四川省閬中中學(xué)校2023年春高2020級4月月考數(shù)學(xué)（理科）試題（滿分：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和是（    ）A．－6    B．－4    C．4     D．62．已知集合，，且，則（    ）A．   B．        C．        D．3．在中，“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4.閬中是中國歷史文化名城，世界優(yōu)秀旅游城市目的地，每年都會在這里舉行“閬馬”比賽，選手們沿著美麗的嘉陵江比賽，在閬苑古城中穿越，領(lǐng)略千年古城的魅力。小王為參加“閬馬”比賽，每天堅(jiān)持健身運(yùn)動。依據(jù)小王2022年1月至2022年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)，整理并繪制成拆線圖，根據(jù)該拆線圖，下列結(jié)論正確的是（  ）A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程的極差小于15C.月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)D.1月至5月的月跑步里程的方差相對于6月至11月的月跑步里程的方差更大5.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）6. 已知為正方形，其內(nèi)切圓與各邊分別切于,連接現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機(jī)拋擲一枚豆子（豆子大小忽略不計(jì)），記事件A:豆子落在圓內(nèi)；事件B:豆子落在四邊形外，則（     ）  A.                B.  C.  D. 7.在中，，且，，動點(diǎn)M在線段AB上移動，則的最小值為（    ）A．          B．        C．       D．8．下面關(guān)于函數(shù)的敘述中，正確的是（    ）①的最小正周期為          ②的對稱中心為③的單調(diào)增區(qū)間為    ④的對稱軸為A．①③         B．②③④        C．②④       D．①③④9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上（異于頂點(diǎn)），（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)作直線的垂線與軸交于點(diǎn)，則（   ）                                     10. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，滿足為奇函數(shù)且，當(dāng)時，若則（    ）                                      11.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足若函數(shù)在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，則的取值范圍為 （   ）                     12. 設(shè)，，，則     (     )A.   B.   C.   D. 二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知，則             14．電影《中國乒乓之絕地反擊》講述了1992年至1995年期間，戴敏佳從國外回來擔(dān)任主帥決心有一番作為，龔楓、白民和、黃昭、侯卓翔、董帥五名運(yùn)動員在戴敏佳的帶領(lǐng)下，在天津世錦賽絕地反擊的故事。影片中主人公的奮斗歷程和頑強(qiáng)拼搏、為國爭光的精神激勵我們奮勇前行！該影片于2023年1月14日正式上映．在《中國乒乓之絕地反擊》上映當(dāng)天，一對夫婦帶著他們的兩個小孩一起去觀看該影片，訂購的4張電影票恰好在同一排且連在一起，為安全起見，影院要求每個小孩要有家長相鄰陪坐，則不同的坐法共有__________種．15. 如圖，在正四棱臺中，，，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積______.16. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的漸近線與圓在第一象限的交點(diǎn)為M，線段與C交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則C的離心率為__________．三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題 （共60分）17.已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.       18. “稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”，“當(dāng)你為未來付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)閱讀到這些話的時候，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量.為了解某地區(qū)普通高中學(xué)校學(xué)生的閱讀時間，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了名普通高中學(xué)生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）為進(jìn)一步了解這名學(xué)生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這中隨機(jī)抽取人，記周平均閱讀時間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用表示這學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時間在內(nèi)的概率，其中當(dāng)最大時，寫出的值.   19.如圖甲所示的正方形中，對角線分別交于點(diǎn)，將正方形沿折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱（1）若點(diǎn)在棱上，且，證明：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.  20.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點(diǎn)，M在N的左側(cè)．（1）若，求l的斜率；（2）記直線的斜率分別為，證明：為定值．   21.已知函數(shù)（自然對數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)？說明你的理由.   （二）選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.并請考生務(wù)必將答題卡中對所選試題的題號進(jìn)行涂寫.22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）若，在極坐標(biāo)系中直線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）若，直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的最小值.   23. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）若為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值.    