?2023年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷 （北京卷）
數(shù)學(xué)·全解全析
1．下列幾何體中，是圓柱的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓柱體的特征進(jìn)行判斷即可．
【詳解】圓柱體是由兩個(gè)圓形的底面和一個(gè)側(cè)面所圍成的幾何體，
因此選項(xiàng)B中的幾何體符合題意，故選B．
2．盧塞爾體育場(chǎng)是卡塔爾世界杯的主體育場(chǎng)，由中國(guó)建造，是卡塔爾規(guī)模最大的體育場(chǎng)．世界杯之后，將有約170000個(gè)座位將捐贈(zèng)給需要體育基礎(chǔ)設(shè)施的國(guó)家，其中大部分來(lái)自世界杯決賽場(chǎng)地盧塞爾體育場(chǎng)，170000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×106
【答案】B
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】170000＝1.7×105．故選B．
3．如圖，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)可能是（ ）

A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N
【答案】B
【分析】先估算的值，即可判斷．
【詳解】∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∴數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)﹣1的點(diǎn)可能是點(diǎn)Q，故選B．
4．如圖，直線a，b相交，∠1＝150°，則∠2+∠3＝（ ）

A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠2和∠3的度數(shù)，進(jìn)而可得答案．
【詳解】∵∠1＝150°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣150°＝30°，
∴∠2+∠3＝60°，故選C．
5．一個(gè)布袋內(nèi)只裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，這些球除顏色外其余都相同，隨機(jī)摸出一個(gè)球后再隨機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩個(gè)球都是黑球的情況，再利用概率公式求解即可．
【詳解】畫樹狀圖得：

∴一共有6種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)球都是黑球的有2種情況，
∴兩個(gè)球都是黑球的概率為＝．
故選B．
6．不解方程，判斷下列方程中有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．2x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．2x2+5＝0 D．x2+x＝0
【答案】D
【分析】計(jì)算出每個(gè)方程判別式的值與0的大小關(guān)系從而判斷根的情況．
【詳解】A．此方程判別式Δ＝42﹣4×2×3＝﹣8＜0，無(wú)實(shí)數(shù)根，不符合題意；
B．此方程判別式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，無(wú)實(shí)數(shù)根，不符合題意；
C．此方程判別式Δ＝02﹣4×2×5＝﹣40＜0，無(wú)實(shí)數(shù)根，不符合題意；
D．此方程判別式Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，符合題意；
故選D．
7．研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&D）經(jīng)費(fèi)是指報(bào)告期為實(shí)施研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&D）活動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的全部經(jīng)費(fèi)支出．基礎(chǔ)研究活動(dòng)是研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&D）活動(dòng)的重要組成．下面的統(tǒng)計(jì)圖是自2016年以來(lái)全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)及占R&D經(jīng)費(fèi)比重情況．

