?2023年河南省周口市太康縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．
1．（3分）下列四個數(shù)中，最小的一個數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2 B． C．0 D．
2．（3分）要調(diào)查下列問題，適合采用全面調(diào)查（普查）的是（　?。?br /> A．調(diào)查某市中學(xué)生對《天宮課堂》的喜愛程度
B．調(diào)查某班同學(xué)的視力情況
C．調(diào)查全市中學(xué)生每周體育鍛煉時間
D．調(diào)查黃河流域中魚的種類
3．（3分）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（　?。?br />
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（3分）下列計算正確的是（　　）
A．3m2+2m＝5m3 B．（m2n）3＝m5n3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2+n2 D．
5．（3分）由7個相同的小正方體組成的幾何體如圖所示，它的主視圖為（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）如圖是某班45名同學(xué)愛心捐款額的頻數(shù)分布直方圖（每組含前一個邊界值，不含后一個邊界值），則捐款人數(shù)最多的一組是（　　）

A．5～10元 B．10～15元 C．15～20元 D．20～25元
7．（3分）若k＜0，則關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根
8．（3分）人們常用“一剎那”這個詞來形容時間極為短暫，按古印度《僧只律》（又有資料為《倡只律》）解釋：一剎那即為一念，二十念為一瞬；二十瞬為一彈指，二十彈指為一羅預(yù)；二十羅預(yù)為一須叟，一日一晝?yōu)槿氎牛沾擞嬎?，一須叟?8分鐘，一羅預(yù)為144秒，一彈指為7.2秒，一瞬為0.36秒，一剎那為0.018秒．則一天24小時有（　?。?br /> A．8×104剎那 B．4.8×106剎那
C．4.8×105剎那 D．4.8×107剎那
9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點，，對角線AC，OB交于點D，將菱形OABC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第77次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（0，） B．（0，﹣） C．（3） D．（3，﹣）
（多選）10．（3分）很多家庭都用燃氣熱水器，為了防止一氧化碳泄漏帶來的危害，一般會安裝燃氣報警器．其中一種燃氣報警器核心部件是氣敏傳感器（圖1中的R1），R1的阻值隨空氣中一氧化碳質(zhì)量濃度c的變化而變化（如圖2），空氣中一氧化碳體積濃度（ppm）與一氧化碳質(zhì)量濃度c的關(guān)系見圖3．下列說法不正確的是（　?。?br />
A．空氣中一氧化碳質(zhì)量濃度c越大，R1的阻值越小
B．當(dāng)c＝0g/m3時，R1的阻值為60Ω
C．當(dāng)空氣中一氧化碳體積濃度是480ppm時，燃氣報警器為報警狀態(tài)
D．當(dāng)R1＝20Ω時，燃氣報警器為報警狀態(tài)
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）寫出一個在2和3之間的無理數(shù) 　 ?。?br /> 12．（3分）不等式組的解集是 　 　．
13．（3分）小明制作了如圖所示的四張卡片（四張卡片除正面的文字不同外，其余均相同），現(xiàn)將四張卡片背面朝上，洗勻放好．從中隨機抽取兩張卡片，則這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的概率是 　 　．

14．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，連接EF，以B點為圓心，AB的長為半徑畫弧，交EF于點P，則圖中陰影部分的面積為 　 ?。?br />
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，點E在BC邊上，點C′與點C關(guān)于直線DE對稱，連接DC′，若DC′與菱形的一邊垂直，則線段CE的長為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：．
（2）化簡：÷（x2+4x）．
17．（9分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，某中學(xué)舉行黨史知識競賽，團委隨機抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本，把成績得分x（滿分100分）按四個等級分別進行統(tǒng)計，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．
競賽成績/分
等級
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
優(yōu)秀

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次抽查的學(xué)生人數(shù)是 　 　人，圓心角β＝　 　°；
（2）補全條形統(tǒng)計圖，并指出成績的中位數(shù)落在哪個等級；
（3）學(xué)校計劃給參加黨史競賽獲得良好、優(yōu)秀兩個等級的同學(xué)每人分別獎勵價值3元、5元的學(xué)習(xí)用品，該校共有1000名學(xué)生參加黨史競賽，試估計此次競賽該校用于獎勵學(xué)生的費用．
18．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，m），與x軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）B是反比例函數(shù)圖象上一點，且縱坐標(biāo)是1，BD∥x軸，交直線AC于點D，求BD的長．

