成都石室中學(xué)2022-2023學(xué)年度下期高2023屆二診模擬考試文科數(shù)學(xué)（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．已知z的共軛復(fù)數(shù)是，且（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（    ）A． B． C．-2 D．-2i3．下圖是我國跨境電商在2016~2022年的交易規(guī)模與增速統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為8.0萬億元B．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的增速越來越大C．這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為7.6萬億元D．圖中我國跨境電商交易規(guī)模的6個增速的中位數(shù)為13.8%4．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值為（    ）A．-8 B．-6 C．-4 D．-25．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．6．已知a，b，c為直線，，，平面，下列說法正確的是（    ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，例如．如圖所示程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》．執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于（    ）A．20 B．21 C．22 D．238．已知雙曲線的右焦點為，點P，Q在雙曲線上，且關(guān)于原點O對稱．若，且的面積為4，則雙曲線的離心率為（    ）A． B．2 C． D．39．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的四個面中面積最大的為（    ）A． B． C．4 D．10．已知函數(shù)滿足，，當時，，則（    ）A． B． C． D．11．已知拋物線與直線相交于A，B兩點，F為拋物線C的焦點，若，則AB的中點的橫坐標為（    ）A． B．3 C．5 D．612．設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．平面向量，滿足，，且，則x的值為______．14．已知直線，，圓C的圓心在第一象限，且與，都相切，則圓C的一個方程為______．（寫出滿足題意的任意一個即可）15．已知三棱錐的體積為，各頂點均在以PC為直徑的球面上，，，，則該球的表面積為______．16．已知函數(shù)，，，且在上單調(diào)，則的最大值為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）針對我國老齡化問題日益突出，人社部將推出延遲退休方案．某機構(gòu)進行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示． 支持保留不支持50歲以下80004000200050歲以上（含50歲）100020003000（Ⅰ）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值；（Ⅱ）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任意選取2人，求至少有1人年齡在50歲以下的概率．18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和為，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，從①，②，③三個條件中任選一個，求數(shù)列的前n項和．19．（本小題滿分12分）如圖，是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，，平面平面ABEF，M，N分別是AF，CE的中點，．（Ⅰ）求證：平面ABC；（Ⅱ）求三棱錐的體積．20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求的最大值；（Ⅱ）若，，求a的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知橢圓經(jīng)過點，其右焦點為．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）橢圓C的右頂點為A，若點P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，求面積的最大值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，那么按所做的第一題計分．22．［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知直線與曲線，（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求曲線C的普通方程；（Ⅱ）在極坐標系中，射線與直線l和曲線C分別交于點A，B，若，求的值．23．［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分10分）已知存在，使得成立，，．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求的最小值．              成都石室中學(xué)2022-2023學(xué)年度下期高2023屆二診模擬考試文科數(shù)學(xué)參考答案答案及解析1．C【解析】由題意可得，集合，，所以．故選C．2．C【解析】設(shè)．因為，所以，解得則，所以復(fù)數(shù)z的虛部為-2．