2022-2023學年安徽省滁州市定遠一中九年級（下）摸底數(shù)學試卷（3月份）一、選擇題（本大題共9小題，共27.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  一個數(shù)的相反數(shù)是，則這個數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列計算錯誤的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  人的大腦每天能記錄大約萬條信息，萬用科學記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知直線，將一副三角板按如圖所示放置在兩條平行線之間，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 5.  如圖，在平面直角坐標系中，有點和，在軸上取一點，使點到點和點的距離之和最小，則點的坐標是(    )
A.  B.  C.  D. 6.  有張卡片形狀、大小、質(zhì)地都相同，上面分別畫有下列圖形：平行四邊形菱形矩形正方形，將卡片背面朝上洗勻，從中抽取一張，正面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的概率是(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，是的直徑，是的切線，切點為點，過點的直線與交于點，則下列結(jié)論錯誤的是(    )A.
B. 如果平分，
C. 如果平分，那么
D. 如果，那么也是的切線
 
 8.  已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，并有以下結(jié)論：函數(shù)圖象與軸正半軸相交；當時，隨的增大而增大，則坐標系的原點可能是(    )A. 點 B. 點 C. 點 D. 點9.  如圖是一張矩形紙片，點是中點，點在上，把該紙片沿折疊，點、的對應點分別為、，與相交于點，的延長線經(jīng)過點若，則的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）10.  若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍為______．11.  將分解因式的結(jié)果為        ．12.  如圖，在中，，以為圓心、為半徑的與相切于點，與、分別交于點、，點是上一點，連接、，若，則的度數(shù)為______．
 13.  如圖，∽，，，，點在線段上運動，當點從點運動到點時．
當時，則        ；
設為線段的中點，在點的運動過程中，的最小值是        ．
三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）14.  本小題分
計算．
解方程：15.  本小題分
先化簡，再求值：，并從，，這三個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為的值代入求值．16.  本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．
畫出繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到的；
連接，的度數(shù)為______；
以原點為位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)將縮小得到，畫出，直接寫出點的坐標．17.  本小題分
“兩果問價”問題出自我國古代算書四元玉鑒，原題如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個？又問各該幾個錢？將題目譯成白話文，內(nèi)容如下：九百九十九文錢買了甜果和苦果共一千個，已知十一文錢可買九個甜果，四文錢可買七個苦果，那么甜果、苦果各買了多少個？買甜果和苦果各需要多少文錢？18.  本小題分
觀察下列等式：
；
；
；
；
；

請按以上規(guī)律寫出第個等式______ ；
猜想并寫出第個等式______ ；并證明猜想的正確性．
利用上述規(guī)律，計算： ______ ．19.  本小題分
如圖，為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活綠色出行”健步走公益活動，小宇在點處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東的點處，觀光船到濱海大道的距離為米．當小宇沿濱海大道向東步行米到達點時，觀光船沿北偏西的方向航行至點處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從處航行到處的距離．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
20.  本小題分
如圖，以的邊為直徑作交邊于點，恰有．
求證：與相切；
在上取點，使得．
求證：；
若，，求陰影部分的面積．
21.  本小題分
如圖，小兵和小伙伴一起玩扔小石頭游戲，我們把小石頭的運動軌跡看成是拋物線的一部分．
如圖所示，以點為原點建立平面直角坐標系已知扔小石頭的出手點在點正上方米的位置，小石頭在與點的水平距離為米時達到最高高度米；為扔小石頭的預期擊中目標，點在軸上，離點的水平距離為米，點在點的正上方米．

小兵扔的小石頭能否正好擊中點，并說明理由；
求小石頭運動軌跡所在拋物線的解析式；
直接寫出小石頭在運動過程中與直線的最大豎直距離．22.  本小題分
基礎鞏固
如圖，在中，，于點，求證：．
嘗試應用
如圖，在矩形中，，點在上，，于點，求的長．
拓展提高
如圖，在矩形中，點在邊上，與關(guān)于直線對稱，點的對稱點在邊上，為中點，連結(jié)交于點，，若，求的長．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
的相反數(shù)是．
故選：．
依據(jù)絕對值、相反數(shù)的定義求解即可．
本題主要考查的是絕對值、相反數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，故原題計算正確，不符合題意；
B、，故原題計算正確，不符合題意；
C、和不是同類項，不能合并，故原題計算錯誤，符合題意；
D、，故原題計算正確，不符合題意；
故選：．
根據(jù)單項式乘法、積的乘方和冪的乘方、同底數(shù)冪的除法、合并同類項的計算法則進行分析即可．
此題主要考查了單項式乘以單項式，以及積的乘方和冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，關(guān)鍵是熟練掌握各計算法則．
 3.【答案】 【解析】解：將萬用科學記數(shù)法表示為．
故選：．
科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)．
此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：延長交直線于．
，
，
，，，
，
故選：．
延長交直線于首先證明，再根據(jù)計算即可．
本題考查平行線的性質(zhì)、特殊直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
 5.【答案】 【解析】解：如圖：

