江西省泰和縣第二中學(xué)高2023屆第一次模考數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知，，且?，滿足這樣的集合的個數(shù)（    ）A．6 B．7 C．8 D．92．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（    ）A． B． C．1 D．3．由國家信息中心“一帶一路”大數(shù)據(jù)中心等編寫的《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》到2016年這六年中，中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額圖表如下，下列說法中正確的是（    ）中國與“一帶一路”沿線國家出口額和進口額（億美元）A．中國與沿線國家貿(mào)易進口額的極差為1072.5億美元B．中國與沿線國家貿(mào)易出口額的中位數(shù)不超過5782億美元C．中國與沿線國家貿(mào)易順差額逐年遞增（貿(mào)易順差額＝貿(mào)易出口額－貿(mào)易進口額）D．中國與沿線國家前四年的貿(mào)易進口額比貿(mào)易出口額更穩(wěn)定4．已知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則（    ）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列5．“數(shù)列（）滿足（其中為常數(shù)）”是“數(shù)列（）是等比數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知，且是第四象限角，則的值為（   ）A． B． C． D．7．圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形，則圓柱的表面積是（      ）A． B． C． D．8．已知向量，滿足，，，那么與的夾角為（    ）A． B． C． D．9．設(shè)雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程為（    ）A． B． C． D．10．如圖所示，一個幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為4的正方形，中間線段平分正方形，俯視圖中有一內(nèi)切圓，則該幾何體的全面積是（  ）A． B． C． D．11．已知曲線在點的切線與曲線相切，則實數(shù)的值為(　　)A． B．或 C． D．或12．若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)都滿足和恒成立，則稱直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，，下列命題正確的是（    ）A．與有“隔離直線”B．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍為C．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是D．和之間存在唯一的“隔離直線”二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分。)13．函數(shù)則f(7)＝________.14．滿足不等式組的點所圍成的平面圖形的面積為________．15．某社區(qū)5名工作人員要到4個小區(qū)進行“愛分類”活動的宣傳，要求每名工作人員只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少去一名工作人員，則不同的安排方法共有_______種.16．下列命題：①若是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，則；②若銳角滿足，則；③若，則對恒成立；④要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位．其中是真命題的有_________（填正確命題序號）．三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程。)17．已知是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.18．袋中有2個白球，3個紅球，5個黃球，這10個小球除顏色外完全相同.(1)從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率；(2)從袋中任取2個球，記取到紅球的個數(shù)為，求的分布列、期望和方差.19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.（1）求證：平面PAC；（2）若，求二面角的平面角的余弦值.20．已知橢圓的離心率，直線與橢圓交于兩點，為橢圓的右頂點，.(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上存在兩點，使，，求面積的最大值.21．設(shè)，函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若無零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若有兩個相異零點，求證： 請從下面所給的 22、23 兩題中選定一題作答，并用2B 鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑，按所涂題號進行評分；不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.22．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，點為曲線上的動點，點在線段的延長線上且滿足點的軌跡為.（1）求曲線的極坐標方程；（2）設(shè)點的極坐標為，求面積的最小值. 23．選修4-5： 不等式選講已知函數(shù).(1)若的最小值為，求的值；(2)在（1）的條件下，，，為正實數(shù)，且，求證：.