19．（9分）洛陽應(yīng)天門是隋唐洛陽城宮城的正南門，始建于隋大業(yè)元年，也就是公元605年，先后歷經(jīng)隋、唐、五代、北宋四個時期，應(yīng)天門是一座由門樓、朵樓和東西闕樓及其間的廊廡為一體的“凹”字形巨大建筑群．某數(shù)學(xué)興趣小組測量一側(cè)闕樓的高度，如圖，在A處用測角儀測得闕樓最高點B的仰角為45°，在同一位置加高測角儀至E點，測得闕樓最高點B的仰角為43°，已知測角儀支架高AD＝1米，DE＝2.4米，請根據(jù)相關(guān)測量信息，求闕樓BC的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

20．（9分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點．
（1）過點B作⊙O的切線PB，交AC的延長線于點P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若OD⊥BC，垂足為D，OD＝2，PC＝9，求PB的長．

21．（9分）隨著“雙減”政策的逐步落實，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時間的政策引發(fā)社會的廣泛關(guān)注，體育用品需求增加，某商店決定購進A、B兩種羽毛球拍進行銷售，已知每副A種球拍的進價比每副B種球拍貴20元，用2800元購進A種球拍的數(shù)量與用2000元購進B種球拍的數(shù)量相同．
（1）求A、B兩種羽毛球拍每副的進價；
（2）若該商店決定購進這兩種羽毛球拍共100副，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100副羽毛球拍的資金不超過5900元，那么該商店最多可購進A種羽毛球拍多少副？
（3）若銷售A種羽毛球拍每副可獲利潤25元，B種羽毛球拍每副可獲利潤20元，在第（2）問條件下，如何進貨獲利最大？最大利潤是多少元？
22．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交y軸于點C，交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，作直線BC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使PC+PA的值最小，求點P的坐標(biāo)；
（3）M是x軸上的動點，將點M向上平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線和直線BC都存在交點，請直接寫出點M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．

23．（10分）綜合與實踐
在綜合實踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動．
操作判斷
（1）操作一：將正方形ABCD與正方形AEFG的頂點A重合，點G在正方形ABCD的邊AD上，如圖1，連接CF，取CF的中點O，連接DO，OG．操作發(fā)現(xiàn)，DO與OG的位置關(guān)系是 　 ??；DO與OG的數(shù)量關(guān)系是 　 ??；
（2）操作二：將正方形AEFG繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；
拓展應(yīng)用
（3）若AB＝4，AE＝2，當(dāng)∠BAG＝150°時，請直接寫出DO的長．


2023年河南省周口市太康縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．
1．（3分）下列四個數(shù)中，最小的一個數(shù)是（　?。?br /> A．﹣2 B． C．0 D．
【解答】解：∵﹣2＝﹣，|﹣|＞|﹣|，
∴﹣，
∴﹣2，
∴﹣2＜﹣＜0＜，
∴最小的數(shù)是﹣2．
故選：A．
2．（3分）要調(diào)查下列問題，適合采用全面調(diào)查（普查）的是（　　）
A．調(diào)查某市中學(xué)生對《天宮課堂》的喜愛程度
B．調(diào)查某班同學(xué)的視力情況
C．調(diào)查全市中學(xué)生每周體育鍛煉時間
D．調(diào)查黃河流域中魚的種類
【解答】解：A．調(diào)查某市中學(xué)生對《天宮課堂》的喜愛程度，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；
B．調(diào)查某班同學(xué)的視力情況，適合全面調(diào)查，故本選項符合題意；
C．調(diào)查全市中學(xué)生每周體育鍛煉時間，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意；
D．調(diào)查黃河流域中魚的種類，適合抽樣調(diào)查，故本選項不合題意．
故選：B．
3．（3分）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點B放在直線EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（　?。?br />
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，
∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故選：C．
4．（3分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．3m2+2m＝5m3 B．（m2n）3＝m5n3
C．（m+n）（m﹣n）＝m2+n2 D．
【解答】解：A、3m2和2m不是同類項，不能合并，原式計算錯誤，故選項不符合題意；
B、（m2n）3＝m6n3，原式計算錯誤，故選項不符合題意；
C、（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，原式計算錯誤，故選項不符合題意；
D、5＝7，原式計算正確，故選項符合題意．
故選：D．
5．（3分）由7個相同的小正方體組成的幾何體如圖所示，它的主視圖為（　?。?br />
A． B．
C． D．
【解答】解：從正面看，可得如下圖形：

