2023屆新疆阿勒泰地區(qū)高三素養(yǎng)調(diào)研第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（問卷） 一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集定義即可求得.【詳解】由題意可得：，∴故選：B2．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】先化簡，然后利用模的公式進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以故選：B3．已知一個圓錐的底面積為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件底面積和側(cè)面積建立方程，求出圓錐的底面半徑和側(cè)棱，再求出高，然后再求體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長分別為r，h，l，則解得所以．圓錐的體積 故選：C4．古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，大約公元前417年一公元前369年）通過下圖來構(gòu)造無理數(shù)，記，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用銳角三角函數(shù)求出，再利用兩角和的余弦公式和二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】由圖可知，，，，，，.故選：A.5．設(shè)分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合解方程組、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可,【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)在右支，則有，而，代入，或舍去，由，或舍去，故選：C6．如圖（1）反映了我國2016-2021年全國R&D經(jīng)費(fèi)及投入強(qiáng)度情況；圖（2）反映了我國2016-2021年全國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)及占R&D經(jīng)費(fèi)投入比重情況.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是（    ）A．2019-2020年，我國R&D經(jīng)費(fèi)與GDP之比增長幅度最快B．2016-2021年，我國R&D經(jīng)費(fèi)總量及基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)均逐年增長C．2016-2021年，我國R&D經(jīng)費(fèi)總量平均值超過21000億元D．2016-2021年，我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)及占R&D經(jīng)費(fèi)投入比重的中位數(shù)分別為1213億元及【答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖讀取相關(guān)數(shù)據(jù)，再逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，由圖(1)可得2017年我國R&D經(jīng)費(fèi)與GDP之比比2016增長0.02%，2018年我國R&D經(jīng)費(fèi)與GDP之比比2017增長0.02%，2019年我國R&D經(jīng)費(fèi)與GDP之比比2019增長0.10%，2020年我國R&D經(jīng)費(fèi)與GDP之比比2020增長0.175%，2021年我國R&D經(jīng)費(fèi)與GDP之比比2021增長0.03%，A正確；由統(tǒng)計(jì)圖(1) 2016-2021年，我國R&D經(jīng)費(fèi)總量（單位：億元）依次為，所以2016-2021年期間，我國R&D經(jīng)費(fèi)總量逐年增加，由統(tǒng)計(jì)圖(2) 2016-2021年，我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)（單位：億元）依次為， 所以2016-2021年期間，我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)逐年增加，B正確；所以2016-2021年，我國R&D經(jīng)費(fèi)總量的平均值為（億元），所以2016-2021年，我國R&D經(jīng)費(fèi)總量平均值超過21000億元，C正確；由圖(2) 2016-2021年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)的中位數(shù)為（億元），2016-2021年我國基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占R&D經(jīng)費(fèi)投入比重的中位數(shù)為，D錯誤；故選：D.7．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且相鄰兩對稱軸之間的距離為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知是周期為的奇函數(shù)，從而得出解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可解決.【詳解】∵的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱∴，即又∵的相鄰兩個對稱軸之間距離為，∴，即故，∴根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得：∴.故選：A8．從分別標(biāo)有的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則在抽取第1張為偶數(shù)的前提條件下，抽到第2張卡片上的數(shù)也為偶數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)事件為第1張為偶數(shù)，事件為第2張為偶數(shù)，則，，根據(jù)條件概率公式得到答案.【詳解】設(shè)事件為第1張為偶數(shù)，事件為第2張為偶數(shù)，則，，故.故選：A9．在中，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將表示成，再根據(jù)，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求出的值.【詳解】,,,則，，,,,,,,即.故選：D.10．已知兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，是銳角，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用向量建立不等式，再借助幾何意義求出圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小值即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，顯然圓與x軸相離，即點(diǎn)不共線，于是是銳角當(dāng)且僅當(dāng)，而，依題意，，即恒成立，表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，又點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，其圓心為，半徑為1，因此，從而，又，解得，所以的取值范圍為.故選：B11．.設(shè)，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造：，利用其單調(diào)性即可判斷.【詳解】令則在上單調(diào)遞增，即∴在上單調(diào)遞增，即而∴在上單調(diào)遞增即∴綜上故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值比大小，可以利用構(gòu)造新函數(shù)的方法，本題需要利用泰勒展開式，屬于較難題.12．四棱錐中，，其余各條棱長均為1，則直線與直線所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)四邊形的半徑為，求得和，進(jìn)而求得，在中，由余弦定理可得，設(shè)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】如圖（1）所示，四棱錐中，，其余各條棱長均為1，所以點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面四邊形的外接圓的圓心，即四邊形為圓內(nèi)接四邊形，如圖（2）所示根據(jù)四邊形的對稱性，可得為外接圓的直徑，所以，設(shè)四邊形的半徑為，在直角中，可得，設(shè)，可得，所以，可得，在中，由余弦定理可得，設(shè)，且，可得，，則，設(shè)異面直線與直線所成角的范圍為，其中，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：C.  