1．B【分析】先判斷出中必有的元素，余下元素構(gòu)成的集合為的非空子集，利用非空子集個數(shù)的計算方法可得滿足條件的的個數(shù).【詳解】因為?，故且，又，故中除了這兩個元素，余下元素構(gòu)成的集合為的非空子集，故滿足條件的集合的個數(shù)為，故選：B.【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系及非空子集的個數(shù)計算，注意根據(jù)包含關(guān)系明確集合中哪些元素是明確的，再找出不確定的元素滿足的條件，另外，要掌握有限集的子集（非空子集、真子集、非空真子集等）個數(shù)的計算公式.2．B【分析】復(fù)數(shù)的分式運算，同乘共軛復(fù)數(shù)，利用模長公式即可得到答案.【詳解】,,故選：B.3．D【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合統(tǒng)計中的相關(guān)概念逐一計算判斷即可得出答案.【詳解】對于A,中國與沿線國家貿(mào)易進口額的極差為．所以A錯誤；對于B，由已知圖中的數(shù)據(jù)可得出口額額的中位數(shù)為，故B錯誤；對于C，2011年至2016年的貿(mào)易順差額依次為142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，2016年開始下降，故C錯誤；由圖表可知中國與沿線國家前四年的貿(mào)易出品額比貿(mào)易進口額波動性更大，故D正確．故選：D．4．AD【分析】由題意得數(shù)列的通項公式，然后寫出每個選項中對應(yīng)的數(shù)列的通項公式，再判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.【詳解】由題意得，所以數(shù)列是常數(shù)列，故A正確；數(shù)列的通項公式為，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，B錯誤；，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C錯誤；，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，D正確.故選：AD5．B【詳解】試題分析：當(dāng)時，，但此時數(shù)列（）不是等比數(shù)列，但當(dāng)數(shù)列（）是等比數(shù)列時，必定滿足，故選B.考點：充分條件與必要條件.6．B【分析】由誘導(dǎo)公式化簡得，再由即可得解.【詳解】∵，∴．由是第四象限角，∴．故選：B.【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7．B【分析】根據(jù)題意，圓柱的底面周長和高均等于4，由此算出底面圓的半徑為r= ，利用圓柱的表面積公式即可算出該圓柱的表面積．【詳解】∵圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為4的正方形， ∴圓柱的高與母線長都為4，底面周長等于4，設(shè)底面圓的半徑為r，可得2πr=4，得r= ， 因此該圓柱的表面積是，故選：B.8．B【解析】根據(jù)模的向量運算，將平方后化簡，即可由平面向量的數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】向量，滿足，，，則所以，代入，，可求得，由平面向量數(shù)量積定義可知，設(shè)與的夾角為，則，則，因為，所以，故選：B.【點睛】本題考查了平面向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積定義及模的運算，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】求得拋物線的焦點坐標，可得雙曲線方程的漸近線方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線的方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.10．A【分析】作出三視圖對應(yīng)的幾何體，再利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征計算表面積作答.【詳解】如圖，所給三視圖對應(yīng)的幾何體是底面邊長為4，高為2的正四棱柱上面放置一個底面圓半徑為2，高為2的圓柱，該幾何體的全面積是正四棱柱的全面積加上圓柱的側(cè)面積，所以幾何體的全面積.故選：A11．C【分析】根據(jù)已知求得切線方程，又該切線與曲線相切，聯(lián)立得一元方程有唯一解，即可得實數(shù)的值.【詳解】解：由，求導(dǎo)得，所以曲線在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線的方程為，其也為曲線的切線．由，得，此方程只有唯一解，所以當(dāng)時，方程無解，舍去；當(dāng)時，，解得或(舍)，所以.故選：C.12．ABD【分析】對于A，取直線，討論與的符號判斷A；對于B，C，令隔離直線為，利用二次不等式恒成立計算判斷B，C；對于D，函數(shù)與有公共點，求出在點處的切線，再證明此切線與圖象關(guān)系作答.【詳解】對于A，取直線，當(dāng)時，，即成立，當(dāng)時，令，，則在遞減，在上遞增，，，即成立，直線是與的“隔離直線”，A正確；對于B，C，令和的“隔離直線”為，則，，則，有，，有，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，的對稱軸，而時，，則，即，顯然滿足此不等式，有，而，解得，同理，，B正確，C不正確；對于D，因，即和的圖象有公共點，若和有隔離直線，則該直線必過點，設(shè)過點的直線方程為，即，由，，即恒成立，則，解得，即這條直線為，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上遞減，在上遞增，，即，，和之間存在唯一的“隔離直線”，D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.13．8【解析】代入數(shù)據(jù)直接計算得到答案.【詳解】∵函數(shù)，∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.故答案為：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)求函數(shù)值，意在考查學(xué)生的計算能力.14．【分析】畫出約束條件表示的可行域，利用微積分基本定理求出可行域的面積．