?杠桿 解析版
一．選擇題（共10小題）
1．（2020?市北區(qū)校級自主招生）如圖所示，輕質(zhì)杠桿OA可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，通過定滑輪用力拉動杠桿緩慢轉(zhuǎn)動，在圖示位置時，杠桿的動力臂力L作圖正確的是（　　）

A．
B．
C．
D．
【解答】解：由題知，杠桿的支點(diǎn)在O處，繩的拉力沿繩方向畫，從支點(diǎn)向力的作用線引垂線，如圖所示：

故選：C。
2．（2020?市南區(qū)校級自主招生）如圖所示，輕繩的一端系有質(zhì)量為2kg的物體C，另一端系在質(zhì)量為1kg的均勻木棒AO的A端；木棒AO可繞O端無摩擦轉(zhuǎn)動，在水平拉力F的作用下木棒AO與水平墻面的夾角由30°緩慢增加到60°（g＝10N/kg），則（　?。?br />
A．拉力F的大小一直不變
B．棒與墻面成45°時拉力F＝25N
C．棒與墻面成30°時拉力F＝N
D．棒與墻面成60°時拉力F＝
【解答】解：GC＝2kg×10N/kg＝20N；G木＝1kg×10N/kg＝10N；
設(shè)木棒AB的長度為l，當(dāng)棒與水平墻面成30°時，力與力臂的關(guān)系如圖所示：

根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可知，L＝l，LG＝l，L木＝l；
其中F為動力，GC、G木均為阻力，
根據(jù)杠桿平衡的條件可得FL＝GCLG+G木L木，
即F×l＝20N×l+10N×l，化簡可得：F＝N，故D錯誤；
同理，當(dāng)棒與水平墻面成45°時，L＝l，LG＝l，L木＝l；
根據(jù)杠桿平衡的條件可得，F(xiàn)×l＝20N×l+10N×l，化簡可得：F＝25N，故B正確；故A錯誤；
同理，當(dāng)棒與水平墻面成30°時，L＝l，LG＝l，L木＝l；
根據(jù)杠桿平衡的條件可得，F(xiàn)×l＝20N×l+10N×l，化簡可得：F＝25N，故C錯誤。
故選：B。
3．（2018?柯橋區(qū)校級自主招生）一個600N重的成年人和一個小孩都要過一道5m寬的水渠。成人從左岸到右岸，而小孩從水渠右岸到左岸，兩岸各有一塊4m長的堅(jiān)實(shí)木板，他們想出右圖所示的方式過渠。請分析在忽略木板自身重量和木板疊交距離的情況下，要使成年人和小孩都能平安過渠，小孩的體重不能輕于多少牛？（　　）

A．100N B．200N C．300N D．400N
【解答】解：（1）因成年人較重，所以只要成年人能安全過水渠，則小孩也能安全過水渠；
小孩站在B′處讓成年人先從木板上過水渠，當(dāng)成年人到達(dá)水渠對岸后，站在B′處，然后再讓小孩過水渠如圖所示：
；
（2）把木板A′B′視為杠桿，O為支點(diǎn)，成年人對A′B′的壓力視為阻力F2，小孩對木板的壓力視為動力F1，
當(dāng)成年人在A′時，阻力（成年人對A′B′的壓力）最大，為F2＝G成年人＝600N，
由題意和圖示可知：OA′＝1m，OB′＝3m，
由杠桿平衡條件可得：F1×OB′＝F2×A′O，
則F1＝＝＝200N，
即小孩的體重不能輕于200N；
故選：B。
4．（2018?衡陽縣自主招生）如圖所示，某輕質(zhì)桿AOB可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，且OA與OB的夾角始終保持不變，A端通過細(xì)繩系一質(zhì)量為0.3kg的秤盤，B端固定一平衡球。當(dāng)秤盤中不放物品時，OA桿恰好成水平，OB桿與豎直方向夾角為α（α＝30°）；當(dāng)秤盤中放入一物體時，OB與豎直方向的夾角增大了60°，那么該物體的質(zhì)量為：（　?。?br />
A．0.3 kg B．0.6kg C．0.9 kg D．1.2 kg
【解答】解：
當(dāng)秤盤中不放重物時，OA水平，OB與豎直方向成30°夾角，
根據(jù)杠桿的平衡條件可得出兩側(cè)的力矩平衡，可表示為：
m盤×g×OA＝mB×g×sin30°×OB﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
當(dāng)盤中放入重物后，OB旋轉(zhuǎn)了60°，則OB′水平，OA′與豎直方向的夾角變?yōu)?0°，
同樣根據(jù)杠桿的平衡條件，兩側(cè)的力矩平衡，可得：
（m盤+m物）×g×sin30°×OA＝mB×g×OB﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
②÷①并代入數(shù)據(jù)解得m物＝0.9kg。
故選：C。
5．（2018?西湖區(qū)校級自主招生）用一根長為L、重為G0的均勻鐵棒，插入一個邊長為a、重為G的正方體物塊的底部，在另一端施加一個向上的力，將物塊撬起一個很小的角度（如圖所示，圖中的角度已被放大）。如果鐵棒插入物塊底部的長度為物塊邊長的三分之一，則要撬動物塊，作用在鐵棒最右端的力至少為（　　）

