2023屆貴州省高三333高考備考診斷性聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知全集，集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出集合A，根據(jù)補(bǔ)集的定義和運(yùn)算求出B的補(bǔ)集，結(jié)合交集的定義和運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，∴，又或，∴故選：B．2．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和除法運(yùn)算法可得，再求得即可.【詳解】由復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算可得，所以，則，故選：D．3．為了發(fā)展學(xué)生的興趣和個(gè)性特長(zhǎng)，培養(yǎng)全面發(fā)展的人才．某學(xué)校在不加重學(xué)生負(fù)擔(dān)的前提下．提供個(gè)性、全面的選修課程．為了解學(xué)生對(duì)于選修課《學(xué)生領(lǐng)導(dǎo)力的開(kāi)發(fā)》的選擇意愿情況，對(duì)部分高二學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如圖所示的兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖，下列結(jié)論正確的是（    ）A．樣本中不愿意選該門(mén)課的人數(shù)較多B．樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)C．樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)D．該等高條形圖無(wú)法確定樣本中男生人數(shù)是否多于女生人數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)等高條形圖直接判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由圖乙可知，樣本中男生，女生都大部分愿意選擇該門(mén)課，則樣本中愿意選該門(mén)課的人數(shù)較多，A錯(cuò)誤；對(duì)于BCD，由圖甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比較大，所以可以確定，樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，B正確，CD錯(cuò)誤.故選：B．4．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由約束條件可作出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)連線斜率的最大值求解問(wèn)題，結(jié)合圖象可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，則，，，設(shè)點(diǎn)，，其中在可行域內(nèi)，，由圖可知：當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，直線斜率最大，.故選：D．5．若雙曲線C：的離心率為2，C的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，從而得到雙曲線的右焦點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)勾股定理，求解直線和圓的弦長(zhǎng)即可.【詳解】由題可知，離心率，得，雙曲線C：的一條漸近線不妨為，即，圓的圓心為，半徑為，可得圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)為.故選：A．6．在平行四邊形ABCD中，，，，，則（    ）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】B【分析】以為基底表示，代入向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】  如圖，∵，，，∴，∴.故選：B．7．，下列說(shuō)法正確的是（）①為偶函數(shù)；②的最小正周期為；③在區(qū)間上先減后增；④的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)．A．①③ B．①④ C．③④ D．②④【答案】A【分析】由題可得，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由輔助角公式可得：，對(duì)①，由題可知，為偶函數(shù)，①正確；對(duì)②，最小正周期，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，令，，在區(qū)間先減后增，復(fù)合函數(shù)同增異減易知，③正確；對(duì)④，，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，④錯(cuò)誤.故選：A．8．鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中．已知人眼距離地面高度，某建筑物高，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物的位置，測(cè)量人與鏡子的距離，將鏡子后移a米，重復(fù)前面中的操作，則測(cè)量人與鏡子的距離，則鏡子后移距離a為（    ）A．6m B．5m C．4m D．3m【答案】A【分析】設(shè)建筑物底部到第一次觀察時(shí)鏡面位置之間的距離為，根據(jù)光線反射性質(zhì)列出關(guān)于的方程組，求解即可.【詳解】如圖：設(shè)建筑物最高點(diǎn)為A，建筑物底部為，第一次觀察時(shí)鏡面位置為，第一次觀察時(shí)人眼睛位置為C處，第二次觀察時(shí)鏡面位置為，設(shè)到之間的距離為，由光線反射性質(zhì)得，所以，即，①同理可得，②①②兩式相比得，解得，代入①得，故選：A．9．將4個(gè)A和2個(gè)B隨機(jī)排成一行，2個(gè)B不相鄰的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別計(jì)算出4個(gè)A和2個(gè)B隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)B不相鄰的種數(shù)，可利用插空法，然后由古典概型的概率公式求解即可．【詳解】4個(gè)A和2個(gè)B隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)A產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)B相鄰，則有種排法，若2個(gè)B不相鄰，則有種排法，共有15種不同的排法.所以2個(gè)B不相鄰的概率為.故選：C．10．