2023屆長郡十八校聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考（全國卷）數(shù)學（理）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式求得集合，解一元二次不等式得集合，即可得集合的交集.【詳解】∵，當且僅當時，等號成立，∴，又∵，∴.故選：B.2．如果一個復數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復數(shù)為“等部復數(shù)”，若復數(shù)（其中）為“等部復數(shù)”，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)“等部復數(shù)”得的值，即可得，從而得，從而可確定其復平面內(nèi)對應(yīng)的點所對應(yīng)的象限.【詳解】∵，又∵“等部復數(shù)”的實部和虛部相等，復數(shù)z為“等部復數(shù)”，∴，解得，∴，∴，即，∴復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點是，位于第四象限.故選：D.3．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（    ）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】D【分析】如圖所示，畫出可行域，，表示直線與軸的截距，截距最小時，最大，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】畫出可行域，如圖所示：，則，表示直線與軸的截距，截距最小時，最大，當直線過交點，，即時，.故選：D4．已知，那么在下列不等式中，不成立的是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】，則，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來進行判斷，同時也要注意正弦、余弦有界性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.5．希爾伯特在1990年提出了孿生素數(shù)猜想,其內(nèi)容是：在自然數(shù)集中,孿生素數(shù)對有無窮多個.其中孿生素數(shù)就是指相差2的素數(shù)對,即若和均是素數(shù),素數(shù)對稱為孿生素數(shù).從16以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個,其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析20以內(nèi)的素數(shù),再分析其中孿生素數(shù)的對數(shù),再分別求解所以可能的情況種數(shù)以及孿生素數(shù)的對數(shù)求概率即可.【詳解】20以內(nèi)的素數(shù)有2,3,5,7,11,13共6個,從中任取兩個共有種可能,其中構(gòu)成孿生素數(shù)的有3和5,5和7,11和13共3對,∴16以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個,其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率.故選：B【點睛】本題主要考查了古典概型的問題,需要根據(jù)題意分析總的情況數(shù)以及滿足條件的基本事件數(shù).屬于基礎(chǔ)題.6．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．已知該數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，記，，則數(shù)列的前20項和是（    ）A．110 B．100 C．90 D．80【答案】A【分析】根據(jù)所給數(shù)列的項歸納出通項公式，利用分組求和法求和即可.【詳解】觀察此數(shù)列可知，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，因為，所以數(shù)列的前20項和為：，故選：A7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（    ）A．64 B．128 C．256 D．384【答案】B【分析】根據(jù)三視圖得到該幾何體是一個四棱錐求解.【詳解】解：如圖所示：由三視圖知：該幾何體是一個四棱錐，其底面積為，高為，所以其體積為，故選：B8．八一廣場是南昌市的心臟地帶，江西省最大的城市中心廣場，八一南昌起義紀念塔為八一廣場標志性建筑，塔座正面攜刻“八一南昌起義簡介”碑文，東?南?西三面各有一幅反映武裝起義的人物浮雕.塔身正面為“八一南昌起義紀念塔”銅胎鎏金大字，塔頂由一支直立的巨型“漢陽造”步槍和一面八一軍旗組成.八一南昌起義紀念塔的建成，表達了億萬人民永遠緬懷老一輩無產(chǎn)階級革命家創(chuàng)建和培育解放軍的豐功偉績，鼓勵國人進行新的長征.現(xiàn)某興趣小組準備在八一廣場上對八一南昌起義紀念塔的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為紀念塔最頂端，B為紀念塔的基座（即B在A的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C?D兩點，測得的長為m.興趣小組成員利用測角儀可測得的角有.????，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，不能計算出紀念塔高度的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)解三角形的條件，逐項判斷可解三角形求出塔高度的選項即可．【詳解】對于A：由m，?可以解，又，可求塔高度；對于B：在中，由無法解三角形，在中，由無法解三角形，在中，已知兩角無法解三角形，所以無法解出任意三角形，故不能求塔高度；對于C：由，可以解，可求，又，即可求塔高度；對于D：如圖，過點B作于點E，連接，由，，知，故可知的大小，由??m可解，可求，又，可求塔高度.故選：B.9．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律可得函數(shù)的圖象，由、設(shè)，則，分別利用、，求出可得答案.【詳解】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，可得，由可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，不妨設(shè)，則，即在時取得最小值，由于，此時，不合題意；，此時，當時，滿足題意.故選：C.10．已知，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個解，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合法，令，可得方程的解有3個，對應(yīng)的一元二次方程各有2個不相等的實數(shù)根，利用判別式求解的范圍.