高三理數(shù)摸底試卷一、單選題1．已知集合 ，集合 ，則 （　?。?/span>A． B． C． D．2．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）  A．月收入的最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元B．這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元C．這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D．7月份的利潤(rùn)最大3．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）  A．1 B． C． D．4．“”是“方程表示橢圓”的（）  A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是（）  A． B． C． D．6．將3個(gè)1和4個(gè)0隨機(jī)排成一行，則3個(gè)1任意兩個(gè)1都不相鄰的概率為（）  A． B． C． D．7．已知，則（　?。?/span>A． B． C． D．8．已知函數(shù)存在最大值0，則的值為（）  A． B． C．1 D．9．生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量C會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），C與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為（k為常數(shù)），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．若2022年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約為原始量的85%，則可推斷該文物屬于（）  參考數(shù)據(jù)：；參考時(shí)間軸：A．戰(zhàn)國(guó) B．漢 C．唐 D．宋10．設(shè)球與圓錐的體積分別為，，若球的表面積與圓錐的側(cè)面積相等，且圓錐的軸截面為正三角形，則的值是（） A． B． C． D．11．滿足不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）  A． B． C． D．12．已知，則的大小關(guān)系為（）  A． B． C． D．二、填空題13．已知向量，，若與垂直，則　     　. 14．直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，則　     　. 15．如圖所示，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是　     　. 16．已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，是的中點(diǎn)，若，則的最大值為　     　.三、解答題17．某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，其中男生200人.為了了解該校學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.參考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；  （2）若樣本中屬于“高分選手”的男生有10人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).        　屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生      　      　      　女生      　      　      　合計(jì)      　      　      　18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；  （2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.  19．如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且（1）求證：平面平面；  （2）求二面角的正弦值.  20．如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線：上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，若直線的斜率為. （1）證明：直線的斜率為定值；  （2）在中，記，，求最大值. 21．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；  （2）設(shè)、是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.  22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；  （2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，與曲線交于兩點(diǎn)，求23．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)時(shí)，函數(shù)的最小值為M．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的最小值．
 1．A2．B3．D4．A5．B6．C7．A8．B9．C10．C11．D12．D13．-314．215．16．17．（1）解： ，解得 平均數(shù)估計(jì)值為   （分）（2）解：由題意可知， 樣本中男生有 人，則女生有80人，屬于“高分選手”的有 人，其中男生10人，  則高分中女生為 人，不屬于“高分選手”的男生為 人，不屬于“高分選手”的女生為 人，因此，得到 列聯(lián)表如下：      　屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生101020女生156580合計(jì)2575100因此， 的觀測(cè)值 ，所以有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)18．（1）解：因?yàn)? ，  當(dāng) 時(shí)， ，解得 當(dāng) ， 時(shí)， ，所以 ，得 即 ，可知數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以 （2）解：由（1）可知 ，所以 ，所以 ，  所以 ，則 ，兩式相減，可得 . ，化簡(jiǎn)得 19．（1）證明：如圖所示，設(shè) 與 的交點(diǎn)為 ，  因?yàn)? 平面 且 平面 ，所以 ，又因?yàn)? 是菱形，所以 ，又因?yàn)? ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 又因?yàn)? 平面 ，所以平面 平面 （2）解：取 的中點(diǎn) ，連接 ， ， ， 為等邊三角形，  ，以 為原點(diǎn)， 為 軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得 ， ， ，又 ，則 ， ， ， ， ， ，設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，即 取 ，設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，即 取 ，設(shè)二面角 的平面角為 ，則 ，所以二面角 的正弦值為 20．（1）證明：將點(diǎn) 代入拋物線方程可得： ，拋物線 ： 設(shè)直線 方程為： ，與拋物線方程聯(lián)立可得： ，所以 ，用 代 可得： ，因此， 即 ，故直線 的斜率為定值.（2）解：由（1）可知， ，將 帶入直線 方程 ，解得 則 ，用 代 可得： ，因此直線 方程： ， 到直線 的距離 所以 因?yàn)? ，所以   ，令 ，易得此函數(shù)在 時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，則 ，所以 當(dāng)且僅當(dāng) （負(fù)值舍去）時(shí)取等號(hào)21．（1）解：函數(shù) ，  所以 ，當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立，所以 在 上單調(diào)遞增， 至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng) 時(shí)，由 得 ，所以 時(shí)， ， 單調(diào)遞減， 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，所以 時(shí) 取得極小值，也是最小值， 要有兩個(gè)零點(diǎn)，則 ，即 ，解得 ，所以 ，當(dāng) 時(shí)，得 ，當(dāng) 時(shí)， ，設(shè) ，則 所以 單調(diào)遞增，則 ，所以 ，所以 在區(qū)間 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以滿足 有兩個(gè)零點(diǎn)的 的取值范圍為 .（2）證明： 、 是 的兩個(gè)零點(diǎn)，則 ，  要證 ，即證 ，根據(jù) ，可知 ， ，即證 ，即證 ，即證 ，即證 ，設(shè) ， ，由（1）知 在 上單調(diào)遞增，故只需證明 ，而 ，所以只需證 令 ，且 所以 ， ，所以 在 上單調(diào)遞減，所以 ，所以 在 上恒成立，所以 ，故原命題得證.22．（1）解：曲線C的直角坐標(biāo)方程為 ，即 ，  因?yàn)? 所以 ，即 ，故曲線C的極坐標(biāo)方程為 .（2）解：將 代入 ，得 .設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 ， ，則 ， .因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為 ，所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為 ，所以 .  23．（1）解：不等式可轉(zhuǎn)化為：或或，解得： 或或，則有，所以不等式的解集為：（2）解：由絕對(duì)值的三角不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此，函數(shù)的最小值，即，由柯西不等式可知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為

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