2023屆湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題卷由長郡中學(xué)；衡陽市八中；永州市四中；岳陽縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中；石門縣一中；澧縣一中；益陽市一中；桃源縣一中；株洲市二中；麓山國際；郴州市一中；岳陽市一中；婁底市一中；懷化市三中；邵東市一中；洞口縣一中聯(lián)合命題命題學(xué)校：澧縣一中  審題學(xué)校：攸縣一中注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．已知i為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（    ）A．1 B． C． D．4．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則a的值為（    ）A． B． C．1 D．25．已知各項為正的等比數(shù)列的公比為q，前n項的積為，且，若，數(shù)列的前n項的和為，則當(dāng)取得最大值時，n等于（    ）A．6 B．7 C．8 D．96．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點A，B，C，D，四面體ABCD的體積為，BD經(jīng)過該鞠的中心，且，，則該鞠的表面積為（    ）A． B． C． D．7．已知，，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（    ）A． B． C． D．8．已知，點P為直線上的一點，點Q為圓上的一點，則的最小值為（    ）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．以下說法正確的是（    ）A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位數(shù)為88B．相關(guān)系數(shù)r的絕對值接近于0，兩個隨機變量沒有相關(guān)性C．的展開式中常數(shù)項為15D．必然事件和不可能事件與任意事件相互獨立10．已知直三棱柱中，，，M，N，Q分別為棱，，AC的中點，P是線段上（包含端點）的動點，則下列說法正確的是（    ）A．平面MNAB．三棱錐的體積為定值C．的最大值為4D．若P為的中點，則過A，M，P三點的平面截三棱柱所得截面的周長為11．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，過作斜率為的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點（A在第一象限），，P為線段AB的中點，O為坐標原點，則下列說法正確的是（    ）A．  B．雙曲線C的離心率為2C．的面積為 D．直線OP的斜率為12．已知函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②，．是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．關(guān)于對稱 B．的一個周期為C．不關(guān)于對稱 D．關(guān)于對稱三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．人群中患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有15%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.5%，則不吸煙者中患肺癌的概率是________．（用分數(shù)表示）14．已知函數(shù)，，若，且在上單調(diào)遞增，則的值為________．15．已知拋物線C：，O為坐標原點，過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點（點A在第一象限），且，直線AO交拋物線的準線于點C，△AOF與△ACB的面積之比為4：9，則p的值為________．16．函數(shù)．若，使得成立，則整數(shù)a的最大值為________．（參考數(shù)據(jù)：，，）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足．（1）求證：；（2）求的最大值．18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，若對于恒成立，求的取值范圍．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O，，，，平面平面PBD，M為線段PB上的一點．（1）證明：平面ABCD；（2）當(dāng)AM與平面PBD所成的角的正弦值最大時，求平面MAC與平面ABCD夾角的余弦值．20．（本小題滿分12分）一個不透明的盒子中有質(zhì)地、大小相同的球5個，其中紅球3個，黃球2個，每次不放回的隨機從盒中取一個球，當(dāng)盒中只剩一種顏色時，停止取球．（1）求盒子中恰剩2個紅球的概率；（2）停止取球時，記盒子中所剩球的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．21．（本小題滿分12分）已知橢圓E：經(jīng)過點，且離心率為．F為橢圓E的左焦點，點P為直線l：上的一點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B，連接AB，AF，BF．（1）求證：直線AB過定點M，并求出定點M的坐標；（2）記△AFM、△BFM的面積分別為和，當(dāng)取最大值時，求直線AB的方程．參考結(jié)論：點為橢圓上一點，則過點Q的橢圓的切線方程為．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若，求在上的單調(diào)性；（2）若存在，對，恒有，求實數(shù)k的取值范圍．2023屆湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號12345678答案CACBBDAD1．C【解析】∵，，∴，故選C．2．A【解析】∵，∴的對應(yīng)點為，在第一象限，故選A．3．C【解析】∵，，∴，為在上的投影向量，故選C．4．B【解析】∵的斜率為，∴，，，∴．故選B．5．B【解析】∵，∴，，．又，為等差數(shù)列，，，所有正項和使取得最大值，最后一個正項為，∴最大．