①有公共頂點的兩個角,其中一個角是另一個角的一半；
③存在互補(或互余)的角.
③通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系.
①以公共端點為旋轉(zhuǎn)中心,相等的兩條線段的夾角為旋轉(zhuǎn)角； 將分散的條件集中,隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)；
②證明一對軸對稱的全等三角形；
等腰三角形,等邊三角形,等腰直角三角形,正方形.
半角模型---90°+45°
半角模型---120°+60°
半角模型---鄰補四邊形
【例1-1】如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,點D,E在BC上,且∠DAE=45o. 求證:DE2=BD2+CE2
方法一：將△ACE繞點A旋轉(zhuǎn)到△ADE′,連接E′B得△ADE≌△ADE′ 再證Rt△BDE′
方法二：將△ABD沿著AD翻折到△ADF,連接EF,得△ABD≌△AFD；△ACE≌△AFE；再證Rt△DFE
【例1-2】如圖,E,F是正方形ABCD的兩邊上的點,∠EAF=45o.求證:EF=DF+BE；
【分析】將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得△ADE′.
易證：AE′=AE,BE=DE′,∠E′AF=45o
易證：△AFE′≌△AFE(SAS)→EF=E′F
∴EF=E′F=DF+DE′=DF+BE．
將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90o得△ADE′.
∴△AEF≌△AE′F.(SAS)
證明：∵四邊形ABCD正方形.
∴BC=CD=DA=AB,∠BAD=∠B=∠ADC=90o.
∴∠ADE′=∠B=90o,∠E′AD=BAE,AE′=AE,DE′=BE,
∵∠EAF=45o,∠BAD=90o.
∴∠BAE+∠DAF=45o.
∴∠E′AF=∠E′AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45o.
∴EF=E′F=DF+BE
【例1-2】如圖,若E,F分別在CB,DC延長線上時,∠EAF=45o.EF=DF+BE還成立嗎?若成立,請證明.若不成立,寫出新的結(jié)論,并證明.
∴EF=E′F=DF-DE′=DF-BE．
【變式1】如圖,E,F是正方形ABCD的兩邊上的點,∠EAF=45o.求證:C△CEF=2BC；
∴C△CEF=CF+EF+CE
=CF+DF+BE+CE
易證：EF=E′F=DF+DE′=DF+BE.
【變式2】如圖,E,F是正方形ABCD的兩邊上的點,∠EAF=45o,BD交AE,AF于點M,N.求證：BM2+DN2=MN2
【分析】將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90o得△AMN′,連接MN′
易證：AN′=AN,DN=BN′,∠N′BA=∠NDA=45o,∠N′AM=45o
易證：△AMN′≌△AMN(SAS)→MN=MN′,∠N′BM=90o
易證：BN′2+BM2=MN′2．
∴BM2+DN2=MN2
【變式3】如圖,E,F是正方形ABCD的兩邊上的點,∠EAF=45o,BD交AE,AF于點M,N,過點A作AH⊥EF于點H,求證：(1)△ABE≌△AHE；△AHF≌△ADF； (2)EA平分∠BEF,FA平分∠DFE.
【變式4】如圖,E,F是正方形ABCD的兩邊上的點,∠EAF=45o,BD交AE,AF于點M,N.求證：(1)A、B、E、N四點共圓； (2)A、D、F、M四點共圓； (3)M、N、F、E四點共圓.
(1)∵∠EAN=∠EBN=45o,∴A、B、E、N四點共圓
(2)∵∠FAM=∠FBM=45o,∴A、D、F、M四點共圓
(3)∵∠MEN=∠MFN=45o,∴M、N、F、E四點共圓
(1)∵∠MEN=∠MFN=45o,∴M、N、F、E四點共圓
∴∠ANM=∠AEF,∠AMN=∠AFE,
∴△AMN∽△AFE.
【變式6】如圖,E,F是正方形ABCD的兩邊上的點,∠EAF=45o,BD交AE,AF于點M,N,求證：(1)△MAN∽△MDA；(2)△NAM∽△NBA.
(1)∴∠AMN=∠AMN,∠MAN=∠ADM=45o,
∴△MAN∽△MDA.
(2)∴∠ANM=∠ANM,∠MAN=∠ABN=45o,
∴△NAM∽△NBA.
【變式7】如圖,E,F是正方形ABCD的兩邊上的點,∠EAF=45o,BD交AE,AF于點M,N,求證：(1)△AMB∽△AFC；(2)△AND∽△AEC；
如圖:正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF=45o,連接BD交AE于G,AF于M,連接EM、GF.GF與EM相交于O點.則有下列結(jié)論.
