2022-2023學(xué)年湖北省荊州市沙市中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．方程表示的圖形是（    ）A．兩條直線 B．雙曲線C．一個(gè)點(diǎn) D．一條直線和一條射線【答案】A【分析】由可得或，由二元一次方成表示的是直線，可得答案.【詳解】由方程可得或，這表示兩條直線，故方程表示的圖形是兩條直線，故選：A2．已知正方體的棱長為 1， 以為原點(diǎn)， 為單位正交基底， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則平面的一個(gè)法向量是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得，，設(shè)平面的法向量為，可得，解方程組，可得答案.【詳解】如圖，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即 ，取，則，∴平面的一個(gè)法向量為∶,選項(xiàng)中的向量與不共線，D中向量符合題意，故選︰D．3．方程表示的曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】依題意可知，方程表示的圓的圓心在直線上，即可解出．【詳解】因?yàn)?/span>，所以該方程表示圓心為的圓，而該方程表示的曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形，所以圓心在直線上，即有．故選：A．4．已知點(diǎn)，，則的最小值為（    ）A． B．27 C． D．12【答案】A【分析】由兩點(diǎn)建立公式求，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為,故選：A.5．設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，以線段上一點(diǎn)為圓心作一個(gè)圓與圓相切，若切點(diǎn)在劣弧上，則圓的半徑最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓C的半徑為r，根據(jù)題意可得，求出的最小值，即可求得圓的半徑的最大值.【詳解】由題意圓的半徑為5，設(shè)圓C的半徑為r，由于圓C與圓O相切于劣弧上的某一點(diǎn)，C在圓O內(nèi)，則圓C與圓O相內(nèi)切，故,當(dāng)最小時(shí)，r最大，此時(shí),即最小值為到直線的距離，則r最大值為，故選：C6．若拋物線圖像上一點(diǎn)到直線距離的最小值為，則（    ）A． B．8 C．8或 D．【答案】B【分析】由題意先判斷拋物線與直線的關(guān)系，進(jìn)而求出的取值范圍，再利用點(diǎn)到直線距離公式分析求解.【詳解】由得：，由題意知直線與拋物線無交點(diǎn)，所以，設(shè)拋物線上任一點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離為：，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，解得：，故選：B.7．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記作，雙曲線的右頂點(diǎn)為，，其雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖示，由題意可得，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)可得，由此在中求得，即可求得答案.【詳解】根據(jù)雙曲線以及圓的對稱性，由可知，作出示意圖，不妨設(shè)C，D位置如圖： 因?yàn)?/span>,,在中,,故離心率,故選：B.8．已知圓方程為，將直線：繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（    ）A．始終為0 B．是0或1C．是1或2 D．是0或1或2【答案】D【分析】先判斷直線與圓C的位置關(guān)系，得到公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，同理再判斷旋轉(zhuǎn)后的直線與圓C的位置關(guān)系，同時(shí)判斷圓心與直線的位置關(guān)系，即可解決問題．【詳解】圓方程為，圓心，半徑，故圓心C到直線：的距離為， 而，，故直線與圓C相離，沒有公共點(diǎn)；將代入直線得，故圓心C在直線的上方，將直線：繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，所得直線過點(diǎn)，且傾斜角為，故此時(shí) ，即，此時(shí)圓心C到直線的距離為，此時(shí)直線與圓C相切，有1個(gè)公共點(diǎn)，而代入直線中，得，故圓心C在直線的下方，所以將：繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置的過程中，經(jīng)歷了與圓相離、相切、相交、再相切的過程，故公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答此題的關(guān)鍵是判斷在直線旋轉(zhuǎn)的過程中，直線和圓的位置關(guān)系并且判斷圓心和直線的位置，從而判斷答案. 二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等C．直線的斜率為，則其傾斜角為D．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線方程可以表示為：【答案】BD【分析】舉反例判斷A；根據(jù)直線的斜率和傾斜角的關(guān)系判斷；結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程判斷D.【詳解】對于A，直線的傾斜角分別為時(shí)，斜率分別為，此時(shí)不滿足直線的傾斜角越大，其斜率就越大，A錯(cuò)誤；對于B, 由于直線的傾斜角范圍是，所以斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等,正確；對于C, 直線的斜率為，的取值范圍不確定，不一定是直線的傾斜角，比如直線的斜率為，此時(shí)直線的傾斜角為，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過的直線方程為，此時(shí)適合；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過的直線方程為，此時(shí)適合；當(dāng)，時(shí)，經(jīng)過的直線方程為，也即，故經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線方程可以表示為：，D正確，故選：10．已知曲線.（    ）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【分析】結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓，時(shí)表示圓，時(shí)表示雙曲線，時(shí)表示兩條直線.【詳解】對于A，若，則可化為，因?yàn)?/span>，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11．如圖所示，平行六面體中，，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．