2022-2023學(xué)年甘肅省蘭州市蘭州第六中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、多選題1．已知是等比數(shù)列，，，則公比（    ）A． B． C．2 D．【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】由題意可得，解得或故選：AD2．下列說法的正確的是（    ）A．直線恒過定點(diǎn)B．經(jīng)過定點(diǎn)的直線的方程都可以表示為C．經(jīng)過點(diǎn)和的直線可用截距式方程表示D．經(jīng)過任意兩個不同的點(diǎn)、直線的方程都可以表示為【答案】AD【分析】對于A，求出直線l過的定點(diǎn)即可判斷；對于B，當(dāng)斜率不存在的時候可判斷；對于C，由直線過原點(diǎn)即可判斷；對于D，結(jié)合兩點(diǎn)式的概念及辨析進(jìn)行分析即可【詳解】對于A，由，得，由解得，因此無論m為何值，直線l恒過定點(diǎn)，故正確；對于B，當(dāng)直線的斜率不存在時，經(jīng)過定點(diǎn)的直線的方程不可以表示為，故不正確；對于C，經(jīng)過原點(diǎn)的直線不可用截距式方程表示，故不正確；對于D，為兩點(diǎn)式的變形，包含與軸平行或重合的直線，故正確；故選：AD3．，為空間中兩條不重合直線，為空間中一平面，則下列說法不正確的是（    ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】ACD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷AC的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷BD的正誤.【詳解】對于A，當(dāng)時，雖有，，但不成立，故A錯誤；對于B，若，則垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，而，故垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，故，故B正確；對于C，若，，則或異面，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選：ACD.4．已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，且，，以下命題正確的是（    ）A．的最大值為 B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列C．是4的倍數(shù) D．【答案】AB【分析】根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式及性質(zhì)分析各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】由，，得，解得,所以不是4的倍數(shù)，故C不正確；所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)取與最接近的整數(shù)即時，取最大值為，故A正確；，故D不正確；，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故B正確故選：AB5．在數(shù)列中，若，，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．為等差數(shù)列 B．的前n項(xiàng)和C．的通項(xiàng)公式為 D．的最小值為【答案】ABC【分析】由可得，可得是公差為3的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可【詳解】由可得，所以是首項(xiàng)為，公差為3的等差數(shù)列，故A正確；，的前n項(xiàng)和，故B正確；由可得，故C正確；因?yàn)?/span>，故的最小值不為，故D錯誤；故選：ABC 二、單選題6．直線的斜率為（    ）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】把直線方程寫成斜截式，從而可求直線的斜率.【詳解】直線的斜截式方程為：，故該直線的斜率為：，故選：B.7．已知直線l過，且與直線平行，則直線l的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線，代入點(diǎn)可求直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€l與直線平行，故可設(shè)直線，代入，故有即，故所求直線的方程為：，故選：B8．在下列四個正方體中，能得出的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由線面垂直的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)異面直線所成角的計(jì)算可判斷BCD.【詳解】對A，如圖，連接，則在正方體中，，又平面，平面，則，，平面，平面，，故A正確；對B，如圖，連接，易得，則為異面直線所成角，，故不垂直，故B錯誤；對C，如圖，，則為異面直線所成角，易得，故不垂直，故C錯誤；對D，如圖，，則為異面直線所成角，顯然，故不垂直，故D錯誤.故選：A.9．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（    ）A．34 B．35 C．68 D．75【答案】D【分析】由題意，進(jìn)而可得，而，代入即可得答案．【詳解】，又，根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)得，得，則=,故選：D.10．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（    ）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可求的值.【詳解】因?yàn)?/span>為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，故為等比數(shù)列，故為等比數(shù)列，故，故，故選：B.11．已知棱長為1的正方體的所有頂點(diǎn)均在一個球的球面上，則該球的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體外接球的直徑為正方體的體對角線，即可求解．【詳解】棱長為1的正方體，其體對角線長為，而正方體的外接球直徑即為正方體的體對角線，故外接球半徑為，∴該球的表面積為故選：C12．如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，，則異面直線BD與AC所成的角為（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】取的中點(diǎn)E，易得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)E，連接，則，所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角，由題可知，，所以，故選：C. 三、填空題13．已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，且其前n項(xiàng)和分別為和．若，則______．