青海省西寧市2023屆高三模擬（二模）數(shù)學(xué)文科試題 一、單選題1．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）若集合，集合，則（    ）A． B． C． D．2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知，則（    ）A． B． C． D．3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）是一款具有社交屬性的健身，致力于提供健身教學(xué)、跑步、騎行、交友及健身飲食指導(dǎo)、裝備購(gòu)買等一站式運(yùn)動(dòng)解決方案.可以讓你隨時(shí)隨地進(jìn)行鍛煉，記錄你每天的訓(xùn)練進(jìn)程.不僅如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計(jì)劃.小吳根據(jù)記錄的2019年1月至2019年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論不正確的是（    ）A．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)B．月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月C．月跑步里程逐月增加D．1月至5月的月跑步里程相對(duì)于6月至11月波動(dòng)性更小4．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B．或 C． D．不存在5．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）在等比數(shù)列中，，，則（    ）A． B． C．或 D．或6．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）從到的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和是質(zhì)數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．7．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）若，，，，則（    ）A． B． C． D．8．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)是圓上的一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則的最大值為(  )A． B． C． D． 二、多選題9．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則（    ）A．三點(diǎn)共線B．的長(zhǎng)度為1C．直線與平面所成角的正切值為D．的面積為 三、填空題10．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）若雙曲線的一條漸近線方程為，則___________.11．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，，，則在上的投影為___________.12．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）母線長(zhǎng)為10的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，則該圓錐的體積為___________.13．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為___________. 四、解答題14．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，是邊上的一點(diǎn)，且，求線段的最大值.15．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形CDEF為平行四邊形，平面平面ABCD，．(1)證明：平面ABE；(2)若，，，求三棱錐的體積．16．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知．(1)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍，(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
參考答案：1．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合M，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】，，則.故選：B.2．C【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后通過復(fù)數(shù)的模的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，故選：C.3．C【分析】根據(jù)折線圖的信息，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由所給折線圖可知： 月跑步里程的中位數(shù)為5月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，故選項(xiàng)A正確；月跑步里程最大值出現(xiàn)在10月，故選項(xiàng)B正確；月跑步里程并不是逐月遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 1月至5月的月跑步里程相對(duì)6月至11月，波動(dòng)性更小，故選項(xiàng)D正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折線圖數(shù)據(jù)分析，考查數(shù)形結(jié)合，屬于基礎(chǔ)題.4．B【分析】先根據(jù)分段函數(shù)的解析式求出，，，即可得到，再分和兩種情況求解即可.【詳解】由題意，，，即.當(dāng)，即時(shí)，，解得，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，解得，滿足題意.所以或.故選：B.5．A【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得，所以，故選：A6．C【分析】利用列舉法求出試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再求出兩個(gè)數(shù)的和是質(zhì)數(shù)的事件所含基本事件數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】從到的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取兩個(gè)不同的數(shù)的不同結(jié)果有： ，共21個(gè)，其中這兩個(gè)數(shù)的和是質(zhì)數(shù)的事件有：，共8個(gè)，所以這兩個(gè)數(shù)的和是質(zhì)數(shù)的概率為.故選：C7．D【分析】先計(jì)算出，，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式展開計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>所以，所以，因?yàn)?/span>所以，因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：D8．A【分析】由圓方程可得,易得為的焦點(diǎn).設(shè),根據(jù)拋物線定義和圓的性質(zhì)可得,又,將的最大值的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,利用二次函數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)閳A,所以,易得為的焦點(diǎn).設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)是圓上的一點(diǎn),則,又,所以,令,則,所以當(dāng),即時(shí),取得最大值,最大值為.故選:A.9．ABD【分析】對(duì)于A，利用公理3，分別證明點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)平面上即可；對(duì)于B，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，以及中位線定理，可得答案；對(duì)于C，利用線面角的定義，根據(jù)長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)定義，可得答案；對(duì)于D，利用三角形之間的關(guān)系，可得答案.【詳解】對(duì)于A，連結(jié)，則四點(diǎn)共面，平面平面，又平面在平面與平面的交線上，同理也在平面與平面的交線上.三點(diǎn)共線，故A正確：對(duì)于B，設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為，易證平面平面，從而得到，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，同理可得為的中點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?/span>平面，則即為直線與平面所成角，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以?，故D正確.故選：ABD.10．4【分析】寫出漸近線方程，根據(jù)條件列方程求解.【詳解】由題知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，其中且 ，其漸近線方程為 ，由條件知一條漸近線方程為，即 ，所以 ，解得；故答案為：4.11．【分析】兩邊平方，求出，從而利用向量投影公式求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則在上的投影為.故答案為：12．【分析】求出側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)和底面圓半徑，再求出圓錐的高，由此計(jì)算圓錐的體積．【詳解】因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為10的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，所以側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為：.設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，所以，解得，所以該圓錐的高，所以該圓錐的體積.故答案為：.13．6【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列數(shù)列的對(duì)稱性，可得到0，，從而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以0，所以，則，故答案為：6.14．(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理得到，由輔助角公式求出答案；（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，從而求出，得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；（2）在中，由正弦定理得，所以.因?yàn)?/span>，所以，在中，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即線段的最大值為.15．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；（2）取的中點(diǎn)為，連接，依次證明平面、平面，然后可求出點(diǎn)到平面的距離，然后根據(jù)算出答案即可.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，即，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面ABE，（2）取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>，，所以為等邊三角形，所以，，因?yàn)槠矫?/span>平面ABCD，平面平面ABCD ，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?/span>是直角梯形，，，，，所以，所以.16．(1)(2)證明見解析. 【分析】（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出函數(shù)的最大值即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，然后求得的最小值即可證明.【詳解】（1）由，可得，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以，由在上恒成立，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)，，令，則，即時(shí)，，則單調(diào)遞增；即時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），因?yàn)楹瘮?shù)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減；所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），因?yàn)?/span>，且（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)） ，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），所以（兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立這里反為大于號(hào)），令，即證，因額為，令，可得，所以，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增；所以，所以，即當(dāng)時(shí)，． 

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