作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，連接，則此時最小，
即此時點到點和點的距離之和最小，
，
，
設直線的解析式是，，
把、的坐標代入得：，
解得，
，
把代入得：，
解得，
即點的坐標是，
故選：．
作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，連接，此時點到點和點的距離之和最小，求出點的坐標，設直線的解析式是，把、的坐標代入求出解析式，把代入求出的值即可得到點的坐標．
本題考查了軸對稱最短路線問題，一次函數(shù)的解析式，坐標與圖形性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是能畫出的位置，題目比較典型，是一道比較好的題目．
 6.【答案】 【解析】解：將卡片背面朝上洗勻，從中抽取一張共有種等可能結(jié)果，其中正面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有種結(jié)果，
所以正面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的概率是，
故選：．
將卡片背面朝上洗勻，從中抽取一張共有種等可能結(jié)果，其中正面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的有種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．
本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念及概率公式．
 7.【答案】 【解析】解：、是所對的圓心角、圓周角，
；故選項正確，不合題意；
B.平分，是的切線，
，
，則，
為等腰直角三角形，
，
故選項錯誤，符合題意；
C.平分，
，
，則，
，
，
是的切線，為半徑，
，
，
故選項正確，不合題意；
D.，

，
，
，，
≌，
，
也是的切線，
故選項正確，不合題意；
故選：．
A.由圓周角定理可得，便可判斷正誤；
B.由角平分線與等腰三角形的性質(zhì)可知為等腰直角三角形，可得與的數(shù)量關(guān)系，便可判斷正誤；
C.由角平分線與等腰三角形的性質(zhì)得，便可判斷正誤；
D.證明≌，得，便可判斷正誤．
本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)與定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，綜合應用這些知識解題是關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：函數(shù)圖象與軸正半軸相交，
軸在拋物線與軸的兩個交點之間，
點，可能是原點，
當時，隨的增大而增大，
軸在拋物線頂點左側(cè)，
點可能是原點．
故選：．
由條件可確定軸在拋物線與軸的兩個交點之間，由條件可確定軸在頂點左側(cè)，進而求解．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
 9.【答案】 【解析】解：連接，，過點作于點設，．

，
可以假設，．
，
由翻折的性質(zhì)可知，，，
，
，
，
，
，
，，共線，，
，
，
，
或舍去，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
．
故選：．
連接，，過點作于點設，設，則，由翻折的性質(zhì)可知，，，因為，，共線，，推出，推出，可得，推出或舍去，推出，再利用勾股定理求出，可得結(jié)論．
本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
 10.【答案】 【解析】解：由題意知，
解得，
故答案為：．
根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可．
本題主要考查二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．
 11.【答案】 【解析】解：

．
先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可．
此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】． 【解析】解：連接，，
與相切于點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
故答案為：．
連接，，由切線的性質(zhì)得到，由已知條件結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得，進而求得，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證得是等邊三角形，得到，根據(jù)圓周角的性質(zhì)即可求得的度數(shù)．
本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，求出的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．
 13.【答案】   【解析】解：∽，
，，
，，
∽，
，
．
，
故答案為：；

∽，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
的值最小時，的值最小，此時的值最小，
，，，
，
根據(jù)垂線段最短可知，當時，的值最小，此時，
，
的最小值為，
故答案為：．
證明∽，推出，可得結(jié)論；
證明，推出，求出的最小值，可得結(jié)論．
本題考查相似三角形的性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
 14.【答案】解：



；

移項得，
提公因式得，
，． 【解析】根據(jù)絕對值運算、負整數(shù)指數(shù)冪運算、零指數(shù)冪運算及特殊角的三角函數(shù)值運算分別計算后，再根據(jù)實數(shù)運算法則求解即可得到答案；
根據(jù)提公因式因式分解法求解一元二次方程即可得到答案．
本題考查實數(shù)運算及解一元二次方程，涉及絕對值運算、負整數(shù)指數(shù)冪運算、零指數(shù)冪運算、特殊角的三角函數(shù)值運算及一元二次方程因式分解法求解的方法步驟，熟練掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．
 15.【答案】解：