四川省閬中中學(xué)校2023年春高2020級4月月考數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案一、選擇題題號123456789101112答案DCBCACBDAABA1.因?yàn)?/span>．所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別是4和2，故復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是．故選：D2.由得所以集合因為所以解得故選：C.3.在中，.必要性成立；反之，不能如時，即，即充分性不成立，故可判斷是的必要而不充分條件。故選：B4. 解:對于A,由折線圖的變化趨勢可知，月跑步里程不是逐月增加的，故選項(xiàng)A錯誤;對于B,由折線圖可知，月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月為5,最大值出現(xiàn)在10月為25,極差為20,大于15,故選項(xiàng)B錯誤;對于C,月跑步里程從小到大排列為: 2月，8月，3月，4月，1月,5月，7月,6月，11月，9月，10月，則5月對應(yīng)的里程為中位數(shù)，故C正確;對于D,由折線圖的變化趨勢可知，1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小，所以1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故選項(xiàng)D錯誤.故選: C.5. 對于函數(shù)，∵ 故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，B、D錯誤；又∵，且，故，C錯誤；故選：A.6.由題意，設(shè)正方形的邊長為，則圓的半徑為，面積為，正方形的邊長為，面積為；所以所求的概率為故選：C.7.以為原點(diǎn)，為軸建系，所以，所以，所以最小值為.故選：B8. ，①,函數(shù)的最小正周期，①正確；的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且為偶函數(shù)，的對稱軸為②錯誤，④正確；當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，③正確。故選：D9.依題意，設(shè)由得為的中點(diǎn)且則易得直線的垂線的方程為令得故由拋物線定義知，故，故選：A.10. 由為奇函數(shù)可得：，即令，則（即關(guān)于點(diǎn)對稱）；由得的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的周期.所以，即，聯(lián)立解得故.所以.故選：A.11.在區(qū)間上單調(diào), 的對稱中心為且，即,即，,又的對稱中心為,在區(qū)間上恰有個零點(diǎn)，相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離為，即五個零點(diǎn)之間即，六個零點(diǎn)之間即，只需即可，即，又，,故選：B.12.因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，所以，若，則，設(shè)在上單調(diào)遞增，所以，即，不合題意，故選：A.二、填空題：13.        14.      15.      16. 13.由可得，故.14.根據(jù)題意，將兩名家長、孩子全排列，有種排法，其中兩個孩子相鄰且在兩端的情況有種，則每個小孩子要有家長相鄰陪坐的排法有24-8= 16種，故答案為: 1615.設(shè)球O與上底面、下底面分別切于點(diǎn)，與面，面分別切于點(diǎn)，作出其截面如圖所示，則，， 于是， 過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，則，由勾股定理可得︰,所以，所以該球的表面積，故答案為：16.的漸近線為：，焦點(diǎn)，∵漸近線與圓在第一象限的交點(diǎn)為，聯(lián)立可得，所以N是的中點(diǎn)，，因?yàn)?/span>N在雙曲線上，,化簡得：所以離心率為，故答案為： 三、解答題：17.解：由條件知故                     …………1分設(shè)數(shù)列的公差為，則因為成等比數(shù)列，所以                  …………2分即解得                           …………4分所以         …………6分（2）由（1）知所以＝＝     …………9分故＝＝                                     …………12分21. 解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>.，..  ……2分∵在點(diǎn)處的切線方程為，切線的斜率為.∴得∴，.     ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.∴（為自然對數(shù)的底數(shù)）.在區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn).理由如下：                    ……7分∵總成立，∴在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)等價于在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù).                                                    ……8分∵，.又∵，由，得.當(dāng)時，得，得，即.在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，得，得，即.在上單調(diào)遞增.∴在處取得極小值，也是最小值.                      ……10分.綜上所述，在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)各有唯一零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn).∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn).                           ……12分   22.解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.因?yàn)椋c(diǎn)的極坐標(biāo)為.∴，.                       ……2分∴當(dāng)時，得解之，得∴.                                            ……5分（Ⅱ）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為.                                ……6分∴曲線是以為圓心，半徑的圓.當(dāng)時，若，化直線的參數(shù)方程為普通方程，直線過定點(diǎn).若，直線的普通方程為，直線也過點(diǎn).∴直線恒過定點(diǎn).∵.∴點(diǎn)在圓內(nèi).                     ……8分∴當(dāng)為的中點(diǎn)時最小.這時，，.∴.                  ……10分23.解：（1）結(jié)合圖象知函數(shù)                       ……5分（2）由已知得當(dāng)時，則由得：即：則由柯西不等式：所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以的最小值為                                  ……10分

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