A．G0+（） B．G0+（）
C．（）+（） D．（）+（）
【解答】解：如圖所示：

在撬起物塊時，物塊為以左端點(diǎn)為支點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動，所以物塊可視為一根杠桿，
由圖1可知，動力臂為阻力臂的2倍，由杠桿平衡條件可知，支持力是物重的，即F支＝G，
力的作用是相互的，則物塊對鐵棒的壓力：F壓＝F支＝G；則對鐵棒來說，物體提供的阻力為；
在阻力與阻力臂一定的情況下，由杠桿平衡條件可知：
動力臂越大，動力越小，如圖2所示，當(dāng)力F垂直于鐵棒時，
力F的力臂是鐵棒的長度L，F(xiàn)的力臂最大，力F最?。?br /> 鐵棒重力的作用點(diǎn)是鐵棒的重心，在鐵棒的中點(diǎn)處，
即鐵棒重力G0的力臂L2＝，物體提供的阻力為，力臂L1＝；
由杠桿平衡條件可得：×+G0×＝F×L；
則F＝+；
故選：C。
6．（2018?岳麓區(qū)自主招生）如圖所示，均勻桿AB長為L，可以繞轉(zhuǎn)軸A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，在A點(diǎn)正上方距離L處固定一個小定滑輪，細(xì)繩通過定滑輪與桿的另一端B相連，并將桿從水平位置緩慢向上拉起。已知桿水平時，細(xì)繩的拉力為T1，桿與水平面夾角為30°時，細(xì)繩的拉力為T2，則T1：T2是（　?。?br />
A．：1 B．2：1 C．1： D．1：1
【解答】解：（1）桿在水平位置時，如圖，△AOB和△ABE都為等腰直角三角形，則AE＝BE
∵BE2+AE2＝AB2
∴AE＝L，
由杠桿平衡可得：
T1×AE＝G×AC，
T1＝＝＝G。
（2）把吊橋拉起到與水平面的夾角為30°時，如圖，
△ABO為等邊三角形，AB＝L，BE′＝L，
∵BE′2+AE′2＝AB2
∴AE′＝L，
在△ACC′中，∠CAC′＝30°，CC′＝AC＝L，
∵AC′2+CC′2＝AC2，
∴AC′＝L，
根據(jù)杠桿平衡的條件可得
T2×AE′＝G×AC′，
T2＝＝＝G；
∴T1：T2＝G：G＝：1。
故選：A。


7．（2017?下陸區(qū)校級自主招生）如圖是一副稱量準(zhǔn)確的桿秤示意圖，秤砣質(zhì)量為1kg，秤桿和秤盤總質(zhì)量為O.5kg，定盤星B到提紐O的距離OB為2cm，秤盤到提紐O的距離OA為10cm。若有人換了一個質(zhì)量為0.8kg的秤砣，實(shí)際質(zhì)量3kg的物品，讓顧客誤以為得到物品的質(zhì)量是多少（　?。?br />
A．3.8kg B．3.6kg C．3.96kg D．3.75kg
【解答】解：設(shè)秤桿和秤盤的重心為D，當(dāng)杠桿平衡時秤砣放在B點(diǎn)，
因?yàn)镚秤×OD＝G砣×OB，即：m秤g×OD＝m砣g×OB，
0.5kg×OD＝1kg×2cm，
所以O(shè)D＝4cm，
使用1kg秤砣（正常情況下），設(shè)秤砣到O點(diǎn)的距離L，
因?yàn)閙物g×OA+m秤g×OD＝m砣g×L 即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝1kg×g×L，
解得：L＝32cm，
即OC＝L＝32cm；
秤桿上標(biāo)定的質(zhì)量值與標(biāo)定的質(zhì)量值位置到定盤星B點(diǎn)的距離的關(guān)系是＝＝0.1kg/cm；
當(dāng)使用0.8kg秤砣時，秤量3kg的質(zhì)量時，秤砣到O點(diǎn)的距離設(shè)為OE，
因?yàn)閙物g×OA+m秤g×OD＝m砣′g×OE，
即：3kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm＝0.8kg×g×OE，
解得：OE＝40cm；
此時E位置標(biāo)定的質(zhì)量值m＝0.1kg/cm×（OE﹣OB）＝0.1kg/cm×（40cm﹣2cm）＝3.8kg。
則實(shí)際3千克的物品會讓顧客誤以為質(zhì)量為3.8kg，故A正確，BCD錯誤。
故選：A。
8．（2017?武侯區(qū)校級自主招生）如圖所示，一塊長3cm、寬4cm的質(zhì)量不計的矩形薄板ABCD可繞過A點(diǎn)的固定軸在紙面內(nèi)無摩擦地自由轉(zhuǎn)動，現(xiàn)過B點(diǎn)沿CB方向?qū)Π迨┘覶＝9N的拉力作用，為使板保持靜止，需要在板上的某一處施加另一個在紙面內(nèi)的拉力F（未畫出），其大小由F的作用位置和方向決定，在所有可能情況中，F(xiàn)的最小值為（　?。?br />
A．4.5N B．7.5N C．7.2N D．9.0N
【解答】解：
由題知，A為支點(diǎn)；過B點(diǎn)沿CB方向?qū)Π迨┘覶＝9N的拉力，則拉力T的力臂為AB＝4cm＝0.04m，
由圖知，當(dāng)另一拉力F作用在C點(diǎn)，且其力臂為AC時，F(xiàn)的力臂最大，

