?2022～2023學(xué)年高三年級模擬試卷
數(shù)　　學(xué)
(滿分：150分　考試時間：120分鐘)
2023．2
一、 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中只有一個選項符合要求．
1. 設(shè)集合A＝{x|x＜2}，B＝，則(?RA)∩B＝(　　)
A. (1，2) B. [1，2] C. [2，3) D. [2，3]
2. 命題“?x＞0，x＞”的否定為(　　)
A. ?x＞0，x≤ B. ?x≤0，x≤ C. ?x＞0，x≤ D. ?x≤0，x≤
3. 若復(fù)數(shù)z＝(a∈R)是純虛數(shù)，則z＝(　　)
A. －1 B. －i C. －ai D. 3i
4. 已知兩個單位向量a，b滿足(2b－a)⊥(2a－b)，則a與b的夾角的余弦值為(　　)
A. － B. － C. D.
5. 已知正三棱柱ABCA1B1C1與以△ABC的外接圓為底面的圓柱的體積相等，則正三棱柱與圓柱的側(cè)面積的比值為(　　)
A. B. C. D. 2
6. 設(shè)C(x＋2)n－C(x＋2)n－1＋C(x＋2)n－2－…＋(－1)nC＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an，則a1＋a2＋…＋an－1＝(　　)
A. 2n－1－2 B. 2n－1－1 C. 2n－2 D. 2n－1
7. 下表提供了某廠進行技術(shù)改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位：噸標準煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：

x/噸
3
4
5
6
y/噸標準煤
2.5
3
4
4.5
已知該廠技術(shù)改造前100噸產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測該廠技術(shù)改造后100噸產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了(　　)
參考公式：在線性回歸方程y＝a＋bx中，b＝，a＝y(tǒng)－bx，其中x，y為樣本平均值．
A. 19.65噸標準煤 B. 29.65噸標準煤
C. 70.35噸標準煤 D. 90噸標準煤
8. 已知函數(shù)f(x)＝則f(f(x))＝1解的個數(shù)為(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、 選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 某次測試，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)測試成績服從正態(tài)分布，函數(shù)P(x)＝e－(x∈R)的圖象為其正態(tài)密度曲線，則下列說法正確的是(　　)
A. 這次測試的平均成績?yōu)?0
B. 這次測試的成績的方差為10
C. 分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在80分以下的人數(shù)相同
D. 分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)大致相同
10. 已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，則下列說法正確的是(　　)
A. 若直線PF1的斜率為k，則|k|∈[0，)
B. 使得△PF1F2為等腰三角形的P有且僅有四個
C. 點P到兩條漸近線的距離乘積為
D. 已知點Q(7，5)，則F2P＋PQ的最小值為5
11. 已知函數(shù)f(x)＝2x－tan x，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A. 函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)
B. 函數(shù)f(x)的圖象只有一個中心對稱點
C. 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
D. 曲線y＝f(x)(－＜x＜)只有一條過點(1，0)的切線
12. 若棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的頂點都在半徑為R的球面上，球面上點P與球心O分別位于平面ABCD的兩側(cè)，且四棱錐PABCD是側(cè)棱長為l的正四棱錐．記正四棱錐PABCD的側(cè)棱與直線AB所成的角為α，與底面ABCD所成的角為β，則下列說法正確的是(　　)
A. 15°＜α＜45° B. 15°＜β＜45° C. R＝a D. l＝a
三、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 數(shù)據(jù)23，76，45，37，58，16，28，15，53，24，42，36的25百分位數(shù)是________．
14. 在平面直角坐標系xOy中，點P到直線x＝－2與到點F(2，0)的距離相等，點Q在圓(x－10)2＋y2＝25上，則PQ的最小值為________．
15. 已知函數(shù)f(x)＝＋x2，則不等式f(x＋1)＋f(x－1)＜2x2＋2的解集為________．
16. 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n2an＋1＝2(n＋1)2an.記bn＝an＋1－an，則{an}的通項公式an＝________；{bn}的前n項和Tn＝________．
四、 解答題：本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. (本小題滿分10分)
設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球．現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球．
(1) 記從甲袋中取出的2個球中恰有X個白球，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
(2) 求從乙袋中取出的2個球中恰有1個紅球的概率．







18.(本小題滿分12分)
已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6.
(1) 求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2) 記cn＝log2bn＋1，求數(shù)列的前n項和Sn.