故選：A．
6．（3分）如圖是某班45名同學(xué)愛心捐款額的頻數(shù)分布直方圖（每組含前一個邊界值，不含后一個邊界值），則捐款人數(shù)最多的一組是（　　）

A．5～10元 B．10～15元 C．15～20元 D．20～25元
【解答】解：根據(jù)圖形所給出的數(shù)據(jù)可得：
捐款額為15～20元的有20人，人數(shù)最多，
則捐款人數(shù)最多的一組是15﹣20元．
故選：C．
7．（3分）若k＜0，則關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情況是（　?。?br /> A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根
C．有兩個相等的實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根
【解答】解：∵Δ＝12﹣4（k﹣1）＝5﹣4k，
而k＜0，
∴5﹣4k＞0，即Δ＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
8．（3分）人們常用“一剎那”這個詞來形容時間極為短暫，按古印度《僧只律》（又有資料為《倡只律》）解釋：一剎那即為一念，二十念為一瞬；二十瞬為一彈指，二十彈指為一羅預(yù)；二十羅預(yù)為一須叟，一日一晝?yōu)槿氎牛沾擞嬎悖豁氎艦?8分鐘，一羅預(yù)為144秒，一彈指為7.2秒，一瞬為0.36秒，一剎那為0.018秒．則一天24小時有（　?。?br /> A．8×104剎那 B．4.8×106剎那
C．4.8×105剎那 D．4.8×107剎那
【解答】解：3600×24÷0.018＝4800000＝4.8×106．
故選：B．
9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點，，對角線AC，OB交于點D，將菱形OABC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第77次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（0，） B．（0，﹣） C．（3） D．（3，﹣）
【解答】解：∵四邊形ABCO是菱形，
∴AC⊥BO，BD＝DO，AD＝CD，
∵點B（0，4），點A（2，2），
∴BO＝4，AD＝CD＝2，DO＝2，
∴點D（0，2）
菱形每次逆時針旋轉(zhuǎn)60°，相當(dāng)于對點D每次逆時針旋轉(zhuǎn)60°，
根據(jù)圖形變化可得，
旋轉(zhuǎn)1次D1坐標(biāo)為（﹣3，），
旋轉(zhuǎn)2次D2坐標(biāo)為（﹣3，﹣），
旋轉(zhuǎn)3次D3坐標(biāo)為（0，﹣2），
旋轉(zhuǎn)4次D4坐標(biāo)為（3，﹣），
旋轉(zhuǎn)5次D5坐標(biāo)為（3，），
旋轉(zhuǎn)6次D6坐標(biāo)為（0，2），
???，
坐標(biāo)的變化具有周期性，
77÷6＝12???5，
∴第77次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)（3，），
故選：C．
（多選）10．（3分）很多家庭都用燃氣熱水器，為了防止一氧化碳泄漏帶來的危害，一般會安裝燃氣報警器．其中一種燃氣報警器核心部件是氣敏傳感器（圖1中的R1），R1的阻值隨空氣中一氧化碳質(zhì)量濃度c的變化而變化（如圖2），空氣中一氧化碳體積濃度（ppm）與一氧化碳質(zhì)量濃度c的關(guān)系見圖3．下列說法不正確的是（　?。?br />
A．空氣中一氧化碳質(zhì)量濃度c越大，R1的阻值越小
B．當(dāng)c＝0g/m3時，R1的阻值為60Ω
C．當(dāng)空氣中一氧化碳體積濃度是480ppm時，燃氣報警器為報警狀態(tài)
D．當(dāng)R1＝20Ω時，燃氣報警器為報警狀態(tài)
【解答】解：A、由圖2可知，R1的阻值隨空氣中一氧化碳質(zhì)量濃度c的增大而減小，
∴空氣中一氧化碳質(zhì)量濃度c越大，R1的阻值越小，故A正確，不符合題意；
B、由圖2可知，當(dāng)c＝0g/m3時，R1的阻值小于50Ω，故B錯誤，符合題意；
C、由圖3可知，c＞0.5g/m3時，燃氣報警器為報警狀態(tài)，
∴當(dāng)空氣中一氧化碳體積濃度大于0.5×103×0.8＝400（ppm）時，燃氣報警器為報警狀態(tài)，故C正確，不符合題意；
D、由圖2可知，R1＝20Ω時，c＝0.3g/m3，而c大于0.5g/m3時，燃氣報警器報警，故D錯誤，符合題意；
∴不正確的是BD，
故答案為：BD．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）寫出一個在2和3之間的無理數(shù) ?。ù鸢覆晃ㄒ唬。?br /> 【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
故答案為：（答案不唯一）．
12．（3分）不等式組的解集是 　1＜x＜3　．
【解答】解：，
由①得：x＜3，
由②得：x＞1，
∴不等式組的解集為1＜x＜3．
故答案為：1＜x＜3．
13．（3分）小明制作了如圖所示的四張卡片（四張卡片除正面的文字不同外，其余均相同），現(xiàn)將四張卡片背面朝上，洗勻放好．從中隨機抽取兩張卡片，則這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的概率是 　　．