二、填空題13．若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________.【答案】2【分析】由偶函數(shù)的概念列方程即可求得.【詳解】∵函數(shù)為偶函數(shù)∴即又∵∴故答案為：14．已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)到軸的距離為__________.【答案】##【分析】由題意求得直線，得出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系為：，再由拋物線的定義可得結(jié)果.【詳解】易知：拋物線的焦點(diǎn)且準(zhǔn)線，如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為過分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，設(shè)與y軸交于D，∴直線，與拋物線方程聯(lián)立可得,，由梯形中位線可知：，則.故答案為：15．已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為__________.【答案】1【分析】由有兩等根，可得得，由可得 為對稱軸，可得，則可得到的解析式，對分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性可得的最大值.【詳解】解：已知方程有兩等根，即有兩等根，，解得；，得，是函數(shù)圖象的對稱軸.而此函數(shù)圖象的對稱軸是直線，，故，若在上的最大值為，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，綜上，的最大值為1.故答案為：1.16．已知函數(shù)，若任意，使得，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)已知不等式的形式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為任意，使得成立，當(dāng)時，，所以此時函數(shù)單調(diào)遞減，于是有在上恒成立，，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，所以有，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：進(jìn)行兩次構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 三、解答題17．根據(jù)某種病毒的變異發(fā)展實(shí)際，某地防控措施有了重大調(diào)整.其中，老人是否接種疫苗備受關(guān)注，為了了解某地區(qū)老人是否接種了疫苗，現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500名老人，結(jié)果如下：    性別接種情況男女未接種2010已接種230240 (1)估計(jì)該地區(qū)老人中，已接種疫苗的比例；(2)能否有的把握認(rèn)為該地區(qū)的老人是否接種疫苗與性別有關(guān)？(3)以（1）中統(tǒng)計(jì)比例作為該地區(qū)老人接種疫苗的概率，隨機(jī)調(diào)查10名老人，記接種疫苗人數(shù)為，求的均值.（結(jié)果保留到個位）參考公式：，其中.0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879  【答案】(1)94%(2)沒有的把握認(rèn)為該地區(qū)的老人是否接種疫苗與性別有關(guān)；(3)9 【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知老年人中已接種人數(shù)為，總?cè)藬?shù)500，代入計(jì)算即可求解；（2）計(jì)算與6.635比較大小，若大于表示有99%的把握，若小于則表示沒有99%的把握；（3）根據(jù)題意，代入公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知該地區(qū)老人中，已接種疫苗的比例為.（2）根據(jù)表格將數(shù)據(jù)代入可得：沒有的把握認(rèn)為該地區(qū)的老人是否接種疫苗與性別有關(guān)；（3）由已知得，則，因此，的平均值為9.18．如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）通過線線平行證線面平行，即在上取一點(diǎn)，使得，得四邊形為平行四邊形，從而得證；（2）建立以為中心的空間坐標(biāo)系，利用二個面的法向量夾角求得二面角的余弦值.【詳解】（1）如圖，在上取一點(diǎn)，使得.四邊形為平行四邊形，，又平面平面，直線平面.（2）由條件可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則令，解得：；設(shè)平面的法向量為，則令，解得：設(shè)二面角為.由圖象可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為：.19．已知等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用裂項(xiàng)法求和即可.【詳解】（1），解得，或（舍）（2）20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為動點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線與的斜率之積為.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)動點(diǎn)，則的中點(diǎn)，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化與直線斜率與坐標(biāo)的關(guān)系，整理運(yùn)算即可得動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程即可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)垂直平分線與軸交于點(diǎn)的橫坐標(biāo)得的范圍，從而可求弦長的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)動點(diǎn)，則的中點(diǎn)，所以則，依題意，，整理得，又，故動點(diǎn)的軌跡方程為；（2）設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，則恒成立，所以由韋達(dá)定理可得，可得的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線方程為，，由已知條件得：，解得，，，，所以.21．已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2) 【分析】（1）對求導(dǎo)，判斷的正負(fù)即可得出答案；（2）將題意轉(zhuǎn)化為，令，對求導(dǎo)，求出的單調(diào)性和值域，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由已知，，有，令，解得由，可知當(dāng)變化時，的變化情況如下表：0-0+遞減極小值遞增 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）令，則存在，使得兩邊同時除以得即令由已知，即，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為.(1)求直線和曲線的普通方程；(2)設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程消去參數(shù),能求出直線的普通方程；曲線的極坐標(biāo)根據(jù)，由此能求出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)系方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.則消得，所以直線普通方程為.因?yàn)?/span>，所以曲線普通方程為；（2）將直線的參數(shù)方程代入得：,∵,異號，.23．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若對任意，都有，求正整數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根據(jù)，將原不等式化為，分別討論，，三種情況即可求解；（2）利用絕對值三角不等式轉(zhuǎn)化為，接著解不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，∴當(dāng)時，不等式化為，即；當(dāng)時，不等式化為，此時不等式解集為；當(dāng)時，不等式化為，即；綜上，當(dāng)時，求不等式的解集為；（2）∵，∴轉(zhuǎn)化為，解得或∴正整數(shù)最小值3. 

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