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下面四個(gè)推斷中錯(cuò)誤的是（ ）
A．2016年至2021年，全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)逐年上升
B．2016年至2021年，全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占R&D經(jīng)費(fèi)比重逐年上升
C．2016年至2021年，全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)平均值超過(guò)1000億元
D．2021年全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)比2016年的2倍還多
【答案】B
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖逐項(xiàng)分析可得答案．
【詳解】由頻數(shù)分布直方圖得，2016年至2021年，全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)逐年上升，故A正確，不符合題意；
由條形統(tǒng)計(jì)圖得，2016年至2021年，全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)占R&D經(jīng)費(fèi)比重2017和2018年持平，故B錯(cuò)誤，符合題意；
2016年至2021年，全國(guó)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)平均值為（823+975+1090+1336+1467+1696）÷6＝1231.2＞1000，故C正確，不符合題意；
823×2＝1646＜1696，故D正確，不符合題意，
故選B．
8．將一圓柱形小水杯固定在大圓柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，現(xiàn)用一個(gè)注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，如圖所示，則小水杯水面的高度h（cm）與注水時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)將一盛有部分水的圓柱形小玻璃杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內(nèi)，現(xiàn)用一注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，即可求出小水杯內(nèi)水面的高度h（cm）與注水時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象．
【詳解】將一盛有部分水的圓柱形小玻璃杯放入事先沒有水的大圓柱形容器內(nèi)，小玻璃杯內(nèi)的水原來(lái)的高度一定大于0，則可以判斷A、D一定錯(cuò)誤，用一注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，水開始時(shí)不會(huì)流入小玻璃杯，因而這段時(shí)間h不變，當(dāng)大杯中的水面與小杯水平時(shí)，開始向小杯中流水，h隨t的增大而增大，當(dāng)水注滿小杯后，小杯內(nèi)水面的高度h不再變化．
故選B．
二．填空題（共8小題）
9．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是　x≥5　．
【分析】直接利用二次根式有意義的條件進(jìn)而得出答案．
【詳解】式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣5≥0，
故實(shí)數(shù)x的取值范圍是：x≥5．
故答案為：x≥5．
10．方程＝的解為　x＝?。?br /> 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】去分母得：2x＝9x﹣3，
移項(xiàng)合并得：﹣7x＝﹣3，
解得：x＝，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝是分式方程的解，
故答案為：x＝
11．因式分解mx2+2mx+m＝　m（x+1）2?。?br /> 【分析】提公因式m后，再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】原式＝m（x2+2x+1）
＝m（x+1）2，
故答案為：m（x+1）2．
12．若（﹣1，y1），（﹣3，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，則y1?。肌2.（選填：“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性解答即可．
【詳解】∵k＞0，
∴反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
又∵（﹣1，y），（﹣3，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，且﹣3＜﹣1＜0，
∴y1＜y2．
故答案為：＜．
13．某校征集校運(yùn)會(huì)會(huì)徽，遴選出甲、乙、丙三種圖案．為了解何種圖案更受歡迎，隨機(jī)調(diào)查了該校100名學(xué)生，其中68名同學(xué)喜歡甲圖案，若該校共有2000人，根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)可以估計(jì)該校喜歡甲圖案的學(xué)生有　1360　人．
【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中喜歡甲圖案的人數(shù)所占比例即可得．
【詳解】估計(jì)該校喜歡甲圖案的學(xué)生有2000×＝1360（人），
故答案為：1360．
14．如圖，射線OC是∠AOB的平分線，P是射線OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，DP＝6，若E是射線OB上一點(diǎn)，OE＝4，則△OPE的面積是 　12　．

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PH＝DP＝6，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H，
∵OC是∠AOB的角平分線，DP⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝DP＝6，
則S△OPE＝OE×PH＝×4×6＝12，
故答案為：12．

15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E點(diǎn)為BC邊延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且CE＝3．連接AE交邊CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，則DH＝　?。?br />
【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段FC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得DF的長(zhǎng)，利用勾股定理和三角形的面積公式列出關(guān)于DH的方程，解方程即可得出結(jié)論．
【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD∥AB，DC＝AB＝4．
∴∠EFC＝∠EAB，
∵∠E＝∠E，
∴△EFC∽△EAB．
∴，∴，
∴FC＝1.5，
∴DF＝DC﹣FC＝2.5．
∴AF＝＝．
∵∠ADC＝90°，DH⊥AE，
∴S△＝AD?DF＝AF?DH．
∴AD?DF＝AF?DH，
∴5×2.5＝×DH．
∴DH＝．故答案為：．
16．我國(guó)古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中提到：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷（guǐ）長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣如圖所示．從冬至到夏至晷長(zhǎng)逐漸變小，從夏至到冬至晷長(zhǎng)逐漸變大，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量均相同，周而復(fù)始．若冬至的晷長(zhǎng)為13.5尺，夏至的晷長(zhǎng)為1.5尺，則相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為　1　尺，立夏的晷長(zhǎng)為　4.5　尺．