由杠桿平衡條件可知，拉力F的值最小，
由勾股定理可得：AC＝＝＝0.05m，
由杠桿平衡條件可得：T×AB＝F×AC，
即：9N×0.04m＝F×0.05m。
解得F＝7.2N。
故選：C。
9．（2017?寧波自主招生）如圖所示，直徑為36cm的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均勻、長度為47cm的光滑桿ABC擱置在半球碗上，碗的厚度不計，桿平衡時碗內(nèi)部分AB段與碗外部分BC段的長度之比為（　?。?br />
A．38：9 B．35：12 C．32：15 D．27：20
【解答】解：如圖：光滑桿ABC的重心在D點(diǎn)，O為半球形碗的球心，桿受三個力：重力G、A點(diǎn)的支持力F2和B點(diǎn)的支持力F1，以B為支點(diǎn)，則根據(jù)杠桿的平衡條件得：G×BDcosθ＝F2×ABsinθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
沿桿AC的方向上受力的合力為零，
即G×sinθ＝F2×cosθ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
由得：BDcotθ＝ABtanθ，
∴BD＝AB×tan2θ＝AB×（）2，
即BD×AB＝AE2，
∵在△ABE中，BE2＝AB2+AE2，且BD＝AB﹣AC，
∴（AB﹣AC）×AB＝BE2﹣AB2，
代入數(shù)據(jù)得：（AB﹣×47）×AB＝362﹣AB2，
即：4×AB2﹣47×AB﹣2592＝0，
解得：AB＝32cm，AB＝﹣20.25cm（舍去）
∴AB：BC＝32cm：（47cm﹣32cm）＝32：15。
故選：C。
10．（2017?黃州區(qū)校級自主招生）如圖所示，七塊完全相同的磚塊按照圖示的方式疊放起來，每塊磚的長度均為L，為保證磚塊不倒下，6號磚塊與7號磚塊之間的距離S將不超過（　?。?br />
A．L B．2L C．L D．L
【解答】解：由于1號磚處于平衡狀態(tài)，則1號磚對2號磚的壓力應(yīng)為；
當(dāng)1號磚放在2號磚的邊緣上時，6號磚塊與7號磚塊之間的距離最大；
2號磚處于杠桿平衡狀態(tài)，設(shè)2號磚露出的長度為x，則2號磚下方的支點(diǎn)距重心在（﹣x）處；
由杠桿的平衡條件可知：G（﹣x）＝x，
解得：x＝；
設(shè)4號磚露出的部分為x1，則4號磚下方的支點(diǎn)距重心在（﹣x1）處；4號磚受到的壓力為G+；
則由杠桿的平衡條件可知：G（﹣x1）＝（G+）x1，
解得x1＝；
則6號磚塊與7號磚塊之間的最大距離應(yīng)為：
L+2（x+x1）＝L+2（+）＝L。
故選：A。

二．填空題（共5小題）
11．（2021?黃州區(qū)校級自主招生）如圖所示，粗細(xì)相同密度均勻的細(xì)棒做成“L”形，其中AC與CB垂直，AC長L，CB長L/2，整根細(xì)棒的重力是G，并放在固定的圓筒內(nèi)，圓筒內(nèi)側(cè)面和底面均光滑，圓筒橫截面的直徑為L．平衡時細(xì)棒正好處于經(jīng)過圓簡直徑的豎直平面內(nèi)。此時細(xì)棒對圓筒底面的壓力大小為　G??；細(xì)棒B端對圓筒側(cè)面的壓力為　　。

