滄州市2022—2023學年第一學期期末教學質量監(jiān)測高二數學班級__________姓名__________注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題吋，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知是直線l的方向向量，是平面的法向量，若，則（）A． B． C． D．2．已知數列是等差數列，是其前n項和，，，則（）A．160 B．170 C．180 D．1903．拋物線的焦點為F，點P（非原點）在拋物線上，且橫坐標是縱坐標的倍，則（）A． B．8 C．9 D．4．若A為圓上的動點，B為圓上的動點，則的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．85．在公比不為1的等比數列中，對任意，，，成等差數列，，則數列的前n項和（）A． B． C． D．6．雙曲線上任意一點到兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率（）A． B． C． D．7．直線與曲線交于A，B兩點，若，則t的值有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．在長方體中，，則平面截長方體的外接球所得截面圓的面積為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知數列的前項和，則下列結論正確的是（）A．  B．數列是等比數列且公比C．數列是等差數列 D．數列是等差數列10．在正四面體ABCD中，E，F是BC，AD的中點，平面ADE的法向量為，則下列結論正確的是（）A． B．C．是平面BCF的法向量 D．11．已知F，分別為橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，且已知A，B是橢圓的頂點，過點A作軸，垂足為E，直線BE與橢圓C的另一個交點為P，則（）A．四邊形的周長為16 B．的最小值為C．面積的最大值為 D．12．圓錐曲線的“外準圓”也叫“蒙日圓”，它是由法國數學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現的．它說的是：圓錐曲線上任意兩條互相垂直的切線的交點在同一個圓上，這個圓就叫外準圓．其中圓錐曲線的中心就是外準圓的圓心，而直線在高等數學中也稱為半徑為無窮大的圓．雙曲線只有當時才有外準圓，則下列結論正確的是（）A．面積為S的圓的外準圓的面積是B．橢圓的外準圓方程為C．拋物線的外準圓是D．雙曲線的外準圓方程為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．焦點在x軸上的橢圓的長軸長為，則其焦距為__________．14．已知，圓C的圓心為，過點A到圓C的切線長是半徑的2倍，則圓C截直線所得的弦長為__________．15．在所有棱長均相等的斜三棱柱，，M是的中點，則異面直線BM與所成角的余弦值為__________．16．在等差數列中，，，為數列的前n項和，，則的最小值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知的頂點O（0，0），OA邊上的中線所在直線方程為，OB邊上的高線為．（1）求點A坐標；（2）求的外接圓方程．18．（本小題滿分12分）已知等差數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設，證明：．19．（本小題滿分12分）已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線與曲線C交于M，N兩點，O為原點，求面積的最大值．20．（本小題滿分12分）已知數列滿足，．（1）證明：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和．21．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形ABCD是梯形，，，，，E是AD的中點，．（1）證明：平面ABCD；（2）求平面APB與平面PBC的夾角的余弦值．22．（本小題滿分12分）已知圓，，過點N的直線l與圓M交于A，B兩點，過點N作MA的平行線交直線MB于點P．（1）求點P的軌跡E的方程；（2）若直線NP（不與x軸垂直）與軌跡E交于另一點Q，Q關于x軸的對稱點為H，求證：直線PH過定點． 滄州市2022-2023學年第一學期期末教學質量監(jiān)測高二數學參考答案1．A解析：由已知，∴，解得，故選A．［命題意圖］考查直線的方向向量、平面的法向量的定義以及用向量研究直線與平面的平行垂直問題，數學素養(yǎng)方面主要考查數學運算與知識的遷移．2．B解析：，，∴，又，，∴，故選B．［命題意圖］考查等差數列及其前n項和的運算，數學素養(yǎng)方面主要考查基本技能與基本方法．3．C解析：由已知，代入中，得，，∴，故選C．［命題意圖］考查拋物線的定義與性質的靈活應用，數學思想方法主要考查方程思想．4．D解析：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，∴．又A為圓上的動點，B為圓上的動點，∴的最大值是，故選D．［命題意圖］考查直線與圓的位置關系，數學素養(yǎng)方面考查動靜轉化和方程思想．5．B解析：由已知得，即，消去，解得，∴，故選B．［命題意圖］考查等差中項、等比數列的性質與前n項和的計算與應用，數學素養(yǎng)方面主要考查綜合能力與運算能力．6．B解析：雙曲線上的點滿足，點P到兩條漸近線的距離之積為，∴，，故選B．［命題意圖］考查雙曲線的性質中的點在曲線上、漸近線、離心率、點到直線距離公式等知識，數學素養(yǎng)方面考查靈活變形和數學運算．7．C解析：曲線的圖象如下圖，直線l恒過點，圖中，故t的值有3個，故選C．［命題意圖］考查圓及其性質、圓方程的變形、直線過定點等，數學思想方法主要考查數形結合思想和分類討論思想．8．