【分析】根據(jù)相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量相同，觀察從冬至到夏至晷長(zhǎng)變化次數(shù)即可求出相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量，從而可得立夏的晷長(zhǎng)．
【詳解】∵相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量均相同，從冬至到夏至晷長(zhǎng)變化12次，
∴相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為（13.5﹣1.5）÷12＝1（尺），
立夏的晷長(zhǎng)為1.5+3×1＝4.5（尺），
故答案為：1，4.5．
三．解答題（共12小題）
17．計(jì)算：．
【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并得出答案．
【詳解】
＝1+4×﹣2+﹣1
＝1+2﹣2+﹣1
＝．
18．先化簡(jiǎn)，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣．
【分析】直接利用乘法公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．
【詳解】原式＝4x2﹣12x+9+x2﹣16+10x﹣5x2
＝﹣2x﹣7，
當(dāng)時(shí)，
原式＝﹣2x﹣7
＝﹣2×（﹣）﹣7
＝1﹣7
＝﹣6．
19．已知：線段AB．
求作：Rt△ABC，使得∠BAC＝90°，∠C＝30°．
作法：
①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；
②連接BD，在BD的延長(zhǎng)線上截取DC＝BD；
③連接AC．
則△ABC為所求作的三角形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：連接AD．
∵AB＝AD＝BD，
∴△ABD為等邊三角形（　三邊相等的三角形是等邊三角形?。ㄌ钔评淼囊罁?jù)）
∴∠B＝∠ADB＝60°．
∵CD＝BD，
∴AD＝CD
∴∠DAC＝　∠DCA?。?　等邊對(duì)等角　）．（填推理的依據(jù)）
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
∴∠C＝30°．
在△ABC中，
∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°．

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；
（2）證明△ADB是等邊三角形，可得結(jié)論．
【解答】（1）解：圖形如圖所示：

（2）證明：連接AD．
∵AB＝AD＝BD，
∴△ABD為等邊三角形（三邊相等的三角形是等邊三角形）．（填推理的依據(jù)）》
∴∠B＝∠ADB＝60°．
∵CD＝BD，
∴AD＝CD
∴∠DAC＝∠DCA（等邊對(duì)等角）．（填推理的依據(jù)）
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
∴∠C＝30°．
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°．
故答案為：三邊相等的三角形是等邊三角形，∠DCA，等邊對(duì)等角．
20．已知關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出Δ＝36＞0，由此可證出此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用分解因式法解方程可得出方程的根x1＝m+3，x2＝m﹣3，結(jié)合x1+x2＝6，即可找出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0，
∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3．
∵x1+x2＝6，
∴2m＝6，
解得：m＝3．
21．如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，當(dāng)AF為 　　時(shí)，四邊形BCEF是菱形．

【分析】（1）由AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC，易證得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC＝EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）由四邊形BCEF是平行四邊形，可得當(dāng)BE⊥CF時(shí)，四邊形BCEF是菱形，所以連接BE，交CF與點(diǎn)G，求出FG的長(zhǎng)，則可求出答案．
【解答】（1）證明：∵AF＝DC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）解：如圖，連接BE，交CF于點(diǎn)G，

∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴當(dāng)BE⊥CF時(shí)，四邊形BCEF是菱形，
∵∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，
∴DF＝＝＝10，
∴FG＝CG＝BC?cos∠BCA＝6×＝，
∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．
故答案為：．
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1），B（1，0）．
（1）求k，b的值；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝﹣2x+n的值小于一次函數(shù)y＝kx+b的值，直接寫出n的取值范圍．
【分析】（1）通過(guò)待定系數(shù)法將A（0，﹣1），B（1，0）代入解析式求解．
（2）解含參不等式﹣2x+n≤kx+b．
【詳解】（1）將A（0，﹣1），B（1，0）代入解y＝kx+b得，
，解得，
（2）由（1）得y＝x﹣1，
解不等式﹣2x+n≤x﹣1得x≥，
由題意得≤1，即n≤2．
故答案為：n≤2．
23．2022年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)建團(tuán)100周年．某校舉辦了一次關(guān)于共青團(tuán)知識(shí)的競(jìng)賽，七、八年級(jí)各有300名學(xué)生參加了本次活動(dòng)，為了解兩個(gè)年級(jí)的答題情況，從兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行調(diào)查分析．下面給出了部分信息：
a．七年級(jí)學(xué)生的成績(jī)整理如下（單位：分）：
57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分成四組：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：