【解答】解：（1）如圖分析：“L”形細(xì)棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，根據(jù)物體受力平衡條件得：
物體在水平方向和豎直方向上和合力為零，
則：N＝+＝G，
N1＝N2，
（2）以C點(diǎn)為杠桿ACB的支點(diǎn)，則根據(jù)杠桿平衡條件得：
+＝N1Lcosα+，
∴6N1sinα+4Gsinα＝12N2cosα+Gcosα，
又∵N1＝N2，
∴N1（6sinα﹣12cosα）＝（cosα﹣4sinα）G，
∴N1＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
因圓筒橫截面的直徑為L，由幾何關(guān)系得：
L＝Lsinα+Lcosα，
∴2sinα+cosα﹣2＝0，
又知：sin2α+cos2α＝1，
解得：sinα＝，cosα＝，
代入①式得：
N1＝＝。
故答案為：G；。

12．（2020?寧波自主招生）把一長為2米的均質(zhì)平板的中點(diǎn)支在水平面上一個不高的支點(diǎn)上，在平板上站有兩個小孩（如圖），已知m甲＝30千克，位于板的中點(diǎn)，m乙＝20千克，位于板的左端，現(xiàn)兩小孩以0.1米/秒的速度沿板同時向右慢慢移動，經(jīng)　4　秒平板開始轉(zhuǎn)動。

【解答】解：
由題平板相當(dāng)于一個杠桿，杠桿不轉(zhuǎn)動時平板與地面夾角一定，設(shè)夾角為θ，甲小孩走時間t后當(dāng)杠桿恰好轉(zhuǎn)動時，
此時甲、乙走過和距離為s＝vt＝0.1m/s×t，
乙小孩的力臂l乙＝cosθ×（×2m﹣0.1m/s×t）＝cosθ×（1m﹣0.1m/s×t），甲小孩的力臂l乙＝cosθ×0.1m/s×t，
根據(jù)杠桿的平衡條件：
m乙gl乙＝m甲gl甲，
即：20kg×cosθ×（1m﹣0.1m/s×t）＝30kg×cosθ×0.1m/s×t，
解得：t＝4s。
故答案為：4。
13．（2019?涪城區(qū)校級自主招生）如圖所示是鍋爐保險閥門的示意圖。當(dāng)閥門受到的蒸汽壓力超過其安全值時，閥門就會被拉開。如OB＝2m，OA＝0.5m，閥門的底面積S＝2cm2，鍋爐內(nèi)氣體壓強(qiáng)的安全值p＝6×105Pa，則B所掛的重物G是 　25　N（杠桿的重力，摩擦均不計）。

【解答】解：由p＝得，氣體產(chǎn)生的向上的力：
F1＝p1S＝6×105Pa×2×10﹣4m2＝120N，
大氣產(chǎn)生的向下的壓力為：F2＝p2S＝1×105Pa×2×10﹣4m2＝20N，
則閥門受到的向上的力為：F＝F1﹣F2＝120N﹣20N＝100N；
根據(jù)杠桿的平衡條件可知，F(xiàn)?OA＝G?OB，
所以物體的重力：G＝＝＝25N。
故答案為：25。
14．（2017?涪城區(qū)自主招生）如圖所示，一長為3m的粗細(xì)不均勻的水泥電線桿，用豎直向上的力F1＝1200 N可將A端抬起（B端仍在地面上），用豎直向上的力F2＝600 N可將B端抬起。則該水泥桿重G＝　1800　N，重心與A端距離x＝　1　m。

【解答】解：如圖所示，

電線桿的長L＝3m，設(shè)電線桿的重心與A端的距離為x，
結(jié)合圖示可知，重心到細(xì)端的距離為L1＝3m﹣x，離粗端的距離為L2＝x，
將A端抬起（圖1），由杠桿平衡的條件可得：F1L＝GL1，
代入數(shù)據(jù)得：1200N×3m＝G×（3m﹣x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
將B端抬起（圖2），由杠桿平衡的條件可得：F2L＝GL2，
代入數(shù)據(jù)得：600N×3m＝Gx﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
聯(lián)立①②解得：G＝1800N，x＝1m。
故答案為：1800；1。
15．（2016?鹿城區(qū)校級自主招生）如圖（1）所示，均勻長方體木塊長b＝18cm，高h(yuǎn)＝16cm，寬L＝10cm，被兩個力傳感器支撐起來，兩傳感器間距為a＝10cm且到木塊兩邊的距離相等，傳感器能夠?qū)⒅吸c(diǎn)的受力情況通過數(shù)據(jù)采集器在計算機(jī)屏幕上反映出來?，F(xiàn)用一彈簧測力計水平拉木塊，拉力作用在木塊的中點(diǎn)且緩慢均勻增大，木塊則始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，計算機(jī)屏上出現(xiàn)如圖（2）所示的圖線。問：
圖（2）上的直線A反映的是傳感器上的受力情況　右邊?。ā白筮叀被颉坝疫叀保?，彈簧測力計的最大拉力是　3.5　N。

