2022-2023學年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學高二上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）

這是一份2022-2023學年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學高二上學期10月月考數(shù)學試題（解析版），共16頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學年廣東省佛山市南海區(qū)南海中學高二上學期10月月考數(shù)學試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由直線方程為，可得斜率，設(shè)傾斜角，再根據(jù)即可得解.【詳解】由直線方程為，可得斜率，設(shè)傾斜角，由可得：，又因為，可得：，故選：A.【點睛】本題考查了斜率和傾斜角的關(guān)系，考查了利用斜率求傾斜角，計算量不大，屬于基礎(chǔ)題.2．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量在向量上的投影向量為，計算即可求出答案．【詳解】解：向量，則，，，所以向量在向量上的投影向量為．故選：．3．“”是“直線和直線平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】根據(jù)題意，若l1∥l2，則有1×3=a×（a-2），解得a=-1或3，當a=-1時，直線l1：x-y+6=0，其斜率為1，直線l2：-3x+3y-2=0，其斜率為1，即l1與l2不重合，則l1∥l2，當a=3時，直線l1：x+3y+6=0，直線l2：x+3y+6=0，l1與l2重合，此時l1與l2不平行，所以l1∥l2，即“”是“直線和直線平行”的充要條件故選：C．4．如圖所示，在平行六面體中，設(shè)，，，N是BC的中點，用，，表示為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解．【詳解】由題意．故選：A．5．設(shè)、，則線段的垂直平分線的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出線段中點坐標，再求出直線斜率，利用垂直得中垂線斜率，從而得直線方程．【詳解】由已知中點坐標為，即，，∴中垂線斜率為，直線方程為，即．故選：A．【點睛】本題考查求直線方程，考查中點坐標公式，解題關(guān)鍵是掌握兩直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．6．下列說法錯誤的是（ ）A．設(shè)，是兩個空間向量，則， 一定共面B．設(shè)，是兩個空間向量，則C．設(shè)，，是三個空間向量，則 ，，一定不共面D．設(shè)，，是三個空間向量，則 【答案】C【解析】由向量的平移可判斷，；由向量數(shù)量積滿足交換律?分配律可判斷，.【詳解】，設(shè)，是兩個空間向量，則，一定共面，正確，因為向量可以平移；，設(shè)，是兩個空間向量，則，正確，因為向量的數(shù)量積滿足交換律；，設(shè)，，是三個空間向量，則，，可能共面，可能不共面，故C錯誤；，設(shè)，，是三個空間向量，則，正確，因為向量的數(shù)量積滿足乘法對加法的分配律.故選：.7．已知平面，其中點，2，，法向量，1，，則下列各點中不在平面內(nèi)的是（    ）A．，2， B．，5，C．，4， D．，，【答案】B【解析】結(jié)合各個選項分別求出，計算的值是否為0，從而得出結(jié)論.【詳解】對于，，0，，，故選項在平面內(nèi)；對于，，3，，，故選項不在平面內(nèi)；對于，，2，，，故選項在平面內(nèi)；對于，，，，，故選項在平面內(nèi).故選：B8．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在上任取點，作，設(shè)， ，根據(jù)得出和的關(guān)系，從而可得關(guān)于(或的函數(shù)關(guān)系，再求出此函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)為直線上任意一點， 過作，垂足為，可知此時到直線距離最短設(shè)，，則，，，，即，，即，，，，當時，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選：B. 二、多選題9．直線y＝ax＋可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】分類討論和時，直線的位置．【詳解】因為a≠0，所以C錯；當a＞0時，＞0，不過第四象限，故A對；當a＜0時，＜0，不過第一象限，故D錯，B對．故選：AB10．如圖，在正方體中，，點M，N分別在棱AB和上運動（不含端點），若，下列命題正確的是（    ）A． B．平面C．線段BN長度的最大值為 D．三棱錐體積不變【答案】ACD【分析】以點D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立坐標系，設(shè)出動點M，N的坐標，利用空間向量運算判斷選項A，B，C，利用等體積法的思想判斷選項D即可得解.【詳解】在正方體中，以點D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖：A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，設(shè)M(3,y,0)，N(3,3,z)，，，而則，對于A選項：，則，，A正確；對于B選項：，，即CM與MN不垂直，從而MN與平面D1MC不垂直，B不正確；對于C選項：，則線段BN長度，當且僅當時取“=”，C正確；對于D選項：不論點M如何移動，點M到平面A1D1C1的距離均為3，而，三棱錐體積為定值，即D正確.故選：ACD11．已知M，A，B，C四點互不重合且任意三點不共線，則下列式子中能使成為空間的一個基底的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)平面向量基本定理及空間中四點共面的充要條件，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】解：對于選項ACD，由，可得M，A，B，C四點共面，即共面，所以選項A中，不共面，可以構(gòu)成基底，選項C中，不共面，可以構(gòu)成基底；選項D中，因為，所以,可得M，A，B，C四點共面，即共面，無法構(gòu)成基底，故選項D錯誤；對于選項B，根據(jù)平面向量基本定理，選項B中，因為，得共面，無法構(gòu)成基底，故選項B錯誤.故選:AC.12．（多選）已知直線，則下列說法正確的是（    ）．A．直線的斜率可以等于0B．若直線與軸的夾角為30°，則或C．直線恒過點D．若直線在兩坐標軸上的截距相等，則或【答案】BD【分析】討論和時直線的斜率和截距情況，判斷AD的正誤；利用傾斜角和斜率的關(guān)系判斷B的正誤；將方程化為判斷直線過定點，判斷C的正誤.