，
當時，原式． 【解析】利用分式的運算法則，先對分式化簡單，再選擇使分式有意義的數(shù)代入求值即可．
本題主要考查分式的化簡求值，熟悉掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵，注意分式有意義的條件．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，即為所求；

，且，
；
故答案為：；
如圖，即為所求，
將點、分別繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到其對應點，再與點首尾順次連接即可得出答案；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；
根據(jù)位似變換的概念作出點、的對應點，再與點首尾順次連接即可．
本題主要考查作圖旋轉(zhuǎn)變換與位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換與位似變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應點．
 17.【答案】解：設甜果買了個，苦果買了個，
依題意，得：，
解得：，
，．
答：甜果買了個，需要文錢；苦果買了個，需要文錢． 【解析】設甜果買了個，苦果買了個，根據(jù)九百九十九文錢買了甜果和苦果共一千個，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，再將其代入，中即可求出結(jié)論．
本題考查二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】    【解析】解：；
第個等式：，
證明：，
；
原式，
，
．
根據(jù)分母不變，分子是兩個數(shù)的平方差可得答案；
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第個等式并計算可進行驗證；
根據(jù)，，可得，進而可得答案．
本題考查對規(guī)律型問題的理解和有理數(shù)的運算能力，找到規(guī)律是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】解：過點作于，

由題意得，，，
在中，，
，
，
，
，
四邊形為矩形，
，
在中，，
，
，
答：觀光船從處航行到處的距離約為． 【解析】過點作于，根據(jù)的正切值可得，則可得的長，再根據(jù)的正弦可得答案．
本題考查了解直角三角形的應用，從復雜的實際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目的關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：為的直徑，
，
，
，
，
，
為的直徑，
與相切；
證明：，
，
，
，
；
解：如圖，連接，
，
，，
，
，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)圓周角定理得到，得到，根據(jù)切線的判定定理證明；
根據(jù)圓周角定理得到，進而得到，證明；
連接，證明為等邊三角形，求出，根據(jù)扇形面積公式計算，得到答案．
本題考查的是切線的判定定理、圓周角定理、扇形面積計算、垂徑定理，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：小兵扔的小石頭能擊中點，理由如下：
根據(jù)題意，可得：拋物線的對稱軸為直線，
又根據(jù)題意，可得：，，
點和點關(guān)于直線對稱，
點在拋物線上，
小兵扔的小石頭能擊中點；
根據(jù)題意，可得：拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的解析式為，
又點經(jīng)過拋物線，
把的坐標代入解析式，可得：，
解得：，
拋物線的解析式為，
又根據(jù)題意，可得：該拋物線的自變量的取值范圍為，
小石頭運動軌跡所在拋物線的解析式為，
如圖，連接，設直線的解析式為，
把代入，可得：，
解得：，
直線的解析式為，
設直線上方的拋物線上的一點的坐標為，
過點作軸，交于點，則的坐標為，

，
當時，有最大值，最大值為，
小石頭在運動過程中與直線的最大豎直距離為． 【解析】根據(jù)題意，得出拋物線的對稱軸為直線，，，進而得出點和點關(guān)于對稱，再根據(jù)拋物線的對稱性，得出點在拋物線上，即可得出判斷；
根據(jù)題意，得出拋物線的頂點坐標，然后再根據(jù)頂點坐標設出拋物線的解析式，再根據(jù)題意，得出該拋物線經(jīng)過，再把的坐標代入解析式，計算得出拋物線的解析式，再根據(jù)題意，得出該拋物線的自變量的取值范圍為，即可得出小石頭運動軌跡所在拋物線的解析式；
連接，首先求出直線的解析式，然后設直線上方的拋物線上的一點的坐標為，過點作軸，交于點，則的坐標為，再根據(jù)兩點之間的距離，得出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出有最大值，進而得出答案．
本題考查了二次函數(shù)的實際應用、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在理清題意，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
 22.【答案】證明：，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：，
，
在矩形中，，，，
∽，
，
，
，
，
由可得，，
，
；
解：在矩形中，，
，
與關(guān)于直線對稱，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
，
是的中點，
，
由可得，，
設，則，
，
解得，舍去，
的長為． 【解析】由，得到，再由，得到∽，從而得到，變形即可得到答案；
由矩形的性質(zhì)得，，從而得到∽，即，由可得，，從而得到，計算即可得到答案；
由與關(guān)于直線對稱，得≌，從而得到，，再通過證明≌得到，由可得，，設，則，，解方程求出的值即可．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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