其中成績(jī)?cè)?0≤x＜90的數(shù)據(jù)如下（單位：分）：
80 80 81 82 83 84 85 86 87 89
c．兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：
年級(jí)
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級(jí)
79.05
79
m
八年級(jí)
79.2
n
74
根據(jù)所給信息，解答下列問(wèn)題：
（1）m＝　80　，n＝　80　；
（2）估計(jì) 　八　年級(jí)學(xué)生的成績(jī)高于平均分的人數(shù)更多；
（3）若成績(jī)達(dá)到80分及以上為優(yōu)秀，估計(jì)七年級(jí)和八年級(jí)此次測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)．
【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得出答案．
（2）分別求出七、八年級(jí)的成績(jī)?cè)谄骄鶖?shù)以上的占比，再乘以總?cè)藬?shù)可得七、八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)高于平均分的總?cè)藬?shù)，比較即可．
（3）由題意知，七年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)占比為，八年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)占比為，再根據(jù)300×+300×計(jì)算求解即可．
【詳解】（1）根據(jù)七年級(jí)的成績(jī)可知，
m＝80，
由題意知，八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)中第10、第11位分別是80，80，
∴n＝＝80．
故答案為：80；80．
（2）由題意知，七年級(jí)成績(jī)?cè)谄骄忠陨系挠?0人，占總數(shù)的，
∴估計(jì)七年級(jí)學(xué)生的成績(jī)高于平均分的人數(shù)為300×＝150（人），
八年級(jí)成績(jī)?cè)谄骄忠陨系挠?1人，占總數(shù)的，
∴估計(jì)八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)高于平均分的人數(shù)為300×＝165（人），
∵150＜165，
∴估計(jì)八年級(jí)學(xué)生的成績(jī)高于平均分的人數(shù)更多．
故答案為：八．
（3）由題意知，七年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)占比為，八年級(jí)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)占比為，
∴估計(jì)七年級(jí)和八年級(jí)此次測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為300×+300×＝315（人）．
答：估計(jì)七年級(jí)和八年級(jí)此次測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為315人．
24．如圖，A是⊙O上一點(diǎn)，BC是⊙O的直徑，BA的延長(zhǎng)線與⊙O的切線CD相交于點(diǎn)D，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若OC＝CP，AB＝，求CD的長(zhǎng)．

【分析】（1）由圓周角定理得出∠BAC的度數(shù)，再直角三角形的性質(zhì)得AE的長(zhǎng)，再由切線的性質(zhì)可得答案；
（2）先證明△AOC是等邊三角形，得出∠ACO＝60°，再利用三角函數(shù)可得答案．
【解答】（1）證明：連接AO，AC，

∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝90°，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴AE＝CD＝CE＝DE，
∴∠ECA＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC，
∴∠ECA+∠OCA＝90°，
∴∠EAC+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AP，
∵A是⊙O上一點(diǎn)，
∴AP是⊙O的切線；
（2）解：由（1）知OA⊥AP，
在Rt△OAP中，
∵∠OAP＝90°，OC＝CP＝AO，即OP＝2OA，
∴sinP＝＝，
∴∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠ACO＝60°，
在Rt△BAC中，
∵∠BAC＝90°，AB＝2，∠ACO＝60°，
∴AC＝＝＝2，
∵∠CAD＝90°，∠ACD＝90°﹣∠ACO＝30°，
∴CD＝＝＝．
25．跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目之一．如圖，運(yùn)動(dòng)員通過(guò)助滑道后在點(diǎn)A處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．這里OA表示起跳點(diǎn)A到地面OB的距離，OC表示著陸坡BC的高度，OB表示著陸坡底端B到點(diǎn)O的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落點(diǎn)P的水平距離是40m，豎直高度是30m．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ?。?，70）　，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ?。?0，30）??；
（2）求滿足的函數(shù)關(guān)系y＝﹣+bx+c；
（3）運(yùn)動(dòng)員在空中飛行過(guò)程中，當(dāng)他與著陸坡BC豎直方向上的距離達(dá)到最大時(shí)，直接寫出此時(shí)的水平距離．

【分析】（1）根據(jù)題意可知直接求出A，P坐標(biāo)；
（2）把A，P坐標(biāo)代入y＝﹣+bx+c，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（3）作MN∥y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點(diǎn)，先求出BC的關(guān)系式，再分別表示出M、N的縱坐標(biāo)，計(jì)算縱坐標(biāo)的差可得答案．
【詳解】（1）根據(jù)題意得，A（0，70），P（40，30），
故答案為：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得，
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+70；
（3）如圖，作MN∥y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點(diǎn)，

