2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)河池市八校高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（    ）A．－2 B．2 C．3 D．－3【答案】A【分析】利用向量平行列方程組即可求得實(shí)數(shù)m的值【詳解】∵，∴∴，解之得，，故選：A2．已知直線，則直線的傾斜角的范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系列出不等式組，解之即可求得直線的傾斜角的范圍【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則， 由，得或，故選：B.3．直線與直線的位置關(guān)系是（    ）A．平行 B．相交 C．不確定 D．重合【答案】C【分析】根據(jù)直線方程判斷直線的位置關(guān)系，注意討論參數(shù)的數(shù)量關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線重合，當(dāng)時(shí)，兩直線平行，所以題設(shè)兩直線位置可能重合、平行.故選：C.4．已知向量，，，若是平面ABC的法向量，則mk的值是（    ）A．3 B．2 C．6 D．4【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合條件即得.【詳解】由題可得，，又為平面ABC的法向量，∴，解得，，解得，∴.故選：A.5．過點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】按截距為0和不為0分類討論分別求得符合題意的直線方程【詳解】當(dāng)截距時(shí)，設(shè)直線方程為，將，代入得，∴方程為當(dāng)截距時(shí)，過原點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程為又且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為和故選：D.6．已知向量，，且則（    ）A．－3 B．－2 C．－1 D．－4【答案】B【分析】根據(jù)向量的模的運(yùn)算列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，由已知得，解得或，∵，∴.故選：B7．已知圓C：，直線l：，則圓C上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及圓的性質(zhì)即得.【詳解】由題可知圓C的圓心為，半徑為3，圓C到直線距離為，圓C的半徑為3，故圓C上到直線l的距離等于1的點(diǎn)有3個(gè).故選；C.8．已知圓A：與圓B：，則兩圓的公切線的條數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而可判斷兩圓的公切線的條數(shù)【詳解】∵圓A：圓心，半徑為1，圓B：圓心，半徑為4，，∴兩圓外切，故兩圓的公切線有3條.故選：D. 二、多選題9．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線l的斜率可以為0 B．直線過點(diǎn)C．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距有可能相等 D．直線的斜率有可能不存在【答案】CD【分析】根據(jù)直線的斜率、定點(diǎn)、截距等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，∴A錯(cuò)，D對(duì)，∵，∴直線l不過點(diǎn)，∴B錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，直線l在x軸，y軸上的截距分別為，，令得，∴C對(duì).故選：CD10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（    ）A．若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則B．若非零向量，，滿足，，則C．若向量，，是空間一組基底，則，，也是一組基底D．若，，是空間向量的一組基底，，則A，B，C，D四點(diǎn)共面【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量共線、垂直、基底、共面等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，∵，與任何向量都不構(gòu)成空間向量的基底，∴，只能為共線向量∴，A對(duì)；對(duì)于B，取，，，顯然滿足，，但與不平行，B不對(duì)；對(duì)于C：∵，，為一組基底，∴對(duì)于空間任意向量，存在實(shí)數(shù)m，n，t，使，∴，，也是一組基底，C對(duì)；對(duì)于D：∵，∴，即：，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面，∴D對(duì).故選：ACD11．已知圓M：與圓N：的交點(diǎn)為A，B，則（    ）A．直線AB的方程為B．線段AB的中垂線方程為C．在過A，B的所有圓中，圓 M的半徑最小D．線段AB的長度為【答案】AC【分析】求得直線AB的方程判斷選項(xiàng)A；求得線段AB的中垂線方程判斷選項(xiàng)B；求得以線段AB為直徑的圓判斷選項(xiàng)C；求得線段AB的長度判斷選項(xiàng)D.【詳解】圓M的方程為：，圓心M，半徑圓N的方程為：圓心N，半徑∵兩圓相交于A，B，聯(lián)立上述兩方程得， 圓心在直線上，則直線與圓M相交則直線AB的方程為：，選項(xiàng)A判斷正確；∵線段AB的中垂線過N點(diǎn)，又，與直線AB垂直的直線斜率為1∴AB的中垂線方程為，即，則選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；∵滿足，∴M在公共弦AB上，∴AB的長為圓M的直徑，即，∴選項(xiàng)D不對(duì)，選項(xiàng)C對(duì).故選：AC.12．已知圓和點(diǎn)，，若C上存在點(diǎn)P，使得，則m的可能值是（    ）A．4 B．7 C．2 D．8【答案】AB【分析】由圓的方程可得圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的范圍，結(jié)合條件可得，從而得到的取值范圍，即得.【詳解】由圓，可知圓心，半徑為2，所以圓心C到原點(diǎn)O的距離為5，∴圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離滿足，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)，使得，所以，即，選項(xiàng)A，B正確，故選：AB. 三、填空題13．已知直線l的方向向量，平面M的法向量分別為，，則l與M的位置關(guān)系是______.【答案】，或【分析】利用向量的方法即可判斷l與M的位置關(guān)系【詳解】∵，∴，或.故答案為：，或14．已知m為實(shí)數(shù)，方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的值為______.