已知函數(shù)，，對(duì)任意，，都有不等式成立，則a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求在上的最小值、在上的最小值，即可得結(jié)果.【詳解】對(duì)任意，，都有不等式成立，，，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，，，，則在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞減，，，故，綜上，.故選：C11．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)P在棱上，且P靠近B點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何關(guān)系利用勾股定理可以求出，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理可得，解得，，由得：，解得：或，又因?yàn)?/span>，且P靠近B點(diǎn)，所以．由正弦定理可得，外接圓半徑，三棱錐P-ABC的外接球半徑R滿(mǎn)足：，∴外接球表面積，故選：D．12．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，當(dāng)數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)，n的值為（    ）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】由遞推式得到，結(jié)合等差中項(xiàng)知為等差數(shù)列，進(jìn)而寫(xiě)出其通項(xiàng)公式并判斷單調(diào)性，最后判斷上各項(xiàng)的符號(hào)，即可確定前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)n的值.【詳解】①，則②，②－①得：，即，則數(shù)列為等差數(shù)列，且，由得：，則公差，所以，數(shù)列單調(diào)遞減，而，，，......，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，且，，當(dāng)時(shí)，恒成立，顯然，，即數(shù)列的前32項(xiàng)和最大.故選：C 二、填空題13．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則____________．【答案】24【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)及其前n項(xiàng)和的通項(xiàng)，設(shè)的公比為q，代入計(jì)算，解得 即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則即，解得，∴．故答案為：24.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角θ是以O為頂點(diǎn)，Ox軸為始邊，若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值等于____________．【答案】##【分析】由三角函數(shù)定義求出，，再根據(jù)兩角和的正弦求得結(jié)果.【詳解】∵θ的終邊過(guò)點(diǎn)，則，，∴．故答案為：.15．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作斜率大于0的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的面積為____________．【答案】##【分析】易得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出韋達(dá)定理，結(jié)合求出參數(shù)的值，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為：，所以焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為：，，由，消整理得：，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，代入，解得：，所以.故答案為：16．黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．黎曼函數(shù)定義在上，其解析式如下： 若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的都有，當(dāng)時(shí)，，則____________．【答案】##【分析】利用為奇函數(shù)和滿(mǎn)足可得的周期﹒利用周期可將化為，結(jié)合可求；利用周期和奇函數(shù)性質(zhì)可將化到內(nèi)利用解析式求解．【詳解】∵，∴，又是奇函數(shù)，∴，∴，的一個(gè)周期為2．∵，∴，∴．故答案為：. 三、解答題17．某單位為了解職工對(duì)垃圾回收知識(shí)的重視情況，對(duì)本單位的200名職工進(jìn)行考核，然后通過(guò)隨機(jī)抽樣抽取其中的50名，統(tǒng)計(jì)其考核成績(jī)（單位：分），制成如圖所示的頻率分布直方圖． (1)估計(jì)該單位職工考核成績(jī)低于80分的人數(shù)；(2)估計(jì)該單位職工考核成績(jī)的中位數(shù)t（精確到0.1）．【答案】(1)32人(2)中位數(shù)為84.7分． 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出考核成績(jī)低于80分的頻率，進(jìn)而可以求出結(jié)果；（2）先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，利用中位數(shù)特征列方程求出結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得考核成績(jī)低于80分的頻率為，∴估計(jì)該單位職工考核成績(jī)低于80分的人數(shù)為（人）．（2）∵前三組的頻率為，前四組的頻率為，∴設(shè)中位數(shù)為．由，得，∴計(jì)該單位職工考核成績(jī)的中位數(shù)為84.7分．18．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，求c的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再用余弦定理可求出角；（2）由（1）已知角，可借助正弦定理化邊為角，再利用輔助角公式及正弦三角函數(shù)的性質(zhì)可解．【詳解】（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．19．如圖甲，在四邊形PBCD中，PD//BC，．現(xiàn)將△ABP沿AB折起得圖乙，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．證明：(1)；(2)PC⊥平面ABM．