【解答】解：
以右邊傳感器為支點(diǎn)，木塊保持靜止，木塊受到拉力F順時針力矩、左邊傳感器支持力順時針力矩，及重力逆時針力矩，根據(jù)力矩平衡條件得知，順時針力矩之和等于逆時針力矩之和，拉力增大，拉力的力矩增大，而重力的力矩不變，則知左邊傳感器支持力力矩減小，其力臂不變，則左邊傳感器支持力，根據(jù)豎直方向的力平衡得知，右邊傳感器的支持力增大，所以直線A反映的是右邊傳感器上的受力情況。
由圖讀出，0﹣5s內(nèi)，兩個傳感器讀數(shù)相等，則知木塊的重力G＝2×2.8N＝5.6N；
t＝15s，A傳感器讀數(shù)為5.6N．B傳感器的讀數(shù)為0，以右邊傳感器為支點(diǎn)，根據(jù)力矩平衡條件列式：
F＝G；
解得：F＝3.5N。
故答案為：右邊；3.5。
三．作圖題（共2小題）
16．（2019?安徽自主招生）如圖所示，杠桿OA在力F1、F2的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，L2是力F2的力臂，請?jiān)趫D中作出F1的力臂L1和力F2。

【解答】解：做力Fl的延長線，過支點(diǎn)O做力F1作用線的垂線段L1，則線段L1為力F1的力臂；過力臂L2末端，作垂直于L2直線，與杠桿OA的交點(diǎn)為力F2作用點(diǎn)，方向斜向右上方，如圖所示：

17．（2020?市北區(qū)校級自主招生）如圖所示，使用羊角錘拔釘子，請?jiān)趫D中畫出最省力時的動力臂和用力方向。

【解答】解：
根據(jù)杠桿的平衡條件可知，動力臂越長越省力；由圖知，最長的動力臂L為支點(diǎn)O與手柄最上面端點(diǎn)之間的距離；要用羊角錘拔出釘子，則動力的方向應(yīng)垂直于動力臂向上，據(jù)此作出最小動力F的示意圖，如圖所示：

四．實(shí)驗(yàn)探究題（共1小題）
18．（2019?江西自主招生）在探究杠桿平衡條件的實(shí)驗(yàn)中，
（1）實(shí)驗(yàn)前杠桿靜止時如圖甲所示，杠桿處于　平衡　狀態(tài)（選填“平衡”或“不平衡”）。
若要將其調(diào)整到水平位置平衡，應(yīng)將杠桿左端的平衡螺母向　左?。ㄟx填“左”或“右”）調(diào)。
（2）調(diào)節(jié)杠桿水平平衡后，小妤在圖乙所示的A位置掛上3個鉤碼，為了使杠桿在水平位置平衡，這時應(yīng)在B位置掛上　4　個相同鉤碼。當(dāng)杠桿平衡后，將A、B兩點(diǎn)下方所掛的鉤碼同時朝遠(yuǎn)離支點(diǎn)方向移動一小格，則杠桿　不能?。ㄟx填“能”或“不能”）在水平位置保持平衡。
實(shí)驗(yàn)
次數(shù)
F1（N）
L1（cm）
F2（N）
L2（cm）
1
2
5
①
10
2
3
10
2
15
3
2
30
3
②
（3）上表是小妤同學(xué)在實(shí)驗(yàn)中記錄杠桿水平平衡時的部分?jǐn)?shù)據(jù)：表中空格處所缺的數(shù)據(jù)是：①　1　，②　20　；
（4）分析上表中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得出的結(jié)論是　F1L1＝F2L2（動力×動力臂＝阻力×阻力臂）?！?。

