2023屆四川省瀘州市高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．若，則的虛部是（    ）A． B．1 C． D．i【答案】A【分析】先利用共軛復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算，再利用復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以的虛部為.故選：A.2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，，所以，故選：A3．某地區(qū)年夏天迎來(lái)近年來(lái)罕見的高溫極端天氣，當(dāng)?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計(jì)了八月份每天的最高氣溫和最低氣溫，得到如下圖表：根據(jù)圖表判斷，以下結(jié)論正確的是（    ）A．月每天最高氣溫的極差小于B．月每天最高氣溫的中位數(shù)高于C．月前天每天最高氣溫的方差大于后天最高氣溫的方差D．月每天最高氣溫的方差大于每天最低氣溫的方差【答案】D【分析】根據(jù)給定的每天最高氣溫與最低氣溫的折線圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，月每天最高氣溫的極差大于，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，月每天最高氣溫不低于的數(shù)據(jù)有個(gè)，其它都低于，把個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列，中位數(shù)必小于，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，8月前天每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差小，波動(dòng)較小，后天每天最高氣溫的極差大，數(shù)據(jù)波動(dòng)很大，因此月前天每天最高氣溫的方差小于后天最高氣溫的方差，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，月每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差大，每天最低氣溫的數(shù)據(jù)極差較小，每天最高氣溫的數(shù)據(jù)波動(dòng)也比每天最低氣溫的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，因此月每天最高氣溫的方差大于每天最低氣溫的方差，D對(duì).故選：D.4．已知拋物線C：的焦點(diǎn)是F，若點(diǎn)P是C上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為4，則的值是（    ）A．2 B．4 C． D．5【答案】C【分析】直接根據(jù)拋物線的焦半徑公式求解即可.【詳解】由拋物線C：，可知，則，又點(diǎn)P是C上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為4，所以，所以根據(jù)拋物線定義，可得.故選：C.5．已知的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的可能取值為（    ）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】首先寫出二項(xiàng)式展開的通式，根據(jù)題意存在常數(shù)項(xiàng)，可得，進(jìn)而得到的可能取值.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，即，由于，故必為的倍數(shù)，即的可能取值為.故選：C6．若直線為曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)k的值是（    ）A．e B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以，所以切線斜率，所以曲線在點(diǎn)的切線方程為，又，所以切線方程為，又切線方程為，所以，解得，，故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.7．已知，，則的值是(    )A． B．- C． D．-【答案】D【分析】先由題設(shè)條件判定值的正負(fù)，再求出的值得解.【詳解】，又，，，解得.故選：D8．銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成．某人在銀行自助取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后1位數(shù)字，如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算公式，結(jié)合概率加法的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事件：一次就按對(duì)，事件：二次按對(duì)，所以不超過(guò)2次就按對(duì)的概率為，故選：B9．若雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，為半徑的圓F與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形OAFB為菱形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率（    ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)四邊形OAFB為菱形，且圓的半徑為，得到是正三角形，，則求解.【詳解】雙曲線C的半焦距，圓F過(guò)原點(diǎn)O.依題意易知是正三角形，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．《九章算術(shù)》中關(guān)于“芻童”（上、下底面均為矩形的棱臺(tái)）體積計(jì)算的注釋：將上底面的長(zhǎng)乘以二與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長(zhǎng)乘以二與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．現(xiàn)有“芻童”，其上、下底面均為正方形，若，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均為，則該“芻童”的體積為（    ）A．224 B．448 C． D．147【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形得到是“芻童”其中一條側(cè)棱與與底面所成角的平面角，從而求得該芻童的高，進(jìn)而根據(jù)芻童的體積公式即可求得結(jié)果．【詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，過(guò)作，如圖，.因?yàn)?/span>“芻童”上、下底面均為正方形，且每條側(cè)棱與底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面，所以是“芻童”其中一條側(cè)棱與底面所成角的平面角，則，因?yàn)?/span>，所以，易知四邊形是等腰梯形，則，所以在中，，則，即“芻童”的高為，則該芻童的體積.故選：B．11．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)，可得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，從而有，再結(jié)合可得函數(shù)的周期為4，然后利用周期和將化到上即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以函數(shù)的周期為4，所以，因?yàn)?/span>，所以.故選：C.12．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，給出下列不等式：①；②；③；④．其中可能成立的個(gè)數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式恒等變換公式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，所以函數(shù)在正實(shí)數(shù)集上為增函數(shù)，因?yàn)?/span>是正實(shí)數(shù)，所以由，因此由，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，于是有，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，由上可知，，或，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)等式進(jìn)行變形構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 二、填空題13．在邊長(zhǎng)為2的正中，在方向上的投影是__________．【答案】1【分析】由題意求出數(shù)量積，再根據(jù)投影的公式求解即可.【詳解】解：由已知得，所以在方向上的投影為，故答案為：1.14．寫出使“函數(shù)為奇函數(shù)”的的一個(gè)取值______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出，從而得出的一個(gè)取值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以.即的一個(gè)取值為.故答案為：（答案不唯一）15．已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在表面積為的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________．【答案】【分析】先求出半徑，根據(jù)條件列出圓柱底面半徑和母線的關(guān)系，即可得到側(cè)面積表達(dá)式，然后用基本不等式即可求解最大值.【詳解】解：設(shè)球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，母線為l，由題意可知，，又圓柱的兩個(gè)底面的圓周都在球面上，則滿足，而圓柱的側(cè)面積，，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，，故答案為：16．在中，，D為BC的中點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【分析】先設(shè)，由三角形三邊關(guān)系得到，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與余弦定理得到，從而利用換元與基本不等式求得的最小值，結(jié)合與在上的單調(diào)性即可求得的最大值.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，所以，由三角形三邊關(guān)系，可知且，解得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)?