2022學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）（答題請寫在答題紙上）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．已知集合，集合，若，則___________．2．若實數(shù)x滿足不等式，則x的取值范圍是_______________．3．雙曲線的漸近線方程是______________．4．已知向量，向量，則與的夾角的大小為_____________．5．在的二項展開式中，項的系數(shù)為__________（結(jié)果用數(shù)值表示）．6．若復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則___________．7．已知是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則___．8．?dāng)S一顆骰子，令事件，，則_______（結(jié)果用數(shù)值表示）．9．已知正實數(shù)a、b滿足，則的最小值為___________．10．若函數(shù)（常數(shù)）在區(qū)間沒有最值，則的取值范圍是____．11．已知函數(shù)和的表達(dá)式分別為，，若對任意，總存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是____．12．已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．若實數(shù)a、b滿足，則下列不等式中成立的是（    ）．（A）      （B）      （C）      （D）14．某社區(qū)通過公益講座宣傳交通法規(guī)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位居民，分別在講座前、后各回答一份交通法規(guī)知識問卷，滿分為100分．他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個位數(shù)字），則下列選項敘述錯誤的是（    ）．（A）講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分（B）講座前的答卷得分分布較講座后分散（C）講座后答卷得分的第80百分位數(shù)為95（D）講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差15．如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC上的點，且，，設(shè)P、Q分別為線段AF、CE的中點，將四邊形ABFE沿著直線EF進(jìn)行翻折，使得點A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關(guān)系不能恒成立的是（    ）．（A）直線直線CD    （B）直線直線ED（C）直線直線PQ    （D）直線平面ADE16．設(shè)是項數(shù)為的有窮數(shù)列，其中．當(dāng)時，，且對任意正整數(shù)都有．給出下列兩個命題：①若對任意正整數(shù)都有，則的最大值為18；②對于任意滿足的正整數(shù)s和t，總存在不超過的正整數(shù)m和k，使得．下列說法正確的是（    ）．（A）①是真命題，②是假命題           （B）①是假命題，②是真命題（C）①和②都是真命題                 （D）①和②都是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）在△ABC中，角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，已知，．（1）若，求c；（2）若，求△ABC的面積．18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在正三棱柱中，已知，D是AB的中點．（1）求直線與所成的角的大小；（2）求證：平面⊥平面，并求點B到平面的距離．19．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）某網(wǎng)站計劃4月份訂購草莓在網(wǎng)絡(luò)銷售，每天的進(jìn)貨量相同，成本價為每盒15元．決定每盒售價為20元，未售出的草莓降價處理，每盒10元．假設(shè)當(dāng)天進(jìn)貨能全部售完．根據(jù)銷售經(jīng)驗，每天的購買量與網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬次）有關(guān)．為確定草莓的進(jìn)貨量，相關(guān)人員統(tǒng)計了前兩年4月份（共60天）網(wǎng)站每天的瀏覽量（單位：萬次）、購買草莓的數(shù)量（單位：盒）以及達(dá)到該流量的天數(shù)，如下表所示：每天的瀏覽量每天的購買量600900天數(shù)3624以每天的瀏覽量位于各區(qū)間的頻率代替瀏覽量位于該區(qū)間的概率．（1）求4月份草莓一天的購買量X（單位：盒）的分布；（2）設(shè)4月份銷售草莓一天的利潤為Y（單位：元），一天的進(jìn)貨量為n（單位：盒），n為正整數(shù)且，當(dāng)n為多少時，Y的期望達(dá)到最大值，并求此最大值．20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知橢圓：（）．（1）已知橢圓的離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l過橢圓的右焦點且垂直于x軸，記l與的交點分別為A、B，A、B兩點關(guān)于y軸的對稱點分別為、，若四邊形是正方形，求正方形的內(nèi)切圓的方程；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P、Q兩點都在橢圓上，若△OPQ是等腰直角三角形，其中是直角，點P在第一象限，且O、P、Q三點按順時針方向排列，求b的最大值．   21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）若函數(shù)在處取得極值，且（常數(shù)R），則稱是函數(shù)的“λ相關(guān)點”．（1）若函數(shù)存在“λ相關(guān)點”，求λ的值；（2）若函數(shù)（常數(shù)R）存在“1相關(guān)點”，求k的值；（3）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為（常數(shù)a、b、R且），若函數(shù)有兩個不相等且均不為零的“2相關(guān)點”，過點存在3條直線與曲線相切，求實數(shù)a的取值范圍．       高三數(shù)學(xué)評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1. ；    2. ；    3. ；    4. ；    5. ；    6. ；7. ；   8. ；   9. ；   10. ；   11. ；   12. ．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13. D；                14. C；                15. B；                16. B．三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.（1）由正弦定理得，                                      ……2分則，                                                           ……4分由余弦定理得．                      ……6分（2），所以，，                        ……8分因為，則，                                     ……10分所以．      ……14分18.（1）因為，所以就是所求角．                      ……3分在直角三角形中，，因此，直線與所成的角的大小為．                    ……6分（2）因為平面，平面，所以．又因為D是AB的中點，所以．因為，于是平面，再由平面，所以平面平面．            ……10分過作于，因為平面平面，且平面平面直線，所以，平面，線段的長就是所求距離，，因此，點B到平面的距離為．            ……14分19.（1）由題意知，X所有可能的取值為600，900．，．           ……3分所以X的分布為．                                        ……6分（2）由題意知，草莓一天的需求量最少為600，最多為900，因此只需考慮的情況．若瀏覽量在，則；若瀏覽量在，則．                                   ……10分故．所以當(dāng)一天的進(jìn)貨量n為600（盒）時，Y的期望達(dá)到最大值，此最大值為3000元．……14分20.（1）由，得，                                       ……2分則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．              ……4分（2）設(shè)右焦點，左焦點，則，所以，，．由，得．        ……8分正方形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                             ……10分（3）設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k（），則直線OQ的斜率為．                             ……12分設(shè)，，則，，，由得，，同理，．                                   ……14分由得，即，整理得（）．                        ……16分注意到且，所以要使上述關(guān)于k的一元二次方程有正數(shù)解，只需，解得．因此，的最大值為．……18分21. （1）因為在處取得極值（最值），由，得．                                         ……4分（2）記（），在處取得極值且．由得，從而且，故．  ……6分另一方面，由，得．設(shè)（），則，所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．                      ……8分注意到，所以方程有唯一實根，即，解得．經(jīng)檢驗，函數(shù)在處取得極小值，滿足題意．綜上，k的值為1．                                                   ……10分（3）由得，即．設(shè)、為函數(shù)的“2相關(guān)點”，則且，．另一方面，，則且，．所以，且，解得，，．            ……12分故，（）．設(shè)切點為，則切線的斜率，從而切線方程為，將點代入，整理得．                         ……14分設(shè)，則函數(shù)在R上有三個不同的零點．（），01－0＋0－↘極小值↗極大值↘……16分注意到，，根據(jù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間和上都沒有零點，在區(qū)間上恰有一個零點，故在區(qū)間和各恰有一個零點，所以，解得實數(shù)a的取值范圍是．                                  ……18分 
 

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