C解析：以AB，AD，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則外接球球心O為體對角線的中點，，，，，可求得平面的法向量為，，則點O到平面的距離，又長方體外接球半徑，設截面圓半徑為r，所以，，故選C．［命題意圖］考查長方體的外接球直徑與體對角線的關系、空間向量中點到平面的距離以及截面圓的問題，數學素養(yǎng)方面考查空間想象能力以及綜合能力等．9．ABC解析：，A正確；當時，，∴，也符合，B正確；根據等差數列的定義可知C正確，D不正確．故選ABC．［命題意圖］考查等比數列的通項公式、前n項和、等差數列的定義、由前n項和求通項以及對數運算等，數學素養(yǎng)方面主要考查分析能力與辯證思維．10．ACD解析：，，A正確；B顯然不正確；∵，，∴平面BCF，C正確；同理平面ADE，D正確．故選ACD．［命題意圖］考查用向量證明平行與垂直問題，如何判定平面的法向量問題以及向量與普通方法結合使用的問題，數學思想方法考查數形結合思想和辯證統(tǒng)一思想．11．BCD解析：對于A，連接，，AF，BF，則四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形的周長為8，A錯誤；，當且僅當時，等號成立，B正確；∵A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，∴設直線AB的方程為，由得，∴，∴的面積，當且僅當時，等號成立，C正確；對于D，設，，，直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，則，又點P和點A在橢圓C上，①，②，①②得，易知，則，得，∴，∴，D正確．故選BCD．［命題意圖］考查橢圓的定義、直線與橢圓位置關系及與基本不等式結合求最值，數學素養(yǎng)方面主要考查靈活變形和數學運算．12．BCD解析：對于A，圓的兩條互相垂直的切線交點到圓心的距離為，外準圓的面積為2S，A不正確；對于B，過橢圓的長軸與短軸的端點作切線是垂直的，其交點到原點的距離為，顯然B正確；拋物線兩條互相垂直的切線交點在準線上，故C正確；雙曲線是關于y軸對稱的，∴過y軸上一點作雙曲線的兩條互相垂直的切線，其斜率為，設切線方程為，代入雙曲線方程使，解得，故D正確．故選BCD．［命題意圖］考查數學文化、新定義的使用、圓錐曲線與圓的關系、直線與曲線的位置關系中的相切等，數學思想方法主要考查無窮思想、特值思想．13．6解析：由題意得，所以，，，故焦距．［命題意圖］考查橢圓的方程及幾何性質，數學素養(yǎng)方面主要考查運算能力和推理能力等．14．解析：，設半徑為R，，解得，圓心到直線的距離，所以弦長為．［命題意圖］考查圓的方程、圓的切線以及直線與圓的位置關系的應用，數學素養(yǎng)方面主要考查綜合能力與運算能力．15．解析：如圖，設棱長為2，則，不難發(fā)現四邊形是矩形，∴．，∴．［命題意圖］考查空間向量的數量積、模、夾角以及立體幾何中的垂直問題，數學素養(yǎng)方面主要考查數形結合思想、運算思想、抽象推理等．16．解析：由已知得∴．當時，．當時，．當時，，當時，．當時，，設．∵在上單調遞減，上單調遞增．又，∴當時，只需比較和，，．∵，∴．［命題意圖］考查數列的絕對值求和及單調性比較大小，數學素養(yǎng)方面主要考查邏輯推理、數學運算．17．解：（1）設，則OA的中點在直線上，∴．（2分）點A在直線上，故，．∴點A的坐標為（4，1）．（5分）（2）由題得直線OB的斜率為，方程為，則，（7分）設圓的方程為，代入O，A，B三點得解得，，，∴△OAB的外接圓方程為．（10分）［命題意圖］考查直線方程的點斜式、高線及中線的定義，綜合坐標關系求解點的坐標及外接圓方程，數學素養(yǎng)方面主要考查知識的遷移．18．解：（1）設數列的公差為d，∴，，則，（3分）∴，，解得，，∴數列的通項公式為．（6分）（2）∵，（8分）∴．（12分）［命題意圖］考查等差數列通項公式的靈活應用以及裂項相消等知識，數學思想方法主要考查方程思想、恒等思想、化歸思想等．19．解：（1）由已知，且，（2分）∴，，∴橢圓C的標準方程為．（4分）（2）設，，將代入曲線C中，整理得，其中，即，∴，，（6分）∴，（8分）點O到直線MN的距離，∴，（10分）當且僅當，即時，等號成立．（11分）∴△OMN面積的最大值為．（12分）［命題意圖］考查橢圓方程、弦長公式、點到直線的距離公式、基本不等式求最值等，數學思想方法主要考查特值思想和轉化思想等．20．解：（1）由已知得，，…，，∴，（2分）∴，（4分）∵，∴數列是首項為3，公比為3的等比數列．（6分）（2），，∴，（10分）即．（12分）［命題意圖］考查累加法求通項以及等比數列求和、等比數列的定義、錯位相減求和等，數學思想方法主要考查運算思想和迭代思想．21．解：（1）由已知，，，∴，，（2分）又，，PB，平面PBE，∴平面PBE，．（4分）∵是正三角形，，∴．∵BC與AD相交，∴平面ABCD．（6分）（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，得，，，．∴，，，設平面PAB的法向量為，∴即令，∴．（8分）設平面PBC的法向量為：，∴即令，∴．（10分）∴，∴平面與平面的夾角的余弦值為．（12分）［命題意圖］考查立體幾何中線面垂直的證明、空間向量中平面與平面的夾角的求法、平面法向量的求法等，數學素養(yǎng)方面考查數形結合、整體思想等．22．解：（1）如圖，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即，（3分）當A，B互換位置時，，（4分）∴點P的軌跡E為雙曲線，其方程為．（5分）（2）假設直線PH的斜率不存在，則不難發(fā)現點P與Q重合，不符合題意．設PH的方程為，，，則，將PH的方程代入曲線E，整理得，，∴，，（7分）∵直線PQ過，∴，即，（8分）∴，整理得，整理得，此時，解得，（10分）直線PH的方程為，故直線PH恒過定點．（12分）［命題意圖］考查利用平面幾何知識向雙曲線定義轉化、雙曲線的方程、直線與圓錐曲線關系問題等，數學思想方法主要考查轉化思想、特值思想、運算思想等．
 

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