【詳解】畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意不等式組，表示的平面區(qū)域如圖所示，其中解得：或，即，,所以平面圖形的面積為：．故答案為：．15．240【分析】先在5人中選兩人捆綁在一起，再全排列即可.【詳解】由題意知：4個小區(qū)，有一個小區(qū)2人，其他3個小區(qū)每個小區(qū)一人.則共有種.故答案為：240.16．②【分析】當(dāng)時即可判斷①；由誘導(dǎo)公式結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性即可判斷②；由倍角公式及誘導(dǎo)公式即可判斷③；由三角函數(shù)圖象的平移變換即可判斷④.【詳解】對于①，當(dāng)時，，此時，①錯誤；對于②，由可得，又，則，又在上單調(diào)遞增，則，即，②正確；對于③，，則，③錯誤；對于④，將的圖象向右平移個單位得到，④錯誤.故答案為：②.17．(1)(2) 【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等比數(shù)列的通項公式可求得結(jié)果；（2）求得，利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，解得，則.（2）解：因為，所以，.18．(1)；(2)的分布列見解析，期望為，方差為.【分析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)結(jié)合題意寫出可能的取值，分別求出相應(yīng)的概率即可得到的分布列，然后利用期望和方差公式求解即可.【詳解】(1)從袋中任取3個球，共有種情況，若從袋中任取3個球中，恰好取到2個黃球共有種，故從袋中任取3個球，求恰好取到2個黃球的概率為；(2)由題意可知，可能取值為，0，1，2，，，，故的分布列如下表：012 從而期望，方差.19．（1）證明見詳解；（2）【分析】（1）先證明，，再證明平面PAC，即得證；（2）分別求平面PAC，PBC的法向量，再利用公式求解二面角的平面角的余弦值.【詳解】（1）    因為底面ABCD是菱形，所以平面ABCD，平面ABCD又AC，PA是平面PAC內(nèi)的相交直線平面PAC.（2）    設(shè)，因為，所以如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，則，，設(shè)平面PDB的法向量為：，則令平面PAC的法向量由圖得：二面角為銳角，因此：.【點睛】本題考查了線面垂直的判定，以及二面角的求解，考查了學(xué)生邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.20．(1)；(2) . 【分析】（1）設(shè) ，通過，以及橢圓的離心率，A在橢圓上，列出方程求出橢圓的幾何量，然后求解橢圓方程；（2）設(shè)，，中點為，利用，得到方程組，利用E,F在橢圓上，代入橢圓方程，利用平方差法求出的斜率，得到直線的方程代入橢圓方程，利用韋達定理求出 ，求出三角形的高，表示出三角形的面積，利用基本不等式求出最值．【詳解】（1）根據(jù)題意，不妨設(shè)，則，，∴，，，，解得：，，∴橢圓的方程為：.（2）設(shè)，，中點為，由（1），∵，∴，∵橢圓上，則，相減可得，，∴直線的方程為：，即，代入整理得：，∴，，，∵原點到直線的距離為，，當(dāng)時等號成立，所以面積的最大值為.21．(1)；(2)；(3)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點斜式求切線方程；（2）對分三種情況討論得解；（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據(jù)零點條件可得，令，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，逆推可得結(jié)論.（1）解：函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，則切線方程為，即切線方程為.（2）解：①若時，則，是區(qū)間上的增函數(shù)，∵，，∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；②若，有唯一零點；③若，令，得，在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；故在區(qū)間上，的極大值為，由于無零點，須使，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是.（3）證明：要證，兩邊同時取自然對數(shù)得.由得，得.所以原命題等價于證明.因為，故只需證，即.令，則，設(shè)（），只需證.而，故在單調(diào)遞增，所以.綜上得.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的難點在第3小問，解答有兩個關(guān)鍵，其一是要會利用分析法等價轉(zhuǎn)化命題；其二是能夠利用代換化雙變量問題為單變量問題解答.22．（1）：，：； （2）2.【分析】（1）消去參數(shù)，求得曲線的普通方程，再根據(jù)極坐標方程與直角坐標方程的互化公式，即可求得曲線的極坐標方程，再結(jié)合題設(shè)條件，即可求得曲線的極坐標方程；（2）由,求得，求得面積的表達式，即可求解.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，消去參數(shù)，可得普通方程為，即，又由，代入可得曲線的極坐標方程為，設(shè)點的極坐標為，點點的極坐標為，則，因為，所以，即，即，所以曲線的極坐標方程為.（2）由題意，可得,則，即，當(dāng)，可得的最小值為2.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，以及直角坐標方程與極坐標方程的互化，以及極坐標方程的應(yīng)用，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.23．(1)2；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用絕對值的三角不等式求解最小值作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合柯西不等式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值.（2）由（1）知，正實數(shù)，，滿足：因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.
 

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