【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的結(jié)果有2種，
∴這兩張卡片恰好組成“勞動”一詞的概率為＝．
故答案為：．
14．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，連接EF，以B點為圓心，AB的長為半徑畫弧，交EF于點P，則圖中陰影部分的面積為 　+2﹣?。?br />
【解答】解：連接PB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠EAB＝∠ABF＝90°，AD∥BC，
∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，
∴AE＝BF＝BC＝，
∴四邊形ABFE是矩形，
∵BP＝AB，
∴BF＝BP，
∵cos∠PBF＝＝，
∴∠PBF＝60°，
∴PF＝BF＝，
∴陰影PFC的面積＝扇形BPC的面積﹣△PBF的面積＝﹣BF?PF＝π﹣×1×＝π﹣；
∵陰影APE的面積＝矩形ABFE的面積﹣△PBF的面積﹣扇形BAP的面積＝AB?BF﹣BF?PF﹣，
∴陰影APE的面積＝2×1﹣×1×﹣＝2﹣﹣，
∴圖中陰影的面積＝π﹣+2﹣﹣＝+2﹣．
故答案為：+2﹣．

15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，點E在BC邊上，點C′與點C關(guān)于直線DE對稱，連接DC′，若DC′與菱形的一邊垂直，則線段CE的長為 　或2﹣2　．

【解答】解：如圖，當(dāng)DC'⊥CD時，

∴∠CDC'＝90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵點C'與點C關(guān)于直線DE對稱，
∴∠CDE＝∠C'DE＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠C＝∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝90°，DE＝CE，
∴DC＝CE＝2，
∴CE＝，
如圖，當(dāng)DC'⊥AD時，設(shè)DC'與BC交于點F，連接BD，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵DF⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴DC＝CF＝2，
∴CF＝，
∴BF＝2﹣，
∵點C'與點C關(guān)于直線DE對稱，
∴∠CDE＝∠C'DE＝22.5°，
∴∠DEB＝67.5°，
∵CD＝CB，∠C＝45°，
∴∠DBC＝67.5°＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF＝2﹣，
∴CE＝BC﹣BF﹣EF＝2﹣2（2﹣）＝2﹣2，
綜上所述：CE＝或2﹣2，
故答案為：或2﹣2．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．（10分）（1）計算：．
（2）化簡：÷（x2+4x）．
【解答】解：（1）
＝2﹣1+﹣1
＝；
（2）÷（x2+4x）
＝?
＝?
＝．
17．（9分）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立102周年，某中學(xué)舉行黨史知識競賽，團委隨機抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本，把成績得分x（滿分100分）按四個等級分別進行統(tǒng)計，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖．
競賽成績/分
等級
x＜70
不合格
70≤x＜80
合格
80≤x＜90
良好
90≤x≤100
優(yōu)秀

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次抽查的學(xué)生人數(shù)是 　50　人，圓心角β＝　144　°；
（2）補全條形統(tǒng)計圖，并指出成績的中位數(shù)落在哪個等級；
（3）學(xué)校計劃給參加黨史競賽獲得良好、優(yōu)秀兩個等級的同學(xué)每人分別獎勵價值3元、5元的學(xué)習(xí)用品，該校共有1000名學(xué)生參加黨史競賽，試估計此次競賽該校用于獎勵學(xué)生的費用．
【解答】解：（1）由題意得，次抽查的學(xué)生人數(shù)是10÷20%＝50（人）；
圓心角β＝×100%×360°＝144°，
故答案為：50；144；
（2）成績良好的人數(shù)為：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：

成績的中位數(shù)落在良好等級；
（3）1000××3+1000××5
＝1080+2000
＝3080（元）．
答：估計此次競賽該校用于獎勵學(xué)生的費用大約為3080元．
18．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，m），與x軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）B是反比例函數(shù)圖象上一點，且縱坐標(biāo)是1，BD∥x軸，交直線AC于點D，求BD的長．