【詳解】令，則方程的解有3個，由圖象可得，，且三個解分別為，則，，，均有兩個不相等的實根，則，且，且，即且，解得，當時，，因為，所以，所以，且，所以，即恒成立，故的取值范圍為.故選:B.11．雙曲線的左焦點為F，過點F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，若過A，B和點的圓的圓心在y軸上，則直線l的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用韋達定理結(jié)合可得，再根據(jù)弦長公式表示得,結(jié)合即可求直線l的斜率.【詳解】由題意可知：，設(shè)，，的中點為P，過點A，B，M的圓的圓心坐標為，則，由題意知：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組化簡整理可得，，則，，，故的中點P的縱坐標，橫坐標，則，由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以，化簡整理可得：①，則圓心到直線的距離，，，即，將①代入可得：，即，整理可得：，則，因為，所以，解得，∴.故選:A.12．《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬（如圖），平面，點E，F分別在上，當空間四邊形的周長最小時，三棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把剪開，使得與矩形在同一個平面內(nèi).延長到M，使得，則四點P，E，F，M在同一條直線上時，取得最小值，即空間四邊形的周長取得最小值.可得，∴.∴點E為的中點.設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，則，利用勾股定理進而得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，把剪開，使得與矩形在同一個平面內(nèi).延長到M，使得，則四點P，E，F，M在同一條直線上時，取得最小值，即空間四邊形的周長取得最小值.可得，∴.∴點E為的中點.如圖所示，設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，易得，則.設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，連接，則，則.∴三棱錐外接球的表面積.故選：B. 二、填空題13．已知，則等于___________.【答案】【分析】要求，即求展開式中項的系數(shù)，進而根據(jù)二項式定理求解即可；【詳解】解:因為，對于，其展開式通項為.所以，中含的項為，所以展開式中含的項系數(shù)為.故答案為：.14．已知向量，，，若，則___________.【答案】【分析】用向量的坐標運算即可.【詳解】依題意： ，解得m=-4，故答案為：-4.15．已知，則___________.【答案】【分析】根據(jù)已知等式平方后相加可得，即，根據(jù)已知角度范圍即可得，從而可得，，再根據(jù)誘導公式轉(zhuǎn)化即可得所求.【詳解】等式，兩邊同時平方得，，兩式相加，得，，整理得，即，因為，所以，得，代入，得，即，則，則.故答案為：.16．設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為.若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】由函數(shù)有兩個極值點分別為，可知不單調(diào)，利用導數(shù)求得的范圍，運用韋達定理可得，作差，再由條件，結(jié)合恒成立思想，運用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，通過求導，判斷單調(diào)性可得，即可得到的范圍.【詳解】∵函數(shù)有兩個極值點分別為，的定義域為，令，其判別式，當時，在上單調(diào)遞減，不合題意.當時，的兩根都小于零，在上，，則在上單調(diào)遞減，不合題意.當時，，設(shè)的兩個根都大于零，令，當時，，當時，，當時，，故分別在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，∴a的取值范圍是.∵，∴，若恒成立，則，∴，由，則.又，∴，∴①恒成立，記，，記的兩根為，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且易知.又，∴當時，；當時，.故由①式可得，，代入方程，得.又，∴a的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查極值的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用和基本不等式的運用，考查運算能力，屬于難題. 三、解答題17．在數(shù)列中，，點在直線上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論，利用錯位相減法求和作答.【詳解】（1）依題意，，即，因此數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）得，則，于是，兩式相減得，所以.18．基礎(chǔ)學科招生改革試點，也稱強基計劃，強基計劃是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學科拔尖的學生.聚焦高端芯片與軟件?智能科技?新材料?先進制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國家人才緊缺的人文社會科學領(lǐng)域.某校在一次強基計劃模擬考試后，從全體考生中隨機抽取52名，獲取他們本次考試的數(shù)學成績（x）和物理成績（y），繪制成如圖散點圖：根據(jù)散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異常點A，B.經(jīng)調(diào)查得知，A考生由于重感冒導致物理考試發(fā)揮失常，B考生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學準確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計的值：，，，，，其中分別表示這50名考生的數(shù)學成績?物理成績，，2，…，50，y與x的相關(guān)系數(shù).(1)若不剔除A，B兩名考生的數(shù)據(jù)，用52組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時y與x的相關(guān)系數(shù)為.試判斷與r的大小關(guān)系（不必說明理由）；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并估計如果B考生加了這次物理考試（已知B考生的數(shù)學成績?yōu)?/span>125分），物理成績是多少？（精確到0.1）附：線性回歸方程中：.