/span>，所以,所以，解得，則，，令，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，解得，因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，所以的最大值為.故答案為：. .【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題中突破口為，由此得到，再結(jié)合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解. 三、解答題17．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，已知．(1)求；(2)在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)選①：選②： 【分析】（1）利用與的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；（2）求出的通項(xiàng)公式，利用分組求和求得.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由,    可得,兩式相減，可得:，整理得，又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.（2）選①：由(1)可得，.則.選②：由(1)可得，則.18．強(qiáng)基計(jì)劃?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過(guò)的概率均為；該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過(guò)的概率依次為，，m，其中．(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門科目的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，求m的取值范圍．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布概率的計(jì)算公式，以及獨(dú)立事件求概率的方法，即可求解恰好通過(guò)一門科目的概率；（2）考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)X服從二項(xiàng)分布，期望可直接利用公式求解，而考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)Y需求出分布列，再求期望，根據(jù)即可求出m的取值范圍【詳解】（1）解：設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過(guò)一門筆試科目為事件，該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好通過(guò)一門筆試科目為事件，根據(jù)題意可得，.（2）設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為X，報(bào)考乙大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，，，，，則隨機(jī)變量的分布列為Y0123P ，若，則，故，即的取值范圍是.19．如圖，在斜三棱柱中，，，側(cè)面為菱形，且，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，，平面平面．設(shè)平面與平面ABC的交線為l．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）分別延長(zhǎng)交于E，連接，則即為平面與平面的交線，取中點(diǎn)，連接，證得平面，又可證得從而有平面；（2）以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出面與面的法向量，用空間向量求二面角的余弦值．【詳解】（1）證明:分別延長(zhǎng)，設(shè)，連接，則即為平面與平面的交線，因?yàn)?/span>，取中點(diǎn)，連接，所以平面，因?yàn)槠矫?/span>平面，且交線為，所以平面.因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn),，所以為的中點(diǎn)，所以，所以平面；（2）由（1）知，因?yàn)?/span>.所以，取的中點(diǎn),因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以BC，由（1）知平面，所以，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以，則,設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，所以，由圖知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.20．已知橢圓C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F與l垂直的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合，得出橢圓C的方程；（2）討論直線l的斜率存在和為0的情況，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得出，再由基本不等式得出所求范圍.【詳解】（1）由題意可知，，解得，故橢圓C的方程為；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，，當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，則直線的方程為，由，得，設(shè)，則，同理可得，因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以，綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問(wèn)題二時(shí)，關(guān)鍵是將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理的形式，再由基本不等式得出范圍.21．已知函數(shù)．(1)若是的一個(gè)極值點(diǎn)，求的最小值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn)求出，然后根據(jù)單調(diào)性可求最小值；（2）構(gòu)造同類型結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在定理可求答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，是的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，得；當(dāng)時(shí)，，令可得.減函數(shù)極小值增函數(shù) 由表可知是的一個(gè)極值點(diǎn)，且最小值為.（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，設(shè)函數(shù),問(wèn)題等價(jià)于方程有兩個(gè)解，恒成立，即單調(diào)遞增，所以，問(wèn)題等價(jià)于方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，設(shè)即有兩個(gè)解，令問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，為了使有兩個(gè)零點(diǎn)，需要，解得，即，解得，由于當(dāng)時(shí)， 所以在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn).綜上知的取值范圍是.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：一是利用極值點(diǎn)求解參數(shù)時(shí)，要進(jìn)行檢驗(yàn)；二是利用零點(diǎn)存在定理判斷區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，要保證區(qū)間端點(diǎn)值異號(hào).22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)，若l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，求m的值．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先利用正弦函數(shù)的和差公式化簡(jiǎn)直線的極坐標(biāo)方程，再利用代入即可得解；（2）結(jié)合（1）中條件寫出直線過(guò)點(diǎn)的參數(shù)方程，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求得曲線C的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，利用參數(shù)的幾何意義得到關(guān)于的方程，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，即，又，則，即，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可得直線的方程為，則點(diǎn)落在直線上，且直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，又，所以直線過(guò)點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)榍€C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得，整理得，則，解得，不妨設(shè)方程的兩根為，則，由直線參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義可知，則，解得或，皆滿足題意，所以或.23．已知函數(shù)．(1)若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的最小值為5，且正數(shù)a，b，c滿足．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由絕對(duì)值三角不等式得，由題意知，從而求得的取值范圍；（2）先由題意得，再利用柯西不等式即可得證．【詳解】（1）由絕對(duì)值三角不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，因?yàn)?/span>，恒成立，則，即，所以或，即或，所以的取值范圍為．（2）由（1）知，的最小值為，所以，解得或，因?yàn)?/span>，所以，所以，則，故，所以由柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故. 

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