平面C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量基本定理表示出，根據(jù)模的計(jì)算判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可判斷C，利用空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得，判斷D.【詳解】設(shè)，如圖，則，，故，對于A，，，A正確；對于B，連接，設(shè)，連接，則由平行六面體可知，,，∴四邊形是平行四邊形，所以，∵平面，平面，∴平面，故B正確﹔對于C， ，故     ，C正確；對于D，， 故 故不垂直，故D錯(cuò)誤，故選：．12．已知拋物線 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為， 過點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于兩點(diǎn) (其中在的上方)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 過線段的中點(diǎn)且與軸平行的直線依次交直線 ，點(diǎn) ， 點(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影分別為點(diǎn)和點(diǎn)，則（    ）A．若， 則直線的斜率為B．C．D．若是線段的三等分點(diǎn)， 則直線的斜率為【答案】ACD【分析】設(shè)直線方程為，，，直線方程代入拋物線方程用韋達(dá)定理得，，從而可以表示出點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出，，，，坐標(biāo)，然后依次判斷各項(xiàng)即可.【詳解】由題知，拋物線焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，，，，如圖所示，由得，，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)?/span>，則可得，且，，所以，即，且，，解得，得，所以，因?yàn)?/span>，所以，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影分別為點(diǎn)和點(diǎn)，所以，，又，所以，，所以，所以，故B錯(cuò)誤；又因?yàn)?/span>，，故直線方程為，又因?yàn)?/span>，，共線，所以，，同理可得，，，所以，即 ，故C正確；若是線段的三等分點(diǎn)，則，，，又，，，所以，解得，故D正確.故選：ACD 三、填空題13．已知直線的系數(shù)中，有兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，則該直線一定經(jīng)過第______象限．【答案】一【分析】根據(jù)直線的斜截式方程分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的系數(shù)中，有兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，所以由，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)該直線過一、二、四象限，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)該直線過一、二、三象限，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)該直線過一、三、四象限，綜上所述：該直線一定經(jīng)過第一象限，故答案為：一14．設(shè)是空間兩個(gè)不共線的向量，已知，，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k＝___．【答案】1【分析】由列方程組，由此求得的值.【詳解】∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴向量和共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使，，所以故可得 ，解得.故答案為：115．過點(diǎn)引直線與曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)的面積取最大值時(shí)，直線的斜率等于_________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，先求出O到AB的距離，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，S△AOB面積最大，此時(shí)O到AB的距離d＝1，設(shè)AB方程為y＝k（x﹣3）（k＜0），即kx﹣y﹣3k＝0，則d＝，解得k＝或k＝（舍去），故直線l的斜率等于．故答案為：．16．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的右頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則正實(shí)數(shù)的值為_________．【答案】##0.2【分析】利用拋物線的焦半徑公式求得p的值，可得拋物線方程，繼而求得，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合題設(shè)得，即可求得答案.【詳解】拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5， ，則拋物線方程為∶，將點(diǎn)代入拋物線方程中，可得，，又雙曲線的右頂點(diǎn)為A為 ，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則直線斜率存在，故，解得，即正實(shí)數(shù)的值為，故答案為： 四、解答題17．已知直線，.(1)當(dāng)直線在x軸上的截距是它在y上的截距2倍時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）由題得且，解方程即得解；（2）解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】（1）解：∵在兩坐標(biāo)軸都有截距，∴且，令可得，令可得∴，解得或.所以或.（2）解：∵，∴，解得或當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去；當(dāng)時(shí)，兩直線平行，滿足題意.綜上，的值為.18．已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)和，線段的垂直平分線交圓于點(diǎn)和，且．(1)求直線的方程；(2)求圓的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先求出直線的斜率，進(jìn)而求得直線的斜率，再求線段的中點(diǎn)，即可利用點(diǎn)斜式得直線方程；（2）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，利用勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式可求得t的值，進(jìn)而可得圓的方程．