2022-2023學(xué)年廣東省湛江市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合A，再根據(jù)交集的運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：，所以.故選：C.2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則的值為（    ）A．8 B． C．16 D．±16【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，設(shè)的公比為，則，，兩式相除可得，所以，所以，故選：A.3．正方體中，是棱的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到平面的距離是A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征利用等體積法求解點(diǎn)面距離即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可知：，即，,解得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)面距離的求解，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.4．設(shè)為虛數(shù)單位，，“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（    ）條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先化簡，再根據(jù)純虛數(shù)的定義求出的值，利用充分條件和必要條件得定義即可判斷.【詳解】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，故“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】對于復(fù)數(shù)的乘法，類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可；對于復(fù)數(shù)的除法，關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.5．已知，則的最小值與最小正周期分別是（     ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式化簡，即可根據(jù)周期公式求解出周期，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【詳解】，故最小正周期為，最小值為.故選：A.6．目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率計(jì)算即可.【詳解】設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為和，則男員工中，肥胖者有人，女員工中，肥胖者有人，設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，則，，則.故選：D.7．是橢圓上的一點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，軸，若，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】軸得，在直角中由正切的定義可得的齊次式，從而得出的方程，求得結(jié)論．【詳解】解：軸，，而由得，即，解得舍或.故選：D.8．莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且．若（λ∈R），則λ＝（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象的對稱性和向量的運(yùn)算法則，化簡得到，即可求解.【詳解】根據(jù)圖形的對稱性，可得，，由和向量的運(yùn)算法則，可得，又由，，故，所以．故選：D. 二、多選題9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，P為C上的一動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8C．的最小值為4 D．的最小值為9【答案】CD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，即可判斷A,根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷B,根據(jù)焦半徑以及自變量的范圍即可判斷C,根據(jù)三點(diǎn)共線即可判斷D.【詳解】對于A,由拋物線的焦點(diǎn)為可知，故A錯(cuò)誤，對于B,當(dāng)PF⊥x軸時(shí)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，將其代入中得，故B錯(cuò)誤，對于C,設(shè)，則，由于,所以，故的最小值為4，故C正確，對于D，過作垂直于準(zhǔn)線于,過作垂直于準(zhǔn)線于，則，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，故D正確；故選：CD10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象如圖，則（       ）A．為奇函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．方程在內(nèi)有個(gè)實(shí)數(shù)根D．的解析式可以是【答案】BC【分析】利用圖象可求得函數(shù)的解析式，利用函數(shù)圖象平移可求得函數(shù)的解析式，可判斷D選項(xiàng)；計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求出方程對應(yīng)的可能取值，可判斷C選項(xiàng).【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，，，所以，，則，可得，所以，，得，因?yàn)?/span>，則，所以，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象，故.對于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，故函數(shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B對；對于C選項(xiàng)，由，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：BC.11．已知數(shù)列滿足，，，則（    ）A．121是數(shù)列中的項(xiàng) B．C．是等比數(shù)列 D．存在，【答案】ABC【分析】由遞推關(guān)系式可知，通過構(gòu)造等比數(shù)列可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即可計(jì)算并判斷出ABC正確；再利用不等式進(jìn)行放縮可得出對于任意的，，可得D錯(cuò)誤.【詳解】由可得，，又，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，即C正確；所以，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，即；當(dāng)時(shí)，，所以121是數(shù)列中的第五項(xiàng)，即A正確；由可得，；即B正確；易知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即對于任意的，，所以不存在，，即D錯(cuò)誤.故選：ABC12．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，沿對角線BD將△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，連接PC，下列說法正確的是（    ）A．平面PCD⊥平面PBDB．三棱錐外接球的表面積為C．PD與平面PBC所成角的正弦值為D．若點(diǎn)M在線段PD上（包含端點(diǎn)），則△BCM面積的最小值為【答案】ACD【分析】結(jié)合線線垂直，線面垂直與面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系檢驗(yàn)A,根據(jù)外接球的球心位置即可結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解半徑，可判斷B,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系及空間角及空間點(diǎn)到直線的距離公式檢驗(yàn)．【詳解】中，，，，所以，故，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面平面，又，平面所以平面，平面,所以平面平面，故A正確；取的中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,過作,由平面平面,且平面平面，又,平面,故平面,因此平面,由于為直角三角形，且為斜邊中點(diǎn)，所以,又,所以,因此,因此為三棱錐外接球的球心，且半徑為,故球的表面積為，故B錯(cuò)誤，以為原點(diǎn)，聯(lián)立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，因?yàn)?