【答案】(1)(2)，估計B考生的物理成績約為81.2分 【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合散點圖，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法，以及線性回歸方程的公式，求出線性回歸方程，再將代入，即可求解．【詳解】（1）理由如下：由圖可知，與成正相關(guān)關(guān)系，①異常點，會降低變量之間的線性相關(guān)程度，②52個數(shù)據(jù)點與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更小，③50個數(shù)據(jù)點與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大，④50個數(shù)據(jù)點更貼近其回歸直線，⑤52個數(shù)據(jù)點與其回歸直線更離散．（2）由題中數(shù)據(jù)可得：，所以，所以，，所以，將代入，得，所以估計B考生的物理成績約為81.2分.19．如圖，在四棱錐中，為棱上一點，，四邊形為矩形，且平面.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接交于點，連接，利用線面平行的性質(zhì)得，利用平行線分線段成比例可得線段長度，從而由勾股定理得線線垂直，再利用線面垂直的判定定理證明線面垂直；（2）利用線面關(guān)系，證明線線垂直，建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的坐標運算分別確定平面與平面的法向量，根據(jù)坐標運算得二面角的余弦值，即可確定二面角大小.【詳解】（1）連接交于點，連接，因為平面，平面平面，平面，所以，又，所以，又，所以.因為，所以，所以，所以，又平面，所以平面.（2）因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面所以平面.如圖建系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，又平面的一個法向量為，所以，且二面角為銳角，故二面角的大小為.20．如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于兩點（在軸上方），且，設(shè)點在軸上的射影為點，的面積為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過拋物線的焦點與橢圓交于兩，點，與拋物線交于兩點.(1)求橢圓及拋物線的標準方程；(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)，(2)存在， 【分析】（1）設(shè)，由解得，利用可得，再求得的值，即可得橢圓C方程，由拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，即可得拋物線的標準方程；（2）設(shè)直線的方程為，，分別讓直線與橢圓、拋物線聯(lián)立，得交點坐標關(guān)系，從而得弦長，即可求得的值.【詳解】（1）由題意可設(shè)，可得，所以，所以，，所以，所以，點P坐標代入橢圓方程得，所以橢圓C方程為，所以，即，所以拋物線E方程為.（2）設(shè).直線l的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，則恒成立，所以則.直線l的方程為，與拋物線E的方程聯(lián)立得...要使為常數(shù)，則，得.故存在，使為常數(shù).21．設(shè)函數(shù).(1)證明：當時，有唯一零點；(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)判斷函數(shù) 的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在法則求解；（2）求導，根據(jù)導函數(shù)的結(jié)構(gòu)，對a分類討論.【詳解】（1） ，令 ，則 ，則 單調(diào)遞增，且 ，∴ ， 單調(diào)遞減，  單調(diào)遞增，且 ，則，∴存在唯一零點 ，使得，即有唯一零點；（2），則 ，又令 ，①當，即時， 恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴ ，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴（不合題意）；②當即時，  在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴ ，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴（符合題意）；③當，即時，由 ，∴ ，使 ，且時， ，∴在上單調(diào)遞增，∴（不符合題意）；綜上，a的取值范圍是；【點睛】本題的函數(shù)類型是三角函數(shù)與非三角函數(shù)組合成的，對于這一類函數(shù)往往是在一個周期 內(nèi)討論或半個周期內(nèi)討論 ；如果一次求導不能判斷清楚導函數(shù)的符號，則需要多次求導，而且每次求導后都要研究導函數(shù)的解析式能否判斷清楚導函數(shù)的符號，直至能判斷清楚導函數(shù)的符號為止.22．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸為正半軸建立極坐標，橢圓的極坐標方程為，其右焦點為，直線與橢圓交于兩點.(1)求的值；(2)若點是橢圓上任意一點，求的面積最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)極坐標方程可得橢圓的標準方程，又直線經(jīng)過點橢圓焦點，將直線參數(shù)方程代入橢圓方程，得坐標關(guān)系，即可得的值；（2）設(shè)點P坐標為，直線l的直角坐標方程為，由點到直線的距離，結(jié)合三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求得距離最大值，即可求得的面積最大值.【詳解】（1）由得橢圓的方程為，其焦點坐標為，由題意得直線經(jīng)過點，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入橢圓的方程整理得，所以，所以.（2）由橢圓方程，可設(shè)點P坐標為，又直線l的直角坐標方程為，∴點P到直線l的距離，其中，所以，因為，所以的面積最大值為.23．已知函數(shù).(1)求的最小值m；(2)若a，b為正實數(shù)，且，證明不等式.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）討論去絕對值可得的解析式及最小值；（2）由（1）可得，利用基本不等式可得答案.【詳解】（1）當時，，當時，，當時，，綜上，，可知當時，有最小值，所以；（2）由（1）可得，因為a，b為正實數(shù)，所以，所以. 

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