一、單選題
1．直線，，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于的等式，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，則，解得或.
故選：D.
2．在四面體OABC中記，，，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即得.
【詳解】由題意得：.
故選：B.
3．《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（ ）
A．升B．升C．升D．升
【答案】A
【分析】設(shè)此等差數(shù)列為，利用方程思想求出和，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解．
【詳解】根據(jù)題意得該竹子自上而下各節(jié)的容積形成等差數(shù)列，
設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
由題意可得，
所以，解得，
所以，
即第5節(jié)竹子的容積為升．
故選：A．
4．如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點(diǎn)， 與分別為線和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若 、則線段長度的取值范圍為（ ）
A．[ )B．[ ]C．[)D．[]
【答案】A
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求得參數(shù)之間的關(guān)系，并建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，求其值域即可.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，
故，因?yàn)椋?br>故可得，則，由可得，
又，故,
故當(dāng)時(shí)，取得最小值；又當(dāng)時(shí)，，但無法取到，則無法取到；
綜上，線段DF長度的取值范圍為.
故選：A
5．圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)
【答案】C
【詳解】化為，得圓心坐標(biāo)為，半徑為圓心到直線的距離直線與圓相交.注意到，可知圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.故選：C.
6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和組成的數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由得，即，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得答案.
【詳解】，，
因?yàn)椋裕?br>可得，而，
所以時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，
所以.
故選：A.
7．已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象都相切，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別得到、，再運(yùn)用基本不等式即可求解.
【詳解】設(shè)直線與函數(shù)，的圖象相切的切點(diǎn)分別為，.
由，有，解得，.
又由，有，解得，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“=”.
故選：B
8．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，是在第一象限的一點(diǎn)，滿足，，則的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件，可得∽，則.根據(jù)條件得出線段長度，即可得到，從而求出答案.
【詳解】
如圖，由已知得，，，
所以，.
和均為等腰三角形，
且，所以，
所以∽，
所以有，即，所以，.
故選：C.
二、多選題
9．如圖，點(diǎn)，，，，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，是以為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線，則（ ）
A．曲線關(guān)于軸對稱
B．曲線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值
C．曲線與軸圍成的圖形的面積等于
D．所在的圓截直線所得弦的長為
【答案】ABD
【分析】由題意可判斷A；，到原點(diǎn)的距離最小，最小值為可判斷B；求出、、所在的圓的方程，曲線與軸圍成的圖形是一個(gè)半圓，一個(gè)矩形和兩個(gè)圓，求出面積可判斷C；求出所在的圓截直線所得弦的長可判斷D.
【詳解】解：對于A，由圖可知，曲線關(guān)于軸對稱,A選項(xiàng)正確；
對于B，明顯是，到原點(diǎn)的距離最小，最小值為，所以B正確；
對于C，、、所在的圓的方程分別為，，.
曲線與軸圍成的圖形是一個(gè)半圓，一個(gè)矩形和兩個(gè)圓，其面積為，故C錯(cuò)誤；
對于D，所在的圓的方程為，圓心，
圓心到直線的距離，
則所求的弦長為，故D正確.
故選：ABD
10．在棱長為2的正方體ABCD—中，M為底面ABCD的中心，Q是棱上一點(diǎn)，且，N為線段AQ的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ）
A．CN與QM異面B．三棱錐的體積跟λ的取值無關(guān)
C．不存在λ使得D．當(dāng)時(shí)，過A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為
【答案】BD
【分析】證明可判斷A；由等積法可判斷B；建立坐標(biāo)利用向量數(shù)量積可判斷C；求出截面梯形的面積可判斷D
【詳解】連AC，CQ，則M，N分別為AC，AQ的中點(diǎn)，MN為的中位線.
∴，則CN，QM共面，A錯(cuò).
為定值，B對.
如圖建系，，則
，
，C錯(cuò).
截面如圖所示，圖形ACFQ，過Q作AC的垂線 垂足為G.
，
∴，D對.
故選：BD
11．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖，在長度為的線段上取兩個(gè)點(diǎn)、，使得，以為邊在線段的上方做一個(gè)正方形，然后擦掉，就得到圖形；對圖形中的最上方的線段作同樣的操作，得到圖形；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖，圖，圖，圖，各圖中的線段長度和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．
C．存在正數(shù)，使得恒成立D．恒成立
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意得到遞推公式，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷AD選項(xiàng)正誤；利用分組求和法可判斷B選項(xiàng)的正誤，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由題意知，，
以此類推可得，
故
，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
因?yàn)楹愠闪?，且單調(diào)遞增，
則數(shù)列單調(diào)遞增，所以，數(shù)列無最大值，
因此，不存在正數(shù)，使得，故C錯(cuò)誤；
恒成立，故D正確.
故選:BD.
12．若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可判斷AB；令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可判斷CD
【詳解】令，則，
故為增函數(shù)，
由，得，故A錯(cuò)誤，B正確.
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
則的導(dǎo)函數(shù)，
則在上單調(diào)遞減，
則，得在上單調(diào)遞減，
所以，得，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
三、填空題
13．試寫出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：__________，使之與點(diǎn)，三點(diǎn)共線．
【答案】（答案不唯一）
【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量共線得到，求出，寫出一個(gè)符合要求的即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，設(shè) ，則設(shè)，
即
故 ，不妨令，則，故．
故答案為：
14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則___________．
【答案】
【分析】首先求導(dǎo)數(shù)，再代入，求解.