/span>，0，，，1，，,設(shè)平面的法向量為，所以，取，則所以，故PD與平面PBC所成角的正弦值為，故C正確，因?yàn)?/span>在線段上，設(shè)，0，，則，0，，所以點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)面積取得最小值，D正確．故選：ACD． 三、填空題13．寫出過點(diǎn)且與圓相切的一條直線的方程______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意：先討論斜率不存在的情況是否成立；斜率存在時(shí)，設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)：方程為：，此時(shí)直線到圓心的距離，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)：設(shè)方程為：，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得：，所以直線方程為：，所以過點(diǎn)且與圓相切的一條直線的方程或，故答案為：（答案不唯一）.14．等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若，則________．【答案】【分析】直接利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.15．若、、為空間三個(gè)單位向量，，且與、所成的角均為60°，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量的模長公式即可代入求解.【詳解】由題意可得，，故答案為：16．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方．若線段的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______________．【答案】.【分析】設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)線段的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，可得，從而可求得，在，利用余弦定理求得的余弦值，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)橢圓得左焦點(diǎn)為，連接，由橢圓得，，則，，，因?yàn)辄c(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，所以，因?yàn)?/span>分別為得中點(diǎn)，所以，所以，所以，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方，則直線的傾斜角與互補(bǔ)，所以直線的斜率.故答案為：. 四、解答題17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．(1)求；(2)若B是鈍角，求AC邊上的中線長．【答案】(1)(2)1 【分析】（1）根據(jù)同角基本關(guān)系可得正弦值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理即可求解，（2）根據(jù)余弦定理可求解，利用向量得，平方后即可求解．【詳解】（1）由,則,由正弦定理得，（2）由于B是鈍角，故,由余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去），設(shè)邊上的中線為，則，所以，所以，即邊上的中線長為．18．設(shè)第一象限的點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，已知C的一條漸近線的方程是．(1)求b的值，并證明：；(2)若直線和曲線C相交于E，F兩點(diǎn)，求．【答案】(1)，證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得，進(jìn)而根據(jù)分析法即可求解，（2）聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理以及弦長公式即可求解.【詳解】（1）的漸近線方程為，故，雙曲線方程為，在雙曲線上，所以，要證，只需證，由于，若，顯然成立，若時(shí)，只需要證明，即證，因此只需要證明，由，得，而，故成立，因此（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，設(shè),則，所以由弦長公式得：，19．如圖，在棱長為2的正方體中，E為AD中點(diǎn)．(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)探究線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面？若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)見解析 【分析】（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的一個(gè)法向量．利用空間向量的數(shù)量積即可求解（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面．通過向量共線以及向量的數(shù)量積為0，求解即可．【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，．，，設(shè)平面的法向量，，即，令，則，，，連接，，由于平面，平面,所以，平面，平面，為平面的一個(gè)法向量．，平面與平面夾角不超過，故平面與平面夾角的余弦值為（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面．設(shè)，，，平面，，即，，2，，，，即，解得，在線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．20．甲、乙兩人組成“新隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為（）．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知“新隊(duì)”在一輪活動(dòng)中都猜錯(cuò)的概率為，只猜對一個(gè)成語的概率為．(1)求的值；(2)求“新隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對2個(gè)成語的概率．【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式求解；(2)分情況討論，根據(jù)相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率公式計(jì)算.【詳解】（1）都猜錯(cuò)的概率為，即，只猜對一個(gè)成語的概率為，即，所以解得.（2）“新隊(duì)”在一輪比賽中猜對2個(gè)的概率為，所以“新隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對2個(gè)成語的概率為.21．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，可得，再利用錯(cuò)位相減法即可得出．【詳解】（1）解：∵①時(shí)，②①?②而，由為等比數(shù)列，∴，∴；（2）解： ，∴∴①②①?②，∴22．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．(1)求C的方程．(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓C相切于點(diǎn)P，且與直線交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M，并求出M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，證明見解析 【分析】（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可得，進(jìn)而可求，（2）聯(lián)立方程，根據(jù)判別式為0得，進(jìn)而可得，，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得對任意的恒成立，即可求解定點(diǎn).【詳解】（1）由焦點(diǎn)是，可知焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓方程為，有題意可知，故，故C的方程為（2）聯(lián)立，故，化簡得，設(shè)，則，，故，，設(shè)，則，化簡得對任意的恒成立，故滿足，故以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)M,且,【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線中常涉及范圍或最值問題，以及定點(diǎn)定值問題.根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的垂直關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用. 

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