【解答】解：（1）杠桿靜止在如圖甲所示位置，杠桿靜止，此時杠桿處于平衡狀態(tài)；
為了便于測量力臂，應(yīng)使杠桿在水平位置平衡，由圖知，左端偏高，為使杠桿在水平位置平衡，需要將平衡螺母向左調(diào)節(jié)；
（2）設(shè)杠桿每個格的長度為L，每個鉤碼的重力為G，根據(jù)杠桿的平衡條件：FALA＝FBLB，即3G×4L＝FB×3L，解得FB＝4G，需掛4個鉤碼；
若A、B兩點(diǎn)的鉤碼同時向遠(yuǎn)離支點(diǎn)的方向移動一個格，則左側(cè)3G×5L＝15GL，右側(cè)4G×4L＝16GL，因?yàn)?5GL＜16GL 杠桿不能平衡；
（3）根據(jù)杠桿平衡條件F1l1＝F2l2可得：
2N×5cm＝F2×10cm，解得F2＝1N；
2N×30cm＝3N×L2，解得L2＝20cm；
（4）分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得出杠桿的平衡條件是F1L1＝F2L2（動力×動力臂＝阻力×阻力臂）。
故答案為：
（1）平衡；左；（2）4；不能；（3）1；20；（4）F1L1＝F2L2（動力×動力臂＝阻力×阻力臂）。
五．計算題（共3小題）
19．（2020?市北區(qū)校級自主招生）如圖為一個簡易雨量測試儀，質(zhì)量均勻的直桿AB外均勻包裹著海綿，直桿與干海綿的總質(zhì)量為1.5kg，且可繞垂直紙面的轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動，OA：OB＝7：3，桿右端B點(diǎn)連接一個質(zhì)量不計的滑輪，繞在滑輪上的細(xì)繩一端固定在地面上，另一端系在質(zhì)量為1kg的重物C上。晴天時，直桿AB呈水平狀態(tài)，重物靜止在地面上。g取10N/kg，求：
（1）晴天時，重物C對地面的壓力是多大
（2）雨天時，海綿均勻吸收雨水，吸收多少質(zhì)量的雨水，直桿開始繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

【解答】解：（1）設(shè)直桿長為10L0，直桿與干海綿重心在其幾何中心，距B端長為5L0，O為支點(diǎn)，故直桿與干海綿重力的力臂（阻力力臂）為：
L2＝5L0﹣3L0＝2L0，阻力G＝mg＝1.5kg×10N/kg＝15N，
動力臂L1＝3L0，
根據(jù)杠桿的平衡條件：
G×2L0＝FB×3L0，
FB＝×G＝×15N＝10N；
由力的作用是相互的，桿對繩子的拉力為10N，即繩子對滑輪向上的拉力為10N，因有兩段繩子分擔(dān)10N的拉力，由力的平衡，故與C相連的繩子對C豎直向下的拉力大小為：T＝＝5N，由力的相互性，繩子對C豎直向上的拉力大小為：T′＝5N，故重物C對地面的壓力：
F壓＝GC﹣T′＝mCg﹣T＝1kg×10N/kg＝10N﹣5N＝5N；
（2）設(shè)吸收質(zhì)量為m′的雨水，直桿開始繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，
則阻力F2′＝（m′+1.5kg）g，
動力為：FB′＝2GC＝2×1kg×10N/kg＝20N，
根據(jù)杠桿的平衡條件：
F2′×2L0＝FB′×3L0，
即（m′+1.5kg）g×2L0＝20N×3L0，
吸收雨水的質(zhì)量：m′＝1.5kg時直桿開始繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。
答：（1）晴天時，重物C對地面的壓力是5N；
（2）雨天時，海綿均勻吸收雨水，吸收1.5kg的雨水，直桿開始繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。
20．（2020?市南區(qū)校級自主招生）如圖所示是一種水閘，閘門的底部與鉸軸O相連，厚度不計的閘門高為H、寬為a。AB為一根不計質(zhì)量的桿，A端通過鉸鏈與閘門相連，B端通過鉸鏈與地面相連，桿AB與地面成60°角，A端距離地面高h(yuǎn)。已知水的密度為ρ，閘門右側(cè)水位高為h，水對閘門的壓力作用點(diǎn)等效在距離O點(diǎn)?h高度處，試求桿AB對閘門的作用力。

【解答】解：由題意可知，閘門右側(cè)水位高為h，則水對閘門產(chǎn)生壓強(qiáng)的深度可以看做，
閘門受到水的平均壓強(qiáng)為p＝ρg，
閘門受到水壓強(qiáng)的受力面積S＝ah，
由p＝可得，閘門受到水的壓力F＝pS＝ρg×ah＝ρgah2，
設(shè)桿對閘門的作用力為F桿，將閘門看做以O(shè)為支點(diǎn)的杠桿，如下圖所示：