【詳解】由條件可知，，，
解得：.
故答案為：
15．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是和的一個(gè)交點(diǎn).若點(diǎn)滿足是正三角形且，則______.
【答案】.
【分析】根據(jù)已知求出，，.根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可推得，在中，根據(jù)余弦定理可列出關(guān)于的方程，解出，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】
由已知可得，橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)均為，，
即，.
設(shè)點(diǎn)在第一象限.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以有，
又點(diǎn)在雙曲線上，所以有，所以.
又是正三角形，所以，，
所以有，則三點(diǎn)共線.
則在中，有，，
由余弦定理可得，，
即，整理得，
又，所以，則由可得，.
故答案為：.
16．已知數(shù)列滿足，且前項(xiàng)和為，則_______．
【答案】
【分析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，采用累加法可求得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；采用分組求和的方式，分別求解奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，從而利用前項(xiàng)和為構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
，，…，，
各式相加得：，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
，解得：.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式求解數(shù)列首項(xiàng)的問題，解題關(guān)鍵是能夠分別在為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況下得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)滿足的關(guān)系式，采用分組和并項(xiàng)求和的方式可構(gòu)造方程.
四、解答題
17．已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)的和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，得，
（），
且滿足上式，
綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由第（1）問知，，∴，
∴，
∴
.
∴數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，所在直線的方程為.
(1)求邊所在直線的方程；
(2)求經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立兩條直線得點(diǎn)，由C與A關(guān)于點(diǎn)M對稱得，由與垂直，得邊所在直線的方程；
（2）聯(lián)立直線方程解出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)圓的一般方程，將M，A，B坐標(biāo)分別代入，解出圓的方程.
【詳解】（1）由，得，則，
因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對角線相交于M，所以C與A關(guān)于點(diǎn)M對稱，
設(shè)，所以，得，則，
因?yàn)檫吽谥本€的方程為，斜率為，
與垂直，所以直線的斜率為，
則邊所在直線的方程為，即；
（2）由，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)所求圓的方程為，且，
則，得，
則所求圓的方程為：.
19．如圖，在四棱錐中，底面邊長為是菱形，，是對角線和的交點(diǎn)，，為銳角，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且始終有.
(1)求三棱錐的體積；
(2)若二面角為，求此時(shí)直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面積為，求得，解三角形得，證明平面得，得，證明，得平面，利用等體積法求的體積；
（2）由二面角為，解得，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算直線BM與平面MCD所成角的正弦值.
【詳解】（1）在中，，，
則，且為銳角，，
由余弦定理，，即，
由于四邊形為菱形，則，且，
，，平面，則平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)闉檎切?，，，則，
因?yàn)?，所以，由于，，平面?br>所以平面，
則；
（2）
如圖，過點(diǎn)作，連接，
由（1），平面，且平面，則，
所以，則，
由于，，兩兩垂直，如圖建系，
，，，，，
則，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，即，取，則，
設(shè)所求角為，那么，
則所求角正弦值為.
20．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退一相減法可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得其通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法可得，再根據(jù)的單調(diào)性可得取值范圍.
【詳解】（1）由，得①，
所以當(dāng)時(shí)，②.
由①減②，得.
因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，所以，
又由，，得
所以，所以
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；
（2）由（1），得，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和.
所以，
兩式作差可得：，
所以
由于，，
則數(shù)列在上單調(diào)遞增，
于是.
21．如圖，曲線是以原點(diǎn)為中心，、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，是曲線和的一個(gè)交點(diǎn)，且為鈍角，，．
(1)求曲線和所在橢圓和拋物線的方程；
(2)過作一條與軸不垂直的直線，分別和曲線和交于、、、四點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)橢圓方程為，拋物線方程為．
(2)是，且
【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，利用橢圓定義可求得的值，設(shè)、、，利用兩點(diǎn)間的距離公式和拋物線的定義可得出關(guān)于、、的方程組，結(jié)合已知條件得出，解出的值，即可得出橢圓和拋物線的方程；
（2）設(shè)、、、，設(shè)直線的方程為，其中，將直線的方程分別與橢圓、拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合韋達(dá)定可計(jì)算出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓方程為，則，得，
設(shè)、、，拋物線方程為，其中，
則，，
兩式相減得，由拋物線定義可知，
因?yàn)闉殁g角，則，解得，
所以，橢圓方程為，拋物線方程為．
（2）解：設(shè)、、、，
設(shè)直線的方程為，其中，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，，
聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，
所以，
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
22．已知函數(shù).
(1)若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)若只有唯一的極值點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分，和討論函數(shù)單調(diào)性即可求解；
（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，題意轉(zhuǎn)化成，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可
【詳解】（1）由可得，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，令，則或；
由可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，
故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，
①若，即，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；
②若，即時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；
③若，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，
故是的極小值點(diǎn)，符合題意.
綜上所述，的取值范圍.
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，要證：，
設(shè)，，
設(shè)，，，
當(dāng)，當(dāng)，
于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
于是，
則由可得，
當(dāng)，當(dāng)，
且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
那么，即證
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．

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