【詳解】當時，直線，斜率不存在，當時，直線的斜率為，不可能等于0，故A選項錯誤；∵直線與軸的夾角角為30°，∴直線的傾斜角為60°或120°，而直線的斜率為，∴或，∴或，故B選項正確；直線的方程可化為，所以直線過定點，故C選項錯誤；當時，直線，在軸上的截距不存在，當時，令，得，令，得，令，得，故D選項正確．故選：BD． 三、填空題13．已知直線的一個方向向量，且過點，則直線的點斜式方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率，再寫出點斜式方程即可.【詳解】因為直線的一個方向向量，所以直線的斜率為所以直線方程為， 故答案為：.14．已知直線l的斜率，則其傾斜角的取值范圍為_________．【答案】{或}【分析】對分類討論，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系計算可得；【詳解】解：當時，，又，∴；當時，，又．∴．綜上所述，直線l的傾斜角的取值范圍是或．故答案為：或15．已知在正方體中，棱長為2，E為的中點.則點到直線的距離為____.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，故，，，點到直線的距離為.故答案為： 四、雙空題16．定義：設(shè)是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標．已知是空間的單位正交基底， 是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標為．向量在基底下的坐標是_______________；模為___________．【答案】          【分析】根據(jù)向量在基底下的坐標為，得出向量在基底的坐標，然后計算模即可．【詳解】解：向量在基底下的坐標為，則，（1）所以向量在基底下的坐標為，（2）的模為．故答案為：；． 五、解答題17．已知直線與直線．（1）若，求m的值；（2）若點在直線上，直線過點P，且在兩坐標軸上的截距之和為0，求直線的方程．【答案】（1），（2）或【分析】（1）由題意可知，所以可得，從而可求出m的值；（2）將點的坐標代入直線的方程中，求出m的值，從而可得點的坐標，然后設(shè)出直線方程，利用兩坐標軸上的截距之和為0，列方程可求出直線方程【詳解】解：（1）因為，所以，且，由，得，解得或（舍去）所以，（2）因為點在直線上，所以，得，所以點的坐標為，所以設(shè)直線的方程為（），令，則，令，則，因為直線在兩坐標軸上的截距之和為0，所以，解得或，所以直線的方程為或18．已知空間向量 ，, ．(1)若，求；(2)若 ，求 的值．【答案】(1)(2)-15 【分析】（1）根據(jù)空間向量的共線，列出方程，解得答案；（2）利用向量垂直，數(shù)量積等于0，求得，再根據(jù)向量的坐標運算即可得答案.【詳解】(1)，,解得：，故，故 ．(2)由，可得 ，解得：， ，，， ．19．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長度為2，且．(1)求的長；(2)直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）用表示出，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算；（2）用空間向量法求異面直線所成的角．【詳解】(1)由題意，，，，．(2)，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．20．如圖，在長方體中，，．若在上存在點，使得平面．(1)求線段的長；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）以為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設(shè)，其中，由已知條件可得出關(guān)于的等式，求出的值，可求得線段的長；（2）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)解：以為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)，其中，則、、、、，，，，若平面，則，，則，解得，則.(2)解：由（1）可知平面的一個法向量為，且，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.21．如圖，是邊長為2的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形.已知.（1）求證：平面平面；（2）求平面ACD與平面BCD所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由是等腰直角三角形，可得DO和DO長度，再由是邊長為2的正三角形和勾股定理可證，最后由面面垂直的判定定理得證；（2）利用空間向量的方式求平面ACD與平面BCD的法向量，進而求二面角的余弦值.【詳解】（1）取線段AB中點為O，鏈接CO與DO，因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以DO,且DO=,又因為是邊長為2的正三角形，則，則在中有，則，又因為，則面ABC，且面ABD，故平面平面；（2）由（1）可建立以O為坐標原點，OA為x軸，OC為y軸，OD為z軸的空間直角坐標系，則點A(1,0,0)，點B(-1,0,0),點C,點D，則向量,設(shè)平面ACD和平面BCD的法向量分別為，由，令，則，即，同理可得，，所以平面ACD與平面BCD所成角的余弦值，觀察可知該二面角的平面角應(yīng)為鈍角，故余弦值為.【點睛】本題考查空間中面面垂直的證明方法，還考查了利用空間向量求二面角的余弦值，屬于簡單題.22．如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．(1)當側(cè)面底面時，求點到平面的距離；(2)在（1）的條件下，線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在； 【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得點到平面的距離.（2）設(shè)，求得點坐標，利用二面角的余弦值列方程，求得，進而求得.【詳解】(1)∵，，∴．如下圖所示，連接，則,所以，所以，結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，故四邊形為正方形，∴，即為的中點，∴，∴．∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴平面，易知，，兩兩垂直．以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示，則，，，，，∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則為平面的一個法向量，則點到平面的距離．(2)假設(shè)存在滿足題意的點，且（）．∵，∴，∴，∴．設(shè)平面的法向量為，又∵，，∴，取，則，，取為平面的一個法向量．易知平面的一個法向量為，∵二面角的余弦值為，∴，化簡，得，解得或（舍去）．∴線段上存在滿足題意的點，且．