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的性質(zhì)，將所求的，再由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，從而得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列、均為等差數(shù)列，且，所以故答案為：14．如果直線與直線互相垂直，則a的值等于______．【答案】1或【分析】由直線垂直的條件列方程求解即可．【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，解得：或故答案為：1或15．在正四棱錐中，，，則該四棱錐的體積是______．【答案】【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可得正四棱錐的高，然后根據(jù)體積公式即得.【詳解】過點(diǎn)作平面，則為正方形的中心，連接，易知．因?yàn)?/span>，所以，又，所以，則四棱錐的體積.故答案為：.16．已知直線l過，且在兩坐標(biāo)軸上的截距為相反數(shù)，那么直線l的方程是______．【答案】或【分析】分直線過原點(diǎn)、不過原點(diǎn)討論即可【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線為，此時在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，滿足題意，將點(diǎn)代入得：，解得，所以此時直線方程為，即當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線為，將點(diǎn)代入得：所以此時直線方程為；綜上，直線l的方程是或故答案為：或 四、解答題17．已知直線過點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線的一個方向向量為，求直線的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)直線垂直可設(shè)直線方程，將點(diǎn)代入求出參數(shù)即可；（2）根據(jù)直線方向向量的性質(zhì)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，故設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，所以直線方程為.（2）因?yàn)橹本€的一個方向向量為，所以直線的斜率，又直線過點(diǎn)，所以直線方程為，整理得.18．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，與等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值，然后根據(jù)通項(xiàng)公式求出公差，就能求通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求出前n項(xiàng)和再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.【詳解】（1）為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和所以所以，又因?yàn)?/span>所以所以（2）又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)或時有最小值，最小值為的最小值為19．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2．（Ⅰ）證明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求三棱錐C-BDB1的體積．【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：(Ⅰ)要證明線線垂直，可以先證明線面垂直，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，得到線線垂直，所以先證明平面；（Ⅱ）根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，．試題解析：(Ⅰ)證明：是正方體，平面平面底面為正方形平面平面(Ⅱ)解：平面是三棱錐的高【解析】1．線面垂直的判定定理；2．幾何體的高．20．已知等差數(shù)列單調(diào)遞增，其前n項(xiàng)和為，，其中，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前n項(xiàng)和記為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由已知條件列出關(guān)于公差的方程求解即可得到通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得得到，利用裂項(xiàng)求和法求出即可證明.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，，所以，即，因?yàn)榈炔顢?shù)列單調(diào)遞增，解得，所以（2）由（1）知：，則，所以21．已知直線l經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)．(1)若直線l與直線平行，求直線l的方程；(2)若直線l與直線垂直，求直線l的方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先求兩條直線的交點(diǎn)得，再利用直線平行設(shè)的方程為，把代入方程即得；（2）由直線垂直設(shè)直線的方程為，把代入方程即得.【詳解】（1）（1）由，可得，即直線和的交點(diǎn)為，因?yàn)橹本€平行于直線，可設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，解得，所以直線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入方程得，解得，所以直線的方程為.22．如圖，已知在四棱錐中，，，，，E，F分別為棱PB，PA的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面EFDC；(2)若直線PC與平面PAD所成的角為45°，求四棱錐的體積．【答案】(1)見解析；(2) 【分析】（1）可證平面，從而得到，從而可證平面，再證明四點(diǎn)共面，從而得到要求證的面面垂直；（2）取的中點(diǎn)為，連接，可證為直線與平面所成的角且平面，根據(jù)體積公式可求四棱錐的體積．【詳解】（1）因?yàn)樵谄矫?/span>中，，故，因?yàn)?/span>，故，而，，平面，故平面.因?yàn)?/span>平面，故，因?yàn)?/span>，，故，因?yàn)?/span>，平面，故平面.因?yàn)?/span>分別為棱的中點(diǎn)，故，而，故，故四點(diǎn)共面，而平面，故平面平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，由（1）可得，，故，而平面，故平面，故為直線與平面所成的角，故，因?yàn)?/span>平面，平面，故，故為等腰直角三角形，而，故，故，故直角梯形的面積.又平面，故平面平面，而為等邊三角形，故，且.因?yàn)?/span>平面，平面平面，故平面，故四棱錐的體積為. 

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