2022-2023學(xué)年河南省信陽(yáng)市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把直線方程化為斜截式，求出斜率可得答案.【詳解】直線化為斜截式為，斜率為－1，傾斜角為.故選：D.2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則（    ）A．－4 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，∴，又，∴，所以，故選：C3．焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為求出可得答案.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由，所以，所以，拋物線方程為.故選：B.4．直線l的方向向量為，平面與的法向量分別為，，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系與對(duì)應(yīng)向量的關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】若，則與共線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則與垂直，即，故選項(xiàng)正確；若，則與共線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：.5．蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫(huà)法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（第一段圓?。?，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧…….以此類推，當(dāng)?shù)玫降?/span>“蚊香”恰好有9段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到第一段圓弧到第n段圓弧的半徑構(gòu)成等差數(shù)列，結(jié)合圓心角，利用求和公式求出答案.【詳解】依題意，每段圓弧的圓心角為，第一段圓弧到第n段圓弧的半徑構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3，…，n.，所以當(dāng)?shù)玫降?/span>“蚊香”恰好有9段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為.故選：D.6．方程（m，n為常數(shù)）不能表示的曲線是（    ）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】通過(guò)分析的取值，判斷曲線表示的形狀對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】解：若，，方程表示直線；若，，方程表示橢圓或圓；若，，方程表示雙曲線；由于方程沒(méi)有一次項(xiàng)，方程不可能表示拋物線.故選:D.7．直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】求出圓心、半徑，再求出圓心到直線的距離，利用可得答案..【詳解】由配方得，所以圓心為，半徑為3，圓心到直線的距離，所以，.故選：C.8．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面邊長(zhǎng)為2，則直線與側(cè)面所成角的正弦值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解法1取的中點(diǎn)D，連接AD，，根據(jù)線面的位置關(guān)系得到為直線與側(cè)面所成角，然后在三角形中求解；解法2建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法進(jìn)行求解.【詳解】解法1：如圖，取的中點(diǎn)D，連接AD，，則由正三棱柱的性質(zhì)可知平面，∴為直線與側(cè)面所成角，在中，，故選A.解法2：取的中點(diǎn)，連接，則由正三棱柱的性質(zhì)可知平面.設(shè)AC的中點(diǎn)為D，分別以，，所在的直線為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，則，，平面的法向量，又，設(shè)與平面所成角為，則.故選：A.9．過(guò)點(diǎn)作直線l與雙曲線交于點(diǎn)A，B，若P恰為AB的中點(diǎn)，則直線l的條數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)直線l：，由，得，（※）設(shè)，，則，由，即，得，此時(shí)，（※）式為，由于，所以直線l與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，這樣的直線不存在.故選：A10．已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若C的離心率為，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓離心率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：記，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.由，得，從而，∴.∵，∴.故選:B11．直線與曲線恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】畫(huà)出直線與曲線的圖象，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】解：由曲線得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；直線恒過(guò)點(diǎn)，所以直線與曲線的圖象如圖.當(dāng)直線與相切時(shí)，此時(shí)，得，解得，當(dāng)直線與平行時(shí)，，直線與曲線要恰有2個(gè)公共點(diǎn)，可得.故選:A.12．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)為F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若，且，則（    ）A． B． C．18 D．25【答案】B【分析】作出輔助線，求出，由三角形相似得到，進(jìn)而求出，得到拋物線方程，設(shè)，，直線，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，由焦半徑得到，進(jìn)而求出，從而由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)A作，垂足為D，由拋物線定義知，，由得，，因?yàn)?/span>，所以，即，得，所以拋物線方程為.設(shè)，，則，所以.設(shè)直線，聯(lián)立，得到，則，∴，∴.故選：B. 二、填空題13．若向量與向量共線，則______.【答案】【分析】考慮與，列出方程，求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，故不共線，當(dāng)時(shí)，向量，共線，所以，∴.故答案為：14．雙曲線的漸近線方程是_________.【答案】【解析】直接根據(jù)雙曲線漸近線的定義求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線為，所以其漸近線方程是，故答案為：.15．引江濟(jì)淮是一項(xiàng)大型跨流域調(diào)水工程，2022年底試通航.如圖是某段新開(kāi)河渠的示意圖.在二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，，則該二面角的大小為______.【答案】##【分析】設(shè)二面角為，由，對(duì)等式兩邊平方，由向量的數(shù)量積的定義代入化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】解：設(shè)二面角為，由，得，∴，∵，∴.