專題20不等式選講【2022年全國甲卷】1．已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則．【答案】(1)見解析(2)見解析 【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)，利用柯西不等式即可得證；（2）由（1）結(jié)合已知可得，即可得到，再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.（1）[方法一]：【最優(yōu)解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.[方法二]：基本不等式由，，， ，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.（2）證明：因為，，，，由（1）得，即，所以，由權(quán)方和不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以.【點睛】（1）方法一：利用柯西不等式證明，簡潔高效，是該題的最優(yōu)解；方法二：對于柯西不等式不作為必須掌握內(nèi)容的地區(qū)同學(xué)，采用基本不等式累加，也是不錯的方法． 【2022年全國乙卷】2．已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2)；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可證明；（2）利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可．（1）證明：因為，，，則，，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．（2）證明：因為，，，所以，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號． 【2021年甲卷文科】3．已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.【2021年乙卷文科】4．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）[方法一]：絕對值的幾何意義法當(dāng)時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當(dāng)或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點到所對應(yīng)的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.[方法二]【最優(yōu)解】：零點分段求解法  當(dāng)時，．當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得．綜上，的解集為．（2）[方法一]：絕對值不等式的性質(zhì)法求最小值依題意，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：絕對值的幾何意義法求最小值由是數(shù)軸上數(shù)x表示的點到數(shù)a表示的點的距離，得，故，下同解法一.[方法三]：分類討論+分段函數(shù)法 當(dāng)時，則，此時，無解．當(dāng)時，則，此時，由得，．綜上，a的取值范圍為．[方法四]：函數(shù)圖象法解不等式   由方法一求得后，構(gòu)造兩個函數(shù)和，即和，如圖，兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點，由圖易知，則．【整體點評】（1）解絕對值不等式的方法有幾何意義法，零點分段法．方法一采用幾何意義方法，適用于絕對值部分的系數(shù)為1的情況，方法二使用零點分段求解法，適用于更廣泛的情況，為最優(yōu)解；（2）方法一，利用絕對值不等式的性質(zhì)求得，利用不等式恒成立的意義得到關(guān)于的不等式，然后利用絕對值的意義轉(zhuǎn)化求解；方法二與方法一不同的是利用絕對值的幾何意義求得的最小值，最有簡潔快速，為最優(yōu)解法方法三利用零點分區(qū)間轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最小值，要注意函數(shù)中的各絕對值的零點的大小關(guān)系，采用分類討論方法，使用與更廣泛的情況；方法四與方法一的不同在于得到函數(shù)的最小值后，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解關(guān)于的不等式.【2020年新課標(biāo)1卷理科】5．已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）詳解解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)分段討論法，即可寫出函數(shù)的解析式，作出圖象；（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．【詳解】（1）因為，作出圖象，如圖所示：（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：由，解得．所以不等式的解集為．【點睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．【2020年新課標(biāo)2卷理科】6．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）分別在、和三種情況下解不等式求得結(jié)果；（2）利用絕對值三角不等式可得到，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：的解集為或.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：或，的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于?？碱}型.【2020年新課標(biāo)3卷理科】7．設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）方法一：由結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得出證明；（2）方法一：不妨設(shè)，因為，所以，則．故原不等式成立．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法，.均不為，則，．［方法二］：消元法由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以．［方法三］：放縮法方式1：由題意知，又，故結(jié)論得證．方式2：因為，所以．即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以．［方法四］：因為，所以a，b，c必有兩個負(fù)數(shù)和一個正數(shù)，不妨設(shè)則.［方法五］：利用函數(shù)的性質(zhì)方式1：，令，二次函數(shù)對應(yīng)的圖像開口向下，又，所以，判別式，無根，所以，即．方式2：設(shè)，則有a，b，c三個零點，若，則為R上的增函數(shù)，不可能有三個零點，所以．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法不妨設(shè)，因為，所以，則．故原不等式成立．［方法二］：不妨設(shè)，因為，所以，且則關(guān)于x的方程有兩根，其判別式，即．故原不等式成立．［方法三］：不妨設(shè)，則，關(guān)于c的方程有解，判別式，則．故原不等式成立．［方法四］：反證法假設(shè)，不妨令，則，又，矛盾，故假設(shè)不成立．即，命題得證．【整體點評】（1）方法一：利用三項平方和的展開公式結(jié)合非零平方為正數(shù)即可證出，證法常規(guī)，為本題的通性通法，也是最優(yōu)解法；方法二：利用消元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可證出；方法三：利用放縮法證出；方法四：利用符號法則結(jié)合不等式性質(zhì)即可證出；方法五：利用函數(shù)的性質(zhì)證出．（2）方法一：利用基本不等式直接證出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及方程有解的條件即可證出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的條件即可證出；方法四：利用反證法以及基本不等式即可證出． 

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