圖中，閘門受到水的壓力的力臂LF＝，
在直角三角形AOC中，∠AOC＝60°，桿對閘門作用力的力臂L桿＝AOcosθ＝hcos60°＝h，
由杠桿的平衡條件可得：F桿×L桿＝F×LF，即F桿×h＝ρgah2×，
則桿AB對閘門的作用力F桿＝ρgah2。
答：桿AB對閘門的作用力為ρgah2。
21．（2019?鳩江區(qū)校級自主招生）有人設(shè)計了一種新型伸縮拉桿秤。結(jié)構(gòu)如圖，秤桿的一端固定一配重物并懸一掛鉤，秤桿外面套有內(nèi)外兩個套筒，套筒左端開槽使其可以不受秤紐阻礙而移動到掛鉤所在的位置（設(shè)開槽后套筒的重心仍在其長度中點(diǎn)位置）。秤桿與內(nèi)層套筒上刻有質(zhì)量刻度?？蛰d（掛鉤上不掛物體，且套筒未拉出）時，用手提起秤紐，桿秤恰好平衡。當(dāng)物體掛在掛鉤上時，往外移動內(nèi)外套筒可使桿秤平衡，從內(nèi)外套筒左端的位置可以讀得兩個讀數(shù)，將這兩個讀數(shù)相加，即可得到待測物體的質(zhì)量。已知秤桿和兩個套筒的長度均為L＝16cm，套筒可移出的最大距離為L1＝14cm，秤紐到掛鉤的距離為d＝2cm，兩個套筒的質(zhì)量均為m＝0.1kg。取重力加速度g＝10N/kg。求：

（1）當(dāng)桿秤空載平衡時，秤桿、配重物及掛鉤所受重力相對秤紐的合力矩M。
（2）該秤的量程m0。
（3）秤桿與內(nèi)層套筒上的質(zhì)量刻度是否均勻，如果均勻，1cm的長度分別表示多少質(zhì)量。
（4）若外層套筒不慎丟失，在稱某一物體時，內(nèi)層套筒的左端在讀數(shù)為1kg處桿秤恰好平衡，則該物體實(shí)際質(zhì)量m1多大。
【解答】解析：
（1）套筒不拉出時桿恰平衡，兩套筒相對秤紐的力矩與所求力矩相等，
則M＝2 mg（﹣d）＝2×0.1kg×10N/kg×（﹣2×10﹣2m）＝0.12 N?m；
（2）根據(jù)力矩平衡可得：m0gd＝mgL1+mg×2L1，
即：m0×10N/kg×2×10﹣2m＝0.1kg×10N/kg×14×10﹣2m+0.1kg×10N/kg×2×14×10﹣2m，
解出m0＝2.1kg；
（3）設(shè)內(nèi)套筒向右移動長度x1，外套筒相對內(nèi)套筒向右移動長度x2，
力矩平衡mxgd＝mgx1+mg（x1+x2），
①若只移動內(nèi)套筒，則x2＝0，
mxgd＝2mgx1，
mx＝＝＝，故秤桿刻度均勻，1cm長度表示0.1kg，
②若只移動外套筒，則x1＝0，
mxgd＝mgx2，mx＝＝＝，
故內(nèi)層套筒刻度均勻，1cm長度表示0.05kg；
（4）由（3）問可知，內(nèi)層套筒的左端在讀數(shù)為1kg處對應(yīng)刻度x′＝0.1m，
外筒丟失后，內(nèi)套筒離左端秤紐距離x′﹣d＝0.1m﹣2×10﹣2m＝0.08m，
則m1gd+M＝mg（x′﹣d+），
解出m1＝0.2 kg。
答：（1）當(dāng)桿秤空載平衡時，秤桿、配重物及掛鉤所受重力相對秤紐的合力矩M為0.12N?m。
（2）該秤的量程m0為2.1 kg。
（3）秤桿與內(nèi)層套筒上的質(zhì)量刻度是否均勻，如果均勻，1cm的長度分別表示0.1kg和0.05kg。
（4）若外層套筒不慎丟失，在稱某一物體時，內(nèi)層套筒的左端在讀數(shù)為1kg處桿秤恰好平衡，則該物體實(shí)際質(zhì)量m1為0.2 kg。
六．解答題（共3小題）
22．（2018?柯橋區(qū)校級自主招生）如圖所示，質(zhì)量m＝2.0kg的小鐵塊靜止于水平導(dǎo)軌AB的A端，導(dǎo)軌及支架ABCD總質(zhì)量M＝4.0kg，形狀及尺寸已在圖中注明，該支架只可以繞著過D點(diǎn)的轉(zhuǎn)動軸在圖示豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。為簡便起見，可將導(dǎo)軌及支架ABCD所受的重力看作集中作用于圖中的O點(diǎn)?，F(xiàn)用一沿導(dǎo)軌的拉力F通過細(xì)線拉鐵塊，假定鐵塊啟動后立即以0.1m/s的速度勻速運(yùn)動，此時拉力F＝10N。
（1）鐵塊運(yùn)動時所受摩擦力多大？
（2）鐵塊對導(dǎo)軌的摩擦力的力臂多大？
（3）從鐵塊運(yùn)動時起，導(dǎo)軌（及支架）能保持靜止的最長時間是多少？（g＝10N/kg）

