1.空間幾何體的側(cè)面積、表面積和體積
2.平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化(1)平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系
(2)垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系
3.利用空間向量證明平行或垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分別為u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，則有(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥u?a·u＝0? .(2)線面垂直l⊥α?a∥u?a＝ku(k∈R)?a1＝ ，b1＝ _ ，c1＝ .(3)面面平行α∥β?u∥v?u＝λv(λ∈R)?a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
(4)面面垂直α⊥β?u⊥v?u·v＝0? .
a2a3＋b2b3＋c2c3＝0
4.利用空間向量求空間角(1)設(shè)直線l1，l2的夾角為θ，則有cs θ＝|cs〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量).(2)設(shè)直線l與平面α的夾角為θ，則有sin θ＝|cs〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量).(3)設(shè)平面α，β的夾角為θ，則有cs θ＝|cs〈n1，n2〉|(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量).
5.點到平面的距離的求法(1)定義法：可以利用兩個平面垂直作出點到平面的垂線段.(2)等積法：可以通過換底法把距離問題轉(zhuǎn)化為體積和面積的計算.(3)向量法：設(shè)A是平面α外一點，B是平面α上一點，n是平面α的法向量，則A到平面α的距離是_______.
1.棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面的距離與棱錐高的比的平方.
2.長方體、正方體的內(nèi)切球和外接球(1)長方體的體對角線長d與共點的三條棱長a，b，c之間的關(guān)系為d2＝a2＋b2＋c2；若長方體外接球的半徑為R，則有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
4.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作軸截面解題.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
1.(2022·沈陽模擬)現(xiàn)有一個側(cè)面展開圖為半圓形的圓錐，其內(nèi)部放有一個小球，當小球體積最大時，該圓錐與小球的體積之比是A.9∶4 B.9∶5C.3∶2 D.3∶1
因為圓錐側(cè)面展開圖為半圓，設(shè)圓錐母線為l，底面半徑為R，則2πR＝πl(wèi)，所以l＝2R，
當小球是圓錐的內(nèi)切球時，小球體積最大，軸截面如圖所示.設(shè)此時小球半徑為r，
2.(多選)(2022·石家莊模擬)設(shè)a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是A.若a∥b，b∥α，則a∥αB.若a∥b，a∥α，b∥β，則a∥βC.若a⊥b，a⊥α，b∥β，則α⊥βD.若a⊥α，b∥α，則a⊥b
當a?α時，a∥b，b∥α可以成立，故A不正確；當a?β時，若a∥b，b?α，此時a∥α，b∥β成立，故B不正確；當α∥β時，若b?α，a⊥α，此時a⊥b，b∥β成立，故C不正確，故D正確.
3.(2022·張家口模擬)如圖是戰(zhàn)國時期的一個銅鏃，其由兩部分組成，前段是高為2 cm、底面邊長為1 cm的正三棱錐，后段是高為0.6 cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積約為(參考數(shù)據(jù)：π≈3.14， ≈1.732) cm3 cm3 cm3
因為正三棱錐的底面邊長為1，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，由等面積法，
由三棱錐體積與圓柱體積公式可得，
4.(多選)(2022·濟南模擬)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形A1B1C1D1的中心，則下列結(jié)論正確的是 A.BO⊥ACB.BO∥平面ACD1
對于A，如圖，連接B1D1，A1C1，則B1D1，A1C1交于點O，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，故A1C1⊥BB1，而A1C1⊥B1D1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面BB1D1，故A1C1⊥平面BB1D1，故AC⊥平面BB1D1，而BO?平面BB1D1，故AC⊥BO，故A正確；
對于B，連接BD，交AC于E，連接D1E，則BE∥OD1，BE＝OD1，故四邊形BOD1E是平行四邊形，故BO∥D1E，又D1E?平面ACD1，BO?平面ACD1，則BO∥平面ACD1，故B正確；對于C，設(shè)點B到平面ACD1的距離為d，因為 ，
對于D，連接BC1，則AD1∥BC1，∠OBC1即為直線BO與直線AD1的夾角或其補角，
5.(多選)(2022·順義模擬)如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是長方體ABCD－A1B1C1D1的棱CD上的兩個動點，點E在點F的左邊，且滿足2EF＝DC＝ BC，則下列結(jié)論正確的是 A.B1D1⊥平面B1EFB.三棱錐D1－B1EF的體積為定值C.A1A∥平面B1EFD.平面A1ADD1⊥平面B1EF
B1D1與D1C1顯然不垂直，而EF∥C1D1，因此B1D1與EF顯然不垂直，從而B1D1⊥平面B1EF是錯誤的，A錯誤； ，在三棱錐B1－D1EF中，平面D1EF
即平面CDD1C1，B1到平面CDD1C1的距離為B1C1，是定值，在△D1EF中，EF的長不變，D1到EF的距離不變，面積為定值，因此三棱錐的體積是定值，B正確；平面B1EF就是平面B1A1DC，而AA1與平面B1A1DC相交，C錯誤；
長方體中CD⊥平面A1D1DA，CD?平面B1A1DC，所以平面A1D1DA⊥平面B1A1DC，即平面A1ADD1⊥平面B1EF，D正確.