19.(本小題滿分12分)
已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊AB上的高CD為1，且c2＝ab cos C.
(1) 求證：＋＝；
(2) 求AB的最小值．











20.(本小題滿分12分)
如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，平行于BC的直線分別交線段AB，AC于點M，N.將△AMN沿著MN折起至△A1MN，使得二面角A1MNB是直二面角．
(1) 若平面A1MN∩平面A1BC＝l，求證：l∥BC；
(2) 若三棱錐A1AMN的體積為1，求二面角NA1MB的正弦值．





21.(本小題滿分12分)
已知點P(2，－1)在橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上，C的長軸長為4，直線l：y＝kx＋m與C交于A，B兩點，直線PA，PB的斜率之積為.
(1) 求證：k為定值；
(2) 若直線l與x軸交于點Q，求QA2＋QB2的值．





22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋3ax＋1－a2，a∈R.
(1) 若a＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 設(shè)函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，若過點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直線恒在函數(shù)g(x)＝x·ex－ln x＋x圖象的下方，求實數(shù)a的取值范圍．
2022～2023學(xué)年高三年級模擬試卷(常州)
數(shù)學(xué)參考答案及評分標準

1. C　2. A　3. B　4. D　5. D　6. C　7. A　8. A　9. AD　10. ABC　11. AD　12. BC
13. 23.5　14. 3　15. (－∞，0)　16. n22n－1　(2n－1)2n＋1
17. 解：(1) X的可能取值為0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以隨機變量X的概率分布為
X
0
1
2
P



所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(5分)
(2) 記事件B：從乙袋中取出的2個球中恰有1個紅球，
(1)中X＝0，1，2正好為“從甲袋中任取2個球”的樣本空間，由全概率公式，得
P(B)＝P(X＝i)P(B|X＝i)＝×＋×＋×＝，
所以從乙袋中取出的2個球中恰有1個紅球的概率為.(10分)
18. 解：(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
因為a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3，15a1＋a9＝b6，
所以2＋d＝q2≠0，16＋8d＝q5，所以q3＝＝8，所以q＝2，d＝2.
從而an＝2n－1，bn＝2n－1.(6分)
(2) 易知cn＝log2bn＋1＝log22n＝n，
所以＝＝＝[1＋]＝＋(－)，
所以Sn＝＋＋…＋＝＋(－＋－＋…＋－)，
即Sn＝＋＝＝.(12分)
19. 解：(1) 由c2＝ab cos C及正弦定理得sin2C＝sinA sin B cos C，所以＝.
因為銳角三角形中，A＋B＝π－C，所以sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，
所以＝，所以＋＝.(5分)
(2) 因為CD＝1，所以AD＝，BD＝，所以AB＝AD＋BD＝.
又因為tan C＝tan (∠ACD＋∠BCD)＝＝，
所以AD＋BD＝，(9分)
所以(AD＋BD)2＝1－AD·BD≥1－()2，當且僅當AD＝BD時等號成立，
所以(AD＋BD)2≥1，所以AB＝AD＋BD≥.
所以AB的最小值為.(12分)
20. (1) 證明：因為MN∥BC，MN?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以MN∥平面A1BC，
又因為MN?平面A1MN，平面A1MN∩平面A1BC＝l，所以l∥BC.(4分)
(2) 解：取BC的中點D，連接AD交MN于點O，連接OA1.
在正三角形ABC中，MN∥BC，D為BC的中點，所以O(shè)為MN的中點，AM＝AN，