【解答】解：（1）鐵塊啟動后勻速運(yùn)動，此時拉力就等于鐵塊運(yùn)動時所受摩擦力，
用f表示鐵塊所受摩擦力，f＝F＝10N。
（2）鐵塊對導(dǎo)軌的摩擦力作用線沿著導(dǎo)軌AB，所求力臂即為D到AB的距離。用L表示該力臂，L＝0.8m。
（3）支架的重力與其力臂的乘積G支架×L支架＝4.0kg×10N/kg×0.10m＝4N?m，
因力的作用是相互的，則導(dǎo)軌受到摩擦力的大小f′＝f＝10N，方向水平向右，導(dǎo)軌所受摩擦力與其力臂的乘積f′×Lf′＝10N×0.8m＝8N?m，
因f′×Lf′＞G支架×L支架，則支架有順時針轉(zhuǎn)動的趨勢，要支架保持平衡，鐵塊對導(dǎo)軌的壓力應(yīng)讓導(dǎo)軌有逆時針轉(zhuǎn)動的趨勢，所以鐵塊一定在支點(diǎn)左側(cè)，
設(shè)當(dāng)鐵塊運(yùn)動到E點(diǎn)時，支架剛好開始轉(zhuǎn)動，此時過E點(diǎn)的豎直線在D點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)為x，
根據(jù)杠桿平衡條件可得：f′×Lf′＝G支架×L支架+G鐵x，
則8N?m＝4N?m+2.0kg×10N/kg?x，
解得x＝0.2m，則s＝5s；
答：（1）鐵塊運(yùn)動時所受摩擦力為10N；
（2）鐵塊對導(dǎo)軌的摩擦力的力臂為0.8m；
（3）從鐵塊運(yùn)動時起，導(dǎo)軌（及支架）能保持靜止的最長時間是5s。
23．（2019?永春縣自主招生）如圖所示，畫出使杠桿平衡最小力的示意圖，要求保留作圖痕跡。

【解答】解：根據(jù)此杠桿的形狀可知，從左端點(diǎn)O（支點(diǎn)）到此杠桿的最右端距離最大，這是最長的動力臂；根據(jù)杠桿的平衡條件，動力臂越長越省力，所以最小力作用在杠桿的最右端，動力的方向垂直于該力臂向上。如圖所示：

24．（2014?溫州校級自主招生）如圖所示，一重為G＝100N的均勻厚長鋼板借助于一圓柱形鐵桶將其一端向上抬起，圓柱形鐵桶半徑為R＝0.5m，厚長鋼板AO的O端用鉸鏈固定于地面，AO長為5R，各處摩擦均不計，現(xiàn)用通過圓柱形桶圓心的水平向左的推力F使圓柱體水平向左緩慢移動。
（1）當(dāng)厚鋼板與地面夾角θ＝30°時，厚鋼板受圓柱形桶的支持力N為多少？
（2）當(dāng)圓柱形桶使厚鋼板與地面的夾角θ從30°變?yōu)?0°的過程中，推力F做的功W為多少？（已知sin30°＝cos60°＝0.5；sin60°＝cos30°＝0.866；tan15°＝0.268）

【解答】解：（1）厚鋼板的重力、圓柱形桶對厚鋼板的支持力和力臂的示意圖如下：

當(dāng)厚鋼板與地面夾角θ＝30°時，則重力的力臂LG＝OAcosθ＝×5R×cos30°＝×5R×0.866＝×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
支持力力臂LN＝＝≈1.866m，
根據(jù)杠桿平衡條件得：NLN＝GLG，
所以，N＝＝≈58N。
（2）當(dāng)圓柱形桶使厚鋼板與地面的夾角為30°時，由上圖可知：鋼板的重心高度h1＝OAsinθ＝×5R×sin30°＝×5R×＝×5×0.5m×＝0.625m，
當(dāng)圓柱形桶使厚鋼板與地面的夾角為60°時，由上圖可知：鋼板的重心高度h2＝OAsinθ＝×5R×sin60°＝×5R×0.866＝×5×0.5m×0.866＝1.0825m，
所以，△h＝h2﹣h1＝1.0825m﹣0.625m＝0.4575m，
F做的功W＝Fs＝Gh＝100N×0.4575m＝45.75J。
答：（1）當(dāng)厚鋼板與地面夾角θ＝30°時，厚鋼板受圓柱形桶的支持力N為58N。
（2）當(dāng)圓柱形桶使厚鋼板與地面的夾角θ從30°變?yōu)?0°的過程中，推力F做的功W為45.75J。
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，

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