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，AC，由題意可證△PBA、△ABC是正三角形，則PE⊥AB、EC⊥AB．根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可證明；（2）如圖，取PC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN//AB，即A，B，N，M四點(diǎn)共面，得BN⊥PC．由（1），結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明.【詳解】（1）如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，AC，∵AD＝BC且AD//BC，故四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD且AB//CD．又PB＝PA＝CD，∴PA＝PB＝AB，即△PBA是正三角形，∴PE⊥AB，在圖甲中，，則，由，知△ABC是正三角形，故EC⊥AB．又，平面PEC，∴AB⊥平面PEC，又平面PEC，∴AB⊥PC．（2）如圖，取PC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，∵M是PD的中點(diǎn)，∴MN//CD．由（1）知AB∥CD，∴MN//AB，∴A，B，N，M四點(diǎn)共面．∵PB＝BC，∴BN⊥PC．由（1）AB⊥PC，又，平面ABNM，∴PC⊥平面ABNM，即PC⊥平面ABM．20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論在上的單調(diào)性．【答案】(1)(2)在上是減函數(shù)． 【分析】（1）求導(dǎo)，計(jì)算斜率，再用點(diǎn)斜式求解即可；（2）令，求出，根據(jù)、可得使，可得、時(shí)的單調(diào)性，從而得解.【詳解】（1），∴，又，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即；（2）令，則在上遞減，且，，∴，使，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞增，在上遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然，等號(hào)不成立，故，∴在上是減函數(shù)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷一個(gè)函數(shù)是單調(diào)增還是單調(diào)減，我們可以通過(guò)求導(dǎo)函數(shù)來(lái)判斷，如果導(dǎo)函數(shù)為正值，那么原函數(shù)就是單調(diào)增的，如果導(dǎo)函數(shù)為負(fù)值，那么原函數(shù)就是單調(diào)減的，而如果導(dǎo)函數(shù)為0，那么可能是函數(shù)的極值點(diǎn).21．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn),,證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)橢圓和拋物線的幾何性質(zhì)即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，求出直線的方程，利用直線和圓相切,直線和圓相切分別出關(guān)于和的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓方程可知短軸長(zhǎng)為，∴拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故拋物線方程為．（2）∵是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，∴且，∴．設(shè)，，則直線方程為，即，∵直線DM：與圓E：相切，∴，整理可得，，①同理，直線DN與圓E相切可得，，②由①②得a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，∴，，代入，化簡(jiǎn)整理可得，，令，解得，故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線：．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求直線l的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；(2)求曲線上一點(diǎn)N到直線l距離的最小值，并求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線的極坐標(biāo)方程為：，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）(2)，． 【分析】（1）利用消元法求出直線的直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可求出直線的極坐標(biāo)方程，直接根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得曲線的一個(gè)參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示出點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得出距離最小值，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消得直線的普通方程為，將代入直線的普通方程，得直線的極坐標(biāo)方程為：，曲線的一個(gè)參數(shù)方程為：（為參數(shù)）．（2）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，設(shè)，則到直線的距離為：，其中，，當(dāng)，即時(shí)取得最小值，，，，， 故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，曲線上一點(diǎn)到直線距離的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．23．已知函數(shù)，(1)求不等式的解集N；(2)設(shè)N的最小數(shù)為n，正數(shù)a，b滿(mǎn)足，求的最小值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）分類(lèi)討論的取值范圍去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為一次不等式求解；（2）由題意得，將，代入化簡(jiǎn)后使用基本不等式求最小值.【詳解】（1），即，∴或或，解得或或，∴不等式的解集．（2）由（1），∴，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值為． 

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