所以O(shè)D⊥MN，A1M＝AM＝AN＝A1N，從而OA1⊥MN.
因為二面角A1MNB是直二面角，即平面A1MN⊥平面BMN，
平面A1MN∩平面BMN＝MN，OA1?平面A1MN，
所以O(shè)A1⊥平面BMN，即OA1⊥平面ABC.(8分)
設(shè)OA＝OA1＝x，則＝＝，所以MN＝.
因為三棱錐A1AMN的體積為1，
所以×MN·OA·OA1＝1，即×·x2＝1，所以x＝.(9分)
以O(shè)為原點，OM，OD，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，
易得平面A1MN的一個法向量為n1＝(0，1，0)，
M(1，0，0)，A1(0，0，)，B(2，，0)，所以＝(1，，0)，MA1＝(－1，0，)，
設(shè)平面A1MB的法向量為n2＝(x，y，z)，有則取z＝1，則x＝，y＝－1，
所以平面A1MB的一個法向量為n2＝(，－1，1)，＝＝－，
即二面角NA1MB的正弦值為.(12分)
21. 解：(1) 因為C的焦點在x軸上且長軸為4，則2a＝4，
故可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(2＞b＞0).
因為點P(2，－1)在橢圓C上，所以＋＝1，
解得b2＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1.(3分)
由整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
所以k1k2＝·＝＝＝，
所以(4k2－1)x1x2＋(4km＋4k＋2)(x1＋x2)＋4(m2＋2m)＝0，
所以(4k2－1)＋(4km＋4k＋2)＋4(m2＋2m)＝0，
整理得(2k－1)(2k＋1＋m)＝0，因為直線l不經(jīng)過點P，
所以2k＋1＋m≠0，故2k－1＝0，即k＝為定值．(7分)
(2) 因為直線l：y＝x＋m，所以Q(－2m，0)，
由得2x2＋4mx＋4m2－8＝0，即x2＋2mx＋2m2－4＝0，則
所以||2＋||2＝(x1＋2m)2＋y＋(x2＋2m)2＋y
＝(x1＋2m)2＋(x1＋2m)2＋(x2＋2m)2＋(x2＋2m)2＝[(x1＋2m)2＋(x2＋2m)2]
＝[x＋x＋4m(x1＋x2)＋8m2]＝[(x1＋x2)2＋4m(x1＋x2)－2x1x＋8m2]
＝[(－2m)2－2m·4m－2(2m2－4)＋8m2]＝10.(12分)
22. 解：(1) 因為a＝1，f(x)＝－x3＋x2＋3x，f′(x)＝－x2＋2x＋3＝0，令f′(x)＝0，得x＝－1，3.

x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
遞減
極小值
遞增
極大值
遞減
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，3)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞).(4分)
(2) 因為函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，
所以f′(x)＝－x2＋2ax＋3a＝0有兩個不相等的解x1，x2，Δ＝4a2＋12a＞0，
所以a＞0或a＜－3，x＝2ax1＋3a，則x＝2ax＋3ax1，
所以f(x1)＝－(2ax＋3ax1)＋ax＋3ax1＋1－a2，
＝x＋2ax1＋1－a2＝(2ax1＋3a)＋2ax1＋1－a2＝(a2＋2a)x1＋1，
同理f(x2)＝(a2＋2a)x2＋1，
則過點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的直線方程為y＝(a2＋2a)x＋1.(7分)
由題意知(a2＋2a)x＋1＜x·ex－ln x＋x，對任意x∈(0，＋∞)恒成立，
等價于a2＋2a＜，對任意x∈(0，＋∞)恒成立．
先證：ex≥x＋1，當且僅當x＝0時成立．
令g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當且僅當x＝0時，g(x)的最小值為g(0)＝0，
所以≥＝2，當且僅當x＋ln x＝0時取等號，
令t(x)＝x＋ln x，t(1)＝1＞0，t()＝－1＜0，t(x)的圖象是連續(xù)不間斷的，
所以存在x0∈(，1)，使x0＋ln x0＝0，所以的最小值為2.(10分)
所以a2＋2a＜2，因為a＞0或a＜－3，
所以實數(shù)a的取值范圍是(0，)∪(，－3).(12分)

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