【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝x+2的圖象過點A（1，m），
∴m＝1+2＝3，
∴A（1，3），
∵點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；
（2）∵點B是反比例函數(shù)圖象上一點且縱坐標(biāo)是1，
∴B（3，1），
作BD∥x軸，交直線AC于點D，則D點的縱坐標(biāo)為1，
代入y＝x+2得，1＝x+2，解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，1），
∴BD＝3+1＝4，

19．（9分）洛陽應(yīng)天門是隋唐洛陽城宮城的正南門，始建于隋大業(yè)元年，也就是公元605年，先后歷經(jīng)隋、唐、五代、北宋四個時期，應(yīng)天門是一座由門樓、朵樓和東西闕樓及其間的廊廡為一體的“凹”字形巨大建筑群．某數(shù)學(xué)興趣小組測量一側(cè)闕樓的高度，如圖，在A處用測角儀測得闕樓最高點B的仰角為45°，在同一位置加高測角儀至E點，測得闕樓最高點B的仰角為43°，已知測角儀支架高AD＝1米，DE＝2.4米，請根據(jù)相關(guān)測量信息，求闕樓BC的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

【解答】解：過點D作DG⊥BC，垂足為G，過點E作EF⊥BC，垂足為F，

由題意得：AD＝CG＝1米，DE＝FG＝2.4米，EF＝DG，
設(shè)BF＝x米，
∴BG＝BF+FG＝（x+2.4）米，
在Rt△DBG中，∠BDG＝45°，
∴DG＝＝（x+2.4）米，
∴EF＝DG＝（x+2.4）米，
在Rt△BFE中，∠BEF＝43°，
∴tan43°＝＝≈0.93，
解得：x≈31.89，
經(jīng)檢驗：x＝31.89是原方程的根，
∴BF＝31.89米，
∴BC＝BF+FG+CG≈35.3（米），
∴闕樓BC的高度約為35.3米．
20．（9分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點．
（1）過點B作⊙O的切線PB，交AC的延長線于點P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若OD⊥BC，垂足為D，OD＝2，PC＝9，求PB的長．

【解答】解：（1）如圖，PB為所作；

（2）∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵OB＝OA，
∴OD為△ABC的中位線，
∴AC＝2OD＝4，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵PB為⊙O的切線，
∴AB⊥PB，
∴∠PBA＝90°，
∵∠BPC＝∠APB，
∴Rt△PBC∽Rt△PAB，
∴PB：PA＝PC：PB，
即PB：（4+9）＝9：PB，
解得PB＝3，
即PB的長為3．
21．（9分）隨著“雙減”政策的逐步落實，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時間的政策引發(fā)社會的廣泛關(guān)注，體育用品需求增加，某商店決定購進A、B兩種羽毛球拍進行銷售，已知每副A種球拍的進價比每副B種球拍貴20元，用2800元購進A種球拍的數(shù)量與用2000元購進B種球拍的數(shù)量相同．
（1）求A、B兩種羽毛球拍每副的進價；
（2）若該商店決定購進這兩種羽毛球拍共100副，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100副羽毛球拍的資金不超過5900元，那么該商店最多可購進A種羽毛球拍多少副？
（3）若銷售A種羽毛球拍每副可獲利潤25元，B種羽毛球拍每副可獲利潤20元，在第（2）問條件下，如何進貨獲利最大？最大利潤是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)A種羽毛球拍每副的進價為x元，
根據(jù)題意，得，
解得x＝70，
70﹣20＝50（元），
答：A種羽毛球拍每副的進價為70元，B種羽毛球拍每副的進價為50元；
（2）設(shè)該商店購進A種羽毛球拍m副，
根據(jù)題意，得70m+50（100﹣m）≤5900，
解得m≤45，m為正整數(shù)，
答：該商店最多購進A種羽毛球拍45副；
（3）設(shè)總利潤為w元，
w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，
∵5＞0，
∴w隨著m的增大而增大，
當(dāng)m＝45時，w取得最大值，最大利潤為5×45+2000＝2225（元），
此時購進A種羽毛球拍45副，B種羽毛球拍100﹣45＝55（副），
答：購進A種羽毛球拍45副，B種羽毛球拍55副時，總獲利最大，最大利潤為2225元．
22．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2交y軸于點C，交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，作直線BC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點P，使PC+PA的值最小，求點P的坐標(biāo)；
（3）M是x軸上的動點，將點M向上平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線和直線BC都存在交點，請直接寫出點M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
則﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線x＝，
設(shè)直線BC的表達式為：y＝kx+2，
將點B的坐標(biāo)代入上式得：0＝4k+2，
解得：k＝﹣，
則直線BC的表達式為：y＝﹣x+2；
∵點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，則BC與拋物線對稱軸的交點即為點P，

