(bǔ)全圖形如下：

（2）37800×（0.2+0.06+0.04）＝11340（名），
答：用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12000（包含12000）的教師有11340名．
【點(diǎn)評(píng)】考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖的意義和制作方法，掌握頻數(shù)、頻率、總數(shù)之間的關(guān)系是正確計(jì)算的前提．
23．隨著“公園城市”建設(shè)的不斷推進(jìn)，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個(gè)超大型“體育場(chǎng)”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風(fēng)尚．甲、乙兩人相約同時(shí)從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是18km/h，乙騎行的路程s（km）與騎行的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）直接寫出當(dāng)0≤t≤0.2和t＞0.2時(shí)，s與t之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）何時(shí)乙騎行在甲的前面？

【分析】（1）根據(jù)圖象分段設(shè)出函數(shù)解析式，在用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)乙的路程大于甲的路程即可求解．
解：（1）當(dāng)0≤t≤0.2時(shí)，設(shè)s＝at，
把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，
解得：a＝15，
∴s＝15t；
當(dāng)t＞0.2時(shí)，設(shè)s＝kt+b，
把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，
得，
解得，
∴s＝20t﹣1，
∴s與t之間的函數(shù)表達(dá)式為s＝；
（2）由（1）可知0≤t≤0.2時(shí)，乙騎行的速度為15km/h，而甲的速度為18km/h，則甲在乙前面；
當(dāng)t＞0.2時(shí)，乙騎行的速度為20km/h，甲的速度為18km/h，
設(shè)t小時(shí)后，乙騎行在甲的前面，
則18t＜20t﹣1，
解得：t＞0.5，
答：0.5小時(shí)后乙騎行在甲的前面
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)圖象用待定系數(shù)法分段求函數(shù)解析式．
24．已知：如圖，四邊形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿DA邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），0＜t＜5．

根據(jù)題意解答下列問題：
（1）用含t的代數(shù)式表示AP；
（2）設(shè)四邊形CPQB的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)QP⊥BD時(shí)，求t的值；
（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)E在∠ABD的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）如圖作DH⊥AB于H則四邊形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的長即可解決問題；
（2）作PN⊥AB于N．連接PB，根據(jù)S＝S△PQB+S△BCP，計(jì)算即可；
（3）當(dāng)PQ⊥BD時(shí)，∠PQN+∠DBA＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，推出tan∠QPN＝＝，由此構(gòu)建方程即可解決問題；
（4）存在．連接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．當(dāng)BE平分∠ABD時(shí)，△KBH≌△KBM，推出KH＝KM，BH＝BM＝8，設(shè)KH＝KM＝x，在Rt△DKM中，（6﹣x）2＝22+x2，解得x＝，作EF⊥AB于F，則△AEF≌△QPN，推出EF＝PN＝（10﹣2t），AF＝QN＝（10﹣2t）﹣2t，推出BF＝16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，由KH∥EF，可得＝，由此構(gòu)建方程即可解決問題；
解：（1）如圖作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC是矩形，
∴CD＝BH＝8，DH＝BC＝6，
∴AH＝AB﹣BH＝8，AD＝＝10，BD＝＝10，
由題意AP＝AD﹣DP＝10﹣2t（0＜t＜5）

（2）作PN⊥AB于N．連接PB．在Rt△APN中，PA＝10﹣2t，
∴PN＝PA?sin∠DAH＝（10﹣2t），AN＝PA?cos∠DAH＝（10﹣2t），
∴BN＝16﹣AN＝16﹣（10﹣2t），
S＝S△PQB+S△BCP＝?（16﹣2t）?（10﹣2t）+×6×[16﹣（10﹣2t）]＝t2﹣t+72（0＜t＜5）

（3）當(dāng)PQ⊥BD時(shí)，∠PQN+∠DBA＝90°，
∵∠QPN+∠PQN＝90°，
∴∠QPN＝∠DBA，
∴tan∠QPN＝＝，
∴＝，
解得t＝，
經(jīng)檢驗(yàn)：t＝是分式方程的解，
∴當(dāng)t＝s時(shí)，PQ⊥BD．

（4）存在．
理由：連接BE交DH于K，作KM⊥BD于M．
當(dāng)BE平分∠ABD時(shí)，△KBH≌△KBM，
∴KH＝KM，BH＝BM＝8，設(shè)KH＝KM＝x，
在Rt△DKM中，（6﹣x）2＝22+x2，
解得x＝，
作EF⊥AB于F，則△AEF≌△QPN，
∴EF＝PN＝（10﹣2t），AF＝QN＝（10﹣2t）﹣2t，
∴BF＝16﹣[（10﹣2t）﹣2t]，
∵KH∥EF，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝，
經(jīng)檢驗(yàn)：t＝是分式方程的解，
∴當(dāng)t＝s時(shí)，點(diǎn)E在∠ABD的平分線．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題，解直角三角形、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形或全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)理由參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25．問題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證＝．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明＝．
嘗試證明：
（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：＝；
應(yīng)用拓展：
（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．


【分析】（1）證明△CED∽△BAD，由相似三角形的性質(zhì)得出，證出CE＝CA，則可得出結(jié)論；
（2）①由折疊的性質(zhì)可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC＝，則可求出答案；
②由折疊的性質(zhì)得出∠C＝∠AED＝α，則tan∠C＝tanα＝，方法同①可求出CD＝，則可得出答案．
【解答】（1）證明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴．
（2）解：①∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴BD+CD＝，
∴3CD＝，
∴CD＝；
∴DE＝；
②∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，
∴tan∠C＝tanα＝，
由（1）可知，，
∴tanα＝，
∴BD＝CD?tanα，
又∵BC＝BD+CD＝m，
∴CD?tanα+CD＝m，
∴CD＝，
∴DE＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值m和最小值n，進(jìn)而根據(jù)m﹣n＝3得到關(guān)于t的方程，解方程即可．
解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴拋物線開口向下，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大值＝4，
∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最小值＝0，
∵當(dāng)3＜x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，y最小值＝3．
∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為4，最小值為0；
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，對(duì)t進(jìn)行分類討論，
①當(dāng)t+3＜3時(shí)，即t＜0，y隨著x的增大而增大，
當(dāng)x＝t+3時(shí)，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
當(dāng)x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合題意，舍去），
②當(dāng)0≤t＜3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，
∴m＝4，
i）當(dāng)0≤t≤時(shí)，在x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合題意，舍去）；
ii）當(dāng)＜t＜3時(shí)，在x＝t+3時(shí)，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），
③當(dāng)t≥3時(shí)，y隨著x的增大而減小，
當(dāng)x＝t時(shí)，m＝﹣t2+6t﹣5，
當(dāng)x＝t+3時(shí)，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合題意，舍去），
綜上所述，t＝3﹣或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，分類討論是解題的關(guān)鍵．


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