【詳解】（1）依題意有，直線的斜率為，又中點(diǎn)，方程為，即；（2）依題意，圓心在上，則設(shè)， ，則，且直線方程為，    ∵，由勾股定理，∴，∵點(diǎn)到的距離，∴或， 故圓的方程為：或．19．如圖，四邊形為等腰梯形，，將沿折起，為的中點(diǎn)，連接.若圖2中，(1)求線段的長；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，證明出線面垂直，得到，由勾股定理求出的長；（2）結(jié)合第一問得到兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值.【詳解】（1）∵為中點(diǎn)，，，∴在圖中，且，連接CE，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵AE=BE=1，∴C點(diǎn)落在以AB為直徑的圓上，，又圖2中，，平面ADC，平面，∵平面，∴，由勾股定理得；（2）取中點(diǎn)，連接，則，EF⊥AC，由（1）知⊥平面ACD，因?yàn)?/span>平面ACD，所以BC⊥DF，故EF⊥DF，因?yàn)?/span>AD=DC，所以DF⊥AC，易得兩兩垂直，以所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，∴，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，取，有.，∴直線與平面所成的角的正弦值為.20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，∠∠，側(cè)面底面．若(1)若分別為的中點(diǎn)，求直線與所成的角；(2)為線段上一點(diǎn)，若平面與平面所成角的余弦值，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由梯形同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，從而證明兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)坐標(biāo)，用空間向量的方法可計(jì)算出直線與所成的角；（2）設(shè)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)平面夾角的余弦值計(jì)算可求出的值.【詳解】（1）解：由∠得，而平面平面，平面平面，平面  ∴平面 而由，∠可得以為原點(diǎn)，方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，有，，，∵分別為中點(diǎn)，∴，∴，    ∴∴直線與所成的角為（2）設(shè)，有，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，即易知，取，有，，   而是平面的一個(gè)法向量∴，記，有，∴，即 ，解得或（舍）所以21．已知拋物線，(1)經(jīng)過點(diǎn)作直線，若與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的方程；(2)設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若，求的面積．【答案】(1)或或(2) 【分析】（1）判斷當(dāng)直線平行于拋物線的對稱軸x時(shí)，符合題意，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求得切線方程，綜合可得答案；（2）設(shè)，直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合可求得n的值，進(jìn)而求得的面積．【詳解】（1）由題意知點(diǎn)在拋物線外部，直線不會垂直于軸（此時(shí)與無公共點(diǎn)）；當(dāng)直線平行于拋物線的對稱軸x軸時(shí)，與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為；當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，斜率存在且不等于0，可設(shè)的方程為，由， 得，由，解得或1，則的方程為與，即與，綜上：的方程是或或.（2）設(shè)，直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立， ，得，,，,所以，所以，又拋物線的準(zhǔn)線為, 所以，則，整理得，解得或（舍），則．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問求三角形的面積，需要用到直線與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此解答時(shí)要設(shè)出直線方程，從而關(guān)鍵點(diǎn)即在于要結(jié)合題設(shè)求得所設(shè)參數(shù)的值，從而利用求得答案.22．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為雙曲線上兩個(gè)動點(diǎn)，直線的斜率滿足，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)或(2)證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為 【分析】（1）根據(jù)題意，可寫出雙曲線漸近線的方程，代入點(diǎn)，即可求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，設(shè)而不解，根據(jù)可求出直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)閮蓾u近線夾角為，所以漸近線為或①若漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，將代入可得，即雙曲線方程為②若漸近線為，設(shè)雙曲線方程為，將代入可得，即雙曲線方程為綜上：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或（2）解法1：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則可設(shè)，代入，得，  則，即，解得或， 當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，它與雙曲線不相交，故直線的斜率存在；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程代入，整理得，，設(shè)，則，由，所以所以，，即，整理得  即，所以或，若，則，直線化為，即，過定點(diǎn)；若，則，直線化為，即，它過點(diǎn)，舍去    綜上，直線恒過定點(diǎn)（2）解法2：∵雙曲線焦點(diǎn)在軸上，由（1）可得方程為以為坐標(biāo)原點(diǎn)，重建坐標(biāo)系，此時(shí)曲線的方程為可化為設(shè)的方程為，代入上式得因?yàn)?/span>橫坐標(biāo)不會為0（不與重合），所以上式除以，可得，記，有整理得所以，可得可得在新坐標(biāo)系下，直線經(jīng)過定點(diǎn)還原到原始坐標(biāo)系，定點(diǎn)坐標(biāo)為 

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