②GB2+MD2=GM2
④AM=EM,AG=FG
⑦△AEF的邊EF上的高等于正方形的邊長；
⑧△EFC的周長等于正方形的邊長的2倍.
①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
②根據(jù)下面共圓,每個共圓都至少可以得到四隊相等的角.
△AGF與△AME是等腰直角三角形
①S△AEF=S△ABE+S△ADF
②S△AEF=2S△AGM
③S正方形ABCD:S△AEF=2AB:EF
①△AEF∽△AMG∽△BGE∽△DMF∽△DAG∽△MBA
【例2】如圖,△ABC是等邊三角形,BD=CD且∠BDC=120o,E、F在邊AB、AC上且∠EDF=60o.求證：EF=BE+CF.
【分析】將△BDN繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120o得△DCG,
易證：△DBE≌△DCG(SAS)→DE=DG,∠FDG=∠FDE=60o
易證：△DFE≌△DFG(SAS)→EF=GF,
∴EF=GF=GC+CF=BE+CF
如圖,△ABC是等邊三角形,BD=CD且∠BDC=120o,E在直線AB上,點F在AC的延長線上,且∠EDF=60o.試問EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系?
先將△ABE繞點A旋轉(zhuǎn)得△ADE′再證△AEF≌△AE′F結(jié)論：EF=BE-DF
【例3】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180o,E,F分別是BC,CD上的點,且∠EAF=0.5∠BAD,BE,DF,EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立,若不成立,寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
半角信息——帶形旋轉(zhuǎn)——軸對稱的全等三角形．
鄰補四邊形內(nèi)含半角(鄰邊相等，對角互補的四邊形)
1.如圖：四邊形ABCD中,E、F分別是CD、AD上的點,∠ABC= ∠ADC=90o且∠EBF=45o.猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關(guān)系.
2.如圖：四邊形ABCD中,E、F分別是CD、AD上的點, ∠ABC+∠ADC=180o且∠EBF=1/2∠ABCo.猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關(guān)系.
2.如圖：等腰直角△ABC中,∠ABC =90o,E、F都是AC上的點，且∠EBF=45o,猜想并證明線段EF、CE、AF之間的數(shù)量關(guān)系.
備注：用旋轉(zhuǎn)法和截長補短法兩種方法證明.
說明：上圖依次是45o,30o的三角形對稱(翻折),翻折形成正方形或等邊三角形等的對稱全等.(半角可以任意角去折疊,常見度數(shù)還有22.5o半角)
說明：軸對稱有如下性質(zhì)：
①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形,因而面積和周長不變.
②在反射變換下,任意兩點A和B,變換后的對應(yīng)點為A′和B′,則有直線AB和A′B′所成的角的平分線為l.
③兩點之間的距離保持不變,任意兩點A和B,變換后的對應(yīng)點為A′和B′,則有AB=A′B′.
中小學(xué)數(shù)學(xué)中的很多圖形都是軸對稱圖形,利用這些圖形的對稱軸性質(zhì),可以幫助我們解決一些計算和證明的幾何問題.
旋轉(zhuǎn)＋截長補短：破解半角模型——口訣：
正方形，等直三，內(nèi)含半角轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn).
共頂點，等線段，繞著頂點來旋轉(zhuǎn)；
雞爪圖，三線段，抓住定角也旋轉(zhuǎn)；
線段和，要得證，截長補短是正本；
1.如圖,E是正方形ABCD的邊DC上一點,(與D、C不重合),連接AE,將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE,延長EF交BC于G,連接AG,作GH⊥AG,與AE的延長線交于點H,連接CH.顯然AE是∠DAF的平分線,EA是∠DEF的平分線.仔細觀察,請逐一找出圖中其他的角平分線,并說明理由.
【分析】結(jié)論：AG平分∠BAF，AG平分∠BGF，GH平分∠EGM，CH平分∠DCM. (1)易證：△AFG≌△ABG，∴AG平分∠BAF，AG平分∠BGF；
(2)過點H作HN⊥BM,易證：△ABG≌△GNH,∴HN=BG,GN=AB,∴BG=CN,∴CN=HN,∴△CNH是等腰直角三角形,∴∠HCN=45°,∴CH平分∠DCN；(3)∵∠AGH=90°,AG平分∠BGE,∴可證GH平分∠EGM.

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