6.已知過圓錐頂點P的截面為△PAB，O為底面圓的圓心，若二面角P－AB－O的大小為60°，∠AOB＝120°，AB＝ ，則圓錐的側(cè)面積為
如圖，作OC⊥AB，連接PC，則C為AB的中點，∵PB＝PA，∴AB⊥PC，∴∠PCO即為二面角P－AB－O的平面角，∴∠PCO＝60°.
∴AO＝OB＝2，OC＝1，
7.(2022·九江模擬)如圖，棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為棱CC1上一點，且 ，M為平面BDC1內(nèi)一動點，則MC＋MP的最小值為 .
如圖，連接A1C，與平面BC1D交于點E，易知A1C⊥平面BC1D，作點C關(guān)于平面BC1D的對稱點N，
∴MC＋MP＝MN＋MP≥NP，
當M為NP與平面BC1D的交點時取等號，
8.三棱錐P－ABC中，底面為等邊三角形，側(cè)棱長相等，∠APB＝90°，點P到底面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的體積為 .
因為三棱錐P－ABC中，底面為等邊三角形，側(cè)棱長相等，所以三個側(cè)面均為全等的等腰三角形，又∠APB＝90°，即三個側(cè)面均為全等的等腰直角三角形，所以PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC，所以可將三棱錐P－ABC補形為正方體，則該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，設(shè)PA＝PB＝PC＝a，
又點P到底面ABC的距離為2，
9.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，∠BAC＝30°，側(cè)面BCC1B1是正方形，E是BB1的中點，CE＝ ，CE⊥AC. (1)求證：CC1⊥AC；
所以BC＝2.在△ABC中，由正弦定理得，
所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因為AC⊥CE，BC∩CE＝C，BC?平面BCC1B1，CE?平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1.又因為CC1?平面BCC1B1，所以AC⊥CC1.
(2)F是線段AC1上的點，若平面ABC與平面CEF的夾角為45°，求AF的長.
以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,0,0)，E(0,2,1)，
設(shè)平面CEF的法向量為n＝(x，y，z)，
平面ABC的一個法向量為m＝(0,0,1).
由平面ABC與平面CEF的夾角為45°，得|cs〈m，n〉|＝cs 45°，
10.在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，EA⊥平面ABCD，EA∥FD，EA＝AD＝2FD＝2，(1)證明：直線FC∥平面EAB；
以D為原點，分別以DA，DT(T為BC中點)，DF所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
D(0,0,0)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,0,1).
設(shè)n＝(x，y，z)為平面EAB的法向量，
又因為直線FC?平面EAB，所以直線FC∥平面EAB.
(2)求平面EFC與平面FCA夾角的正弦值；
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面EFC的法向量，
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面FCA的法向量，
設(shè)n3＝(x3，y3，z3)為平面BDM的法向量，

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