∵OC＝60m，
∴C（0，60），
設(shè)線段BC的關(guān)系式為y＝kx+m，則，
解得：，
所以線段BC的關(guān)系式為y＝﹣x+60，
設(shè)M（a，﹣a2+a+70），則N（a，﹣a+60），
則MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)x＝18時(shí)，MN有最大值，最大值為30.25，
答：運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離時(shí)水平距離是18m．
26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1）、點(diǎn)B（x2，y2）為拋物線y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2時(shí)，試判斷y1與y2的大小關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）若當(dāng)t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3時(shí)，存在y1＝y(tǒng)2，求t的取值范圍．
【分析】（1）先化拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣1）2+1，依此可求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；
（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)存在A到對(duì)稱軸的距離與B到對(duì)稱軸的距離相等即可解答．
【詳解】（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝1；
（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，
∴1﹣x1＞1﹣x2，
∴A離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，
若a＞0，開口向上，則y1＞y2，
若a＜0，開口向下，則y1＜y2，
（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，
存在y1＝y(tǒng)2，則t+1＜1且t+2＞1，
∴t＜0且t＞1，
∵y1＝y(tǒng)2，
∴存在1﹣x1＝x2﹣1，
即存在A到對(duì)稱軸的距離與B到對(duì)稱軸的距離相等，
∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，
∴﹣1＜t＜0．
27．已知：如圖，OB＝BA，∠OBA＝150°，線段BA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC．連接BC，OA，OC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求∠DOC的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；
（2）過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H點(diǎn)，如圖，先計(jì)算出∠OBH＝30°，∠BAO＝15°，則OH＝OB，∠OAD＝75°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB＝AC，∠BAC＝90°，則OH＝AC，接著證明四邊形ADOH為矩形得到AD＝OH，則可證明OD垂直平分AC，所以O(shè)A＝OC，則∠OCD＝∠OAD＝75°，從而得到∠DOC＝15°．
【詳解】（1）如圖，

（2）過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AB于H點(diǎn)，如圖，
∵∠ABO＝150°，BO＝BA，
∴∠OBH＝30°，∠BAO＝15°，
∴OH＝OB，∠OAD＝75°，
∵線段BA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
而BO＝BA，
∴OH＝AC，
∵OD⊥AC，BA⊥AC，OH⊥AB，
∴四邊形ADOH為矩形，
∴AD＝OH，
∴AD＝AC，
即OD垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴∠OCD＝∠OAD＝75°，
∴∠DOC＝90°﹣75°＝15°．
28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2，稱△P1PP2為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”．
（1）已知點(diǎn)A（1，2），求點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；
（2）如圖，已知點(diǎn)B（m，m），⊙T的圓心為T（2，2），半徑為2．若點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍；
（3）已知⊙O的半徑為r，OP＝2r，若點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出∠PP1P2的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)x軸，y軸對(duì)稱，求出相應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式求出面積即可；
（2）四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，Q求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可判斷；
（3）分兩種情形：當(dāng)PP2與⊙O相切于點(diǎn)E時(shí)，如圖2中，當(dāng)PP1與⊙O相切于點(diǎn)F時(shí)，如圖3中，分別求解即可．
【詳解】（1）∵點(diǎn)A（1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)（1，﹣2），點(diǎn)A關(guān)于yz軸對(duì)稱的點(diǎn)A2（﹣1，2），
∴＝×2×4＝4；
（2）∵⊙T的圓心為T（2，2），半徑為2，
∴四邊形OADC是⊙T的外接四邊形（如圖1中），

∴D（4，4），
∵點(diǎn)B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點(diǎn)，且B（m，m），
∴2﹣≤m≤4；
（3）當(dāng)PP2與⊙O相切于點(diǎn)E時(shí)，如圖2中，

∵OE＝r，OP＝2r，
∴∠OPE＝30°，
∴∠OPP1＝∠OP1P＝60°，
∴當(dāng)60°＜∠OP1P＜90°時(shí)，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)PP1與⊙O相切于點(diǎn)F時(shí)，如圖3中，

∵OF＝r，OP＝2r，
∴∠OPF＝∠OP1P＝30°，
∴當(dāng)0°＜∠OP1P＜30°時(shí)，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，
綜上所述，點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個(gè)公共點(diǎn)，∠PP1P2的取值范圍為：0°＜∠OP1P＜30°或60°＜∠OP1P＜90°．

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