當(dāng)x＝時，y＝﹣x+2＝，
即點P（，）；

（3）由題意得，MN＝3，
當(dāng)y＝﹣x+2＝3時，x＝﹣2，
即當(dāng)x＝﹣2時，MN和直線BC有交點，但與拋物線沒有交點，
則當(dāng)x＝﹣1時，線段MN與拋物線和直線BC都開始存在交點，
當(dāng)點M和點B重合時，線段MN與拋物線和直線BC都存在交點，之后就不符合題意了，
故﹣1≤x≤4，
即M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍為：﹣1≤xM≤4．
23．（10分）綜合與實踐
在綜合實踐課上，同學(xué)們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動．
操作判斷
（1）操作一：將正方形ABCD與正方形AEFG的頂點A重合，點G在正方形ABCD的邊AD上，如圖1，連接CF，取CF的中點O，連接DO，OG．操作發(fā)現(xiàn)，DO與OG的位置關(guān)系是 　OD⊥OG　；DO與OG的數(shù)量關(guān)系是 　OD＝OG??；
（2）操作二：將正方形AEFG繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；
拓展應(yīng)用
（3）若AB＝4，AE＝2，當(dāng)∠BAG＝150°時，請直接寫出DO的長．

【解答】解：（1）延長GO交CD于H點，

∵正方形ABCD與正方形AEFG的頂點A重合，
∴CD∥BA，F(xiàn)G∥AE，GF＝AG，
∴CD∥FG，
∴∠HCO＝∠GFO，
∵CF的中點O，
∴CO＝OF，
在△COH與△FOG中，
，
∴△COH≌△FOG（ASA），
∴HO＝OG，CH＝GF，
∴CH＝AG，
∵HD＝CD﹣CH，DG＝AD﹣AG，
∴HD＝DG，
∴OD⊥OG，∠HDO＝∠GDO＝45°，
∴OD＝OG，
故答案為：OD⊥OG，OD＝OG；
（2）兩個結(jié)論仍然成立，理由如下：
連接DG，作CI∥GF交AB于點I，延長GO交CI于點J，連接DJ，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，CD＝AD，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∴∠DCI+∠CIA＝180°，
∵CI∥GF，
∴∠JCO＝∠GFO，
∵O為CF的中點，
∴CO＝FO，
∵∠COJ＝∠FOG，
∴△COJ≌△FOG（ASA），
∴JO＝GO，CJ＝FG，
在正方形AEFG中，AG＝FG，F(xiàn)G∥AE，
∴CJ＝AG，CI∥AE，
∴∠CIA＝∠IAE，
在正方形ABCD與正方形AEFG中，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠DAG+∠IAE＝180°，
∴∠DCI＝∠DAG，
∵CD＝AD，
∴△DCJ≌△DAG（AAS），
∴∠CDJ＝∠ADG，DJ＝DG，
∵∠CDJ+∠JDA＝∠CDA＝90°，
∴∠ADG+∠JDA＝∠JDG＝90°，
∴△JDG為等腰直角三角形，
∵O為JG的中點，
∴DO⊥JG，DO＝OG＝JG，
∴DO⊥OG，DO＝OG；
（3）DO的長為或，理由如下：
連接DG，當(dāng)AG在直線BA上方時，可知∠DAG＝60°，取AD的中點P，連接GP，
∵AB＝4，AE＝2，
∴AP＝2，
∴AP＝AE，
∵∠DAG＝60°，
∴△APG為等邊三角形，

∴DP＝PG，
∴∠PDG＝∠PGD＝30°，
∴∠AGD＝90°，
根據(jù)勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
連接DG，當(dāng)AG在直線BA下方時，過點G作GR⊥DA交DA的延長線于點R，

∴∠DRG＝90°，
∵∠BAG＝150°，
∴∠GAR＝60°，
∴AR＝1，RG＝，
根據(jù)勾股定理可得：DG＝，
由（2）可知：DO＝，
綜上所述，DO的長為或．


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