【答案】【分析】先依據(jù)題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)m的值【詳解】∵表示圓，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，原方程化為即：，符合題意，當(dāng)時(shí)，原方程化為即：，不是圓的方程，∴不合題意，故答案為：15．已知空間三點(diǎn)，，，則三角形ABC的面積為______.【答案】##【分析】先求得角A的正弦值，再利用三角形面積公式即可求得三角形ABC的面積【詳解】∵，，，∴，，∴，又，∴，∴.故答案為：16．過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為______.【答案】【分析】求出以MC為直徑的圓的方程，可得AB的方程為兩圓的公共弦所在的直線方程，兩圓方程相減可得答案.【詳解】可化為：，∴圓心為，半徑為，∴MC的中點(diǎn)為，，以MC為直徑的圓的方程為：，即∵，，∴M，A，C，B四點(diǎn)共圓，∴AB的方程為兩圓的公共弦所在的直線方程，兩圓方程相減得直線AB的方程為.故答案為：. 四、解答題17．已知正四面體O-ABC中，E，F分別為AB，OC的中點(diǎn)，.(1)證明：EF是異面直線AB，OC的公垂線；(2)求線段EF的長度，（用向量知識(shí)求解）.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用向量數(shù)量積為0去證明直線垂直，進(jìn)而證得EF是異面直線AB，OC的公垂線；（2）利用向量數(shù)量積即可求得線段EF的長度.【詳解】（1）設(shè)，，，則，則，∴，，∵，∴，∵，∴，∴EF為AB，OC的公垂線.（2）.則線段EF的長度為.18．已知直線l：.(1)求直線m：關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；(2)求圓C：關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法即可求得直線m關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；（2）先求得圓C關(guān)于直線l對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得該圓方程.【詳解】（1）設(shè)為所求直線上的任一點(diǎn)，P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為則，解得∵Q在直線m上，∴，即故直線m關(guān)于l的對(duì)稱直線的方程為.（2）設(shè)圓心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則M為所求圓的圓心由，解得，∴所以所求圓的方程為19．如圖2，P-ABCD為四棱錐. (1)若，求證：，(2)若P-ABCD為正四棱錐，且，求底面中心O到面PCD的距離.（要求用向量知識(shí)求解）【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）利用空間向量基本定理即可求得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法去求底面中心O到面PCD的距離.【詳解】（1）∵A，B，C，D共面，∴存在實(shí)數(shù)，滿足∴∵，∴，，，∴（2）∵O為正四棱錐P-ABCD的底面中心，∴O為AB，CD的交點(diǎn)， 以O為原點(diǎn)，分別以OB，OC，OP為x，y，z軸建立坐標(biāo)系如圖，則，，設(shè)OG⊥平面PCD，垂足為G，則∵，，∴，同理由得∴，又C、D、P、G四點(diǎn)共面，，則， ∴∴，所以底面中心到面PCD的距離為.20．已知直線l：，圓C：.(1)求證不論m取何值，直線l與圓C恒相交；(2)若直線l被圓C截得的弦長為8，求l的方程.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）由題可得直線恒過定點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即得；（2）根據(jù)弦長公式及點(diǎn)直線的距離公式可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）直線l的方程可化為，所以 l 過定點(diǎn)，由圓C：，可知圓心，半徑為，∵，∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，∴不論m取何值，直線l與圓C恒相交；（2）∵l被圓截得的弦長為8，∴圓心C到直線l的距離，∴，解得，代入l方程中化簡得，故所求直線l的方程為.21．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，面ABCD，，，點(diǎn)M在棱SC上，.(1)證明：M為SC的中點(diǎn)；(2)求二面角S-AM-B的余弦值，（要求用向量知識(shí)求解）【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法表達(dá)，進(jìn)而求得M為SC的中點(diǎn)；（2）利用向量的夾角公式即可求得二面角S-AM-B的余弦值【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DS分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，設(shè)，則，解之得，則，則，又∵，，∴，即，解得，∴M為SC的中點(diǎn)（2）由（1）得，，設(shè)AM的中點(diǎn)為G，則，，∴，則，，∴的大小等于二面角S-AM-B的大小，則二面角S-AM-B的余弦值為22．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上，(1)求圓C的方程；(2)若過點(diǎn)的直線l交圓C于E，F兩點(diǎn)，問是否存在以EF為直徑且過點(diǎn)的圓，若存在，求出該圓的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，和 【分析】（1）先求得圓C的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l分為兩種情況去討論，利用設(shè)而不求的方法即可求得符合題意的圓的方程.【詳解】（1）∵點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴圓心在AB的中垂線上，又圓心在上，∴圓心C的坐標(biāo)為∴圓C的半徑，∴C的方程為：（2）當(dāng)直線l不垂直于y軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為：，代入中化簡得，，由得或設(shè)，，則，∴若存在以EF為直徑的圓過定點(diǎn)，則，又∴，即，則，解得，符合要求，∴，，，，以EF為直徑的圓的方程為：，整理得，即：，亦即：，又當(dāng)直線l為時(shí)，E，F分別為和，顯然EF為直徑的圓過點(diǎn)，故存在以EF為直徑且過定點(diǎn)的圓，其方程為和. 

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