故選C．3．D【解析】這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為（萬億元），故A錯誤；這7年我國跨境電商交易規(guī)模的增速有升有降，故B錯誤；這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為（萬億元），故C錯誤；我國跨境電商交易規(guī)模的6個增速的中位數(shù)為，故D正確．故選D．4．B【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，可化簡為，即斜率為的平行直線．由解得則．結(jié)合圖形可知，當直線過點時，z取最小值，．故選B．5．B【解析】由已知，得．故選B．6．D【解析】可借助正方體進行判斷．對于A選項，正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，故A錯誤；對于B選項，選取正方體的上、下底面為，以及一個側(cè)面為，則，故B錯誤；對于C選項，選取正方體的上底面的對角線為a，b，下底面為，則不成立，故C錯誤；對于D選項，選取正方體的上、下底面為，，任意作一個平面平行于下底面，則有成立，故D正確．故選D．7．C【解析】由已知中的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出同時滿足條件：①被3除余1，②被5除余2，且最小為兩位數(shù)，所以輸出的．故選C．8．C【解析】因為雙曲線的右焦點為，所以．設(shè)其左焦點為．因為，點P，Q關(guān)于原點O對稱，所以．由的面積為4，得，則．又，所以．又由雙曲線的對稱性可得，則由雙曲線的定義可得，所以，則離心率．故選C．9．B【解析】如圖，該幾何體是棱長為2的正方體中的三棱錐，其中面積最大為．故選B．10．D【解析】因為滿足，所以為奇函數(shù)．又因為，所以，所以是周期為2的奇函數(shù)．又因為時，，所以．故選D．11．A【解析】如圖，設(shè)AB的中點為G，拋物線的準線為，焦點為，直線過定點，過點A，B分別作于點M，于點N．由，得，所以點B為AP的中點．連接OB，則，做點B的橫坐標為1，則點A的橫坐標為4，所以AB的中點G的橫坐標為．故選A．12．A【解析】因為，，所以，所以，所以，所以．故選A．13．【解析】因為，，所以，．又因為，所以，解得．14．（答案不唯一）【解析】由題意可得，圓心C在直線上，圓C的方程形如．15．【解析】由，，，得，所以，得（r為外接圓半徑）．又，則，所以，即點P到平面ABC的距離為2，所以外接球球心O（PC的中點）到平面ABC的距離，所以外接球半徑，所以．16．5【解析】因為函數(shù)，，所以，①．又因為，所以直線是圖象的對稱軸，所以，②．由①②可得，．又．所以，則，．又在上單調(diào)，的最小正周期為，所以，即，解得，故的最大值為5．17．解：（Ⅰ）參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為，其中從持“不支持”態(tài)度的人數(shù)中抽取了30人，所以．（Ⅱ）由已知易得，抽取的5人中，50歲以下與50歲以上人數(shù)分別為2人（記為，），3人（記為，，）．畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，從這5人中任意選取2人，基本事件共10個，其中，至少有1人年齡在50歲以下的事件有7個，故所求概率為．18．解：（Ⅰ）因為，所以．將上述兩式相減，得．因為，，即，所以，所以，所以．因為，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．若選①：，則，．將上述兩式相減，得，所以．若選②：，則．若選③：．當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，．綜上，．19．（Ⅰ）證明：如圖，取CF的中點D，連接DM，DN．因為M，N分別是AF，CE的中點，所以，．又因為平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．又因為，所以，同理可得，平面ABC．因為平面MND，平面MND，，所以平面平面ABC．又因為平面MND，所以平面ABC．（Ⅱ）解：如圖，取AB的中點O，連接OC，OE．由已知可得，且，所以四邊形OAFE是平行四邊形，所以且．因為是正三角形，O是AB的中點，所以．又因為平面平面ABEF，平面平面，所以平面ABEF．又平面ABEF，所以．設(shè)，則，．在中，由，得，則，所以，，則，．由題意易得，，則點M到AB的距離，即點M到平面ABC的距離為．又平面ABC，所以．20．解：（Ⅰ）當時，，，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．（Ⅱ）由，得，易知在上單調(diào)遞減．①由（Ⅰ）可知，當時，，符合題意．②當時，，，所以存在時，使得，故當時，，單調(diào)遞減，所以，不符題意，舍去．③當時，，，所以存在，使得，故當時，，單調(diào)遞減，．令，則，故在上單調(diào)遞減，所以，故，符合題意．綜上所述，a的取值范圍是．21．解：（Ⅰ）依題意，得解得所以橢圓C的標準方程為．（Ⅱ）易知直線AP與AQ的斜率同號，所以直線PQ不垂直于x軸，故可設(shè)，，．由得，所以，，，即．由，得，消去，得，即，所以，整理得，所以或，所以直線或．又因為直線PQ不經(jīng)過點，所以直線PQ經(jīng)過定點，所以直線PQ的方程為，易知，設(shè)定點，則．因為即，且，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為．22．解：（Ⅰ）曲線C的普通方程為，．（Ⅱ）直線l的極坐標方程為，易得．曲線C的極坐標方程為，易得．由已知，得，，，，兩邊平方并整理得．又，即，所以，則．23．解：（Ⅰ）由題意，知．因為存在，使得，所以只需，即的取值范圍是．（Ⅱ）由柯西不等式，得，當，時，取得最小值．
 

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