故答案為：. 三、雙空題16．“雪花曲線”是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程.如圖，若第1個(gè)圖中三角形的邊長(zhǎng)為1，則第3個(gè)圖形的周長(zhǎng)為______；第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)為______.【答案】          【分析】設(shè)第n個(gè)圖形為，邊長(zhǎng)為，邊數(shù)，周長(zhǎng)為，分析出，，從而求出，求出第3個(gè)圖形的周長(zhǎng)和第n個(gè)圖形的周長(zhǎng).【詳解】記第n個(gè)圖形為，邊長(zhǎng)為，邊數(shù)，周長(zhǎng)為.有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；……分析可知，即；，即.當(dāng)?shù)?/span>1個(gè)圖中的三角形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，即，，所以.當(dāng)時(shí)，.故答案為：， 四、解答題17．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)-56 【分析】（1）設(shè)出公差，利用通項(xiàng)公式基本量，求和公式基本量計(jì)算，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則，解得.∴.（2），當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，取最小值，的最小值為.18．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，，圓M：.(1)求C與M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)C上的點(diǎn)P作圓M的切線l，當(dāng)l的傾斜角為時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）由拋物線定義,求出，即可求出C的標(biāo)準(zhǔn)方程；將圓配成標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知圓心即可求出M的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)切線l：，由直線與圓相切求出切線方程，兩切線方程分別與拋物線聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】（1）由拋物線定義可知，，∴，所以C的方程為.將配方，得，圓心，即圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)切線l：，由，得，或.所以，切線l：，或.聯(lián)立，，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；聯(lián)立，，得，此方程無(wú)解.綜上，所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.19．如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，，，E為CD的中點(diǎn)，平面平面ABCD.(1)求點(diǎn)E到平面PBC的距離；(2)求平面PBC與平面PBE的夾角.【答案】(1)(2). 【分析】（1）由題意可得，平面ABCD，，分別以OB，OE，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面PBC的法向量，再由點(diǎn)到平面的距離公式代入即可得出答案.（2）求出平面PBC與平面PBE的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OP，因?yàn)椋?/span>為等邊三角形，所以.因?yàn)椋矫?/span>平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD.又，E為CD的中點(diǎn)，∴，∵，∴.分別以OB，OE，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即.令，得平面PBC的一個(gè)法向量為.又，所以點(diǎn)E到平面PBC的距離.（2）又，設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量為，則，即，令，得平面PBC的一個(gè)法向量為.則.故平面PBC與平面PBE夾角為.20．已知雙曲線C與雙曲線的漸近線相同，且點(diǎn)在C上，直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求C的方程；(2)求直線l的斜率.【答案】(1)(2). 【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得答案；（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，設(shè)，，與雙曲線方程聯(lián)立，由，可得，韋達(dá)定理代入可得答案.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，∴，所以，雙曲線C：，即C：；（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，設(shè)，，聯(lián)立，可得，所以，，，由直線AP，AQ關(guān)于直線對(duì)稱，知，可得，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線l：過(guò)點(diǎn)，與題意不符，舍去，故.21．已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，，.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2). 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題知，即，即，∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴；（2），∴，①∴，②①－②得，，∴.22．已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)N為其左頂點(diǎn)，且MN的斜率為.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)，垂直于x軸的直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，直線AP和曲線C交于另一點(diǎn)D，證明：直線BD恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由點(diǎn)在上，可得，再由MN的斜率為，即可求出的值，即可求出曲線C的方程；（2）設(shè)，，，設(shè)直線AP方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理代入表示出直線BD的方程，化簡(jiǎn)即可求出直線BD恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）根據(jù)題意，把點(diǎn)代入橢圓得到①，設(shè)，又，∴，代入①式，求得，∴橢圓C的方程為.（2）證明：設(shè)，，，顯然直線AP斜率不為0，設(shè)直線AP方程為，聯(lián)立，消去x并整理得，由，由韋達(dá)定理可得，，直線BD的方程是，化簡(jiǎn)得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，.∴直線BD過(guò)定點(diǎn). 

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