故選B．6．D【解析】如圖，取AC的中點M，連接BM與球O交于另一點N，連接OM，DN，易知AC為圓面ABC的直徑，平面ABC，O，M分別為BD，BN的中點，所以平面ABC，∵，∴，即，在Rt△ABC中，，∴，∴，∴球O的表面積為．故選D．7．A【解析】對兩邊取對數(shù)，，而在上單調(diào)遞增，∴．法一：令，，∴在單調(diào)遞減，∴，即，∴；法二：；又，∴，∴．故選A．8．D【解析】令，即，∴M點的坐標為，則的最小值為的最小值，即點M到直線的距離為．故選D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．題號9101112答案ACDACADABD9．ACD【解析】對于A，∵，∴第75百分位數(shù)為88，正確；對于B，相關(guān)系數(shù)r的絕對值接近于0，只能說兩個隨機變量沒有線性相關(guān)性，錯誤；對于C，常數(shù)項為，正確；由定義可得D項成立．故選ACD．10．AC【解析】連接，，易證平面平面，平面，則平面MNA，故A正確；，故B錯誤；，當(dāng)P和重合時，最大為4，故C正確；由題意，A，M，P三點所確定的截面周長為，故D錯誤．故選AC．11．AD【解析】由題意可得，，∴，A正確；∵過的直線斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，∴，在中，由余弦定理得，即，，∴，B錯誤；∵，∴，∴的面積為，C錯誤；設(shè)，，由得，，則直線OP的斜率為，D正確．故選AD．12．ABD【解析】對于A，由兩邊求導(dǎo)得，即關(guān)于對稱，A正確；對于B，由為偶函數(shù)，知關(guān)于對稱，又，則關(guān)于對稱，所以的一個周期為，的一個周期為，所以B正確；對于C，當(dāng)時，由，得，關(guān)于對稱，當(dāng)時，不關(guān)于對稱，所以C不對；對于D，由為偶函數(shù)，知關(guān)于對稱，即，則，即關(guān)于對稱，所以D正確．故選ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解析】設(shè)不吸煙者中患肺癌的概率為x，由全概率公式得：，解得．14．2【解析】，由，得，故，，，又在上單調(diào)遞增，∴，∴．故當(dāng)時，．15．4【解析】設(shè)，，由得，∴，，又AB是焦點弦，∴，則，∴點，，解得．16．【解析】，易知是周期為的周期函數(shù)．，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，且．構(gòu)造函數(shù)，求得，由基本不等式可得，當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，故，所以有，即為函數(shù)的最大值．若，使得成立，即，亦即，構(gòu)造函數(shù)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，所以，，所以，令，則，構(gòu)造函數(shù)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，，，所以滿足條件的整數(shù)，故整數(shù)，所以整數(shù)a的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解析】（1）∵，∴，……2分∴，∴．……4分（2）由（1）可得：，且C為鈍角，即，……5分即，，……6分，……9分當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故的最大值為．……10分18．【解析】（1）∵，∴，兩式作差得，∴，……2分當(dāng)時，，∴，……3分所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，……4分故．……5分（2）∵，∴，……7分∴，①，②兩式作差得，化簡得，……9分∵恒成立，∴，，當(dāng)時，；……10分當(dāng)時，；……11分當(dāng)時，，，所以，綜上所述，．……12分19．【解析】（1）連接PO，過點A作PO的垂線，垂足為H，∵平面平面PBD，且交線為PO，∴平面PBD，……1分又∵平面PBD，∴，……2分又∵四邊形ABCD為菱形，∴，又∵，∴平面PAC，……3分又∵平面PAC，∴，……4分又∵，，∴平面ABCD．……5分（2）連接MH，由（1）知∠AMH為AM與平面PBD所成的角，……6分∴，當(dāng)點M為PB的中點時，最大為，……7分如圖，以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，易知平面ABCD的一個法向量為．設(shè)平面AMC的法向量，則令得，即，……9分設(shè)平面MAC與平面ABCD的夾角為，則，……11分所以當(dāng)AM與平面PBD所成的角的正弦值最大時，平面MAC與平面ABCD夾角的余弦值為．……12分20．【解析】（1）恰剩2紅球，第3次必是黃球，．……5分（2）X的所有可能取值為1，2，3，……6分，……7分，……8分，……9分∴X的分布列為X123P……10分．……12分21．【解析】（1）由題意可得即，，……2分故橢圓E的方程為．……3分設(shè)，，，由參考結(jié)論知過點P在A處的橢圓E的切線方程為，……4分同理，過點P在B處的橢圓E的切線方程為．∵點P在直線PA，PB上，∴……5分∴直線AB的方程為，則直線AB過定點．……6分（2）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立得，……7分故，，……8分∴，……10分當(dāng)且儀當(dāng)，即時取等號，……11分此時直線AB的方程為．……12分閱卷說明：第一問用極點極線直接得結(jié)果的扣2分．22．【解析】（1）時，，，……1分，，，單調(diào)遞減；……2分，，，單調(diào)遞增．……3分綜上所述，在，上單調(diào)遞減；在，上單調(diào)遞增．……4分（2）今，，則，．……5分①若，，，∴在單調(diào)遞增，，，∴，，，，單調(diào)遞減，∴，，不合題意；……7分②若，，，∴在單調(diào)遞增，，，∴，，，，單調(diào)遞減，∴，，不合題意；……9分（③若，，，∴在單調(diào)遞增，∴成立；∴在恒成立，故時，符合題意．……11分綜上，k的取值范圍是．……12分
 

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