專題03 立體幾何（文）   立體幾何大題在高考中位于18或者19題位置，并且長時間位于第19題位置，是高考中占據(jù)重要位置的“過關”型大題，考察知識點的重點難點很穩(wěn)定，以中等偏難為主。文科立體幾何大題，主要考察空間點線面關系的證明與體積的求解，考察線線、線面、面面平行與垂直的證明，考察點到面的距離和幾何體的表面積與體積求解。主要涉及到空間點線面相互關系的轉化與計算，多把空間關系轉化為平面關系再進行計算求解證明。 ?？碱}型：空間平行關系的證明，空間垂直關系的證明，求幾何體的體積，點到面的距離及其應用，復雜幾何體“斜棱柱”綜合應用，翻折題型  一、空間平行關系的證明例題、如圖，多面體ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心為M．平面平面ABCD，，，．(1)求證：平面AEFB；(2)在內(nèi)（包括邊界）是否存在一點N，使得平面CEF？若存在，求點N的軌跡，并求其長度；若不存在，請說明理由．   證明平行主要證明線面平行，常見思維：1.利用平移法做出平行四邊形2.利用中位線做出平行四邊形3.利用平行原理做出過直線的平面，證明面面平行，再轉而得到線面平行  （陜西省寶雞教育聯(lián)盟2022-2023學年高三下學期教學質(zhì)量檢測（五）文科數(shù)學試題）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點，D為的中點，P為線段AC上的動點．(1)若平面，請確定點在線段上的位置；(2)若點為的中點，求三棱錐的體積．  1.（四川省雅安市2023屆高三第一次診斷性考試數(shù)學（文）試題）如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面ABC，，，E，F分別為棱AB和的中點.(1)在棱上是否存在一點D，使得平面EFC？若存在，確定點D的位置，并給出證明；若不存在，試說明理由；(2)求三棱錐的體積. 2.（上海市閔行區(qū)2023屆高三一模數(shù)學試題）如圖，已知圓柱的底面半徑為1，正△ABC內(nèi)接于圓柱的下底面圓O，點是圓柱的上底面的圓心，線段是圓柱的母線．(1)求點C到平面的距離；(2)在劣弧上是否存在一點D，滿足平面？若存在，求出∠BOD的大??；若不存在，請說明理由．  1.(2022年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題)小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）． 2.(全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（遼寧卷）如圖，（I）求證（II）設  二、空間垂直關系的證明例題、(河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預測文科數(shù)學試題如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點E為棱PC的中點． (1)證明：平面⊥平面PCD；(2)求四棱錐的體積；  證明垂直，核心思維在于證明線面垂直：1“三垂線定理”這個是最常用的模型2.可以用垂面法來證明線面垂直，尋找垂面是關鍵。3.面面垂直，主要在于尋找其中一個平面板的垂線（及其平行線）  如圖，三棱柱中，側面為矩形，是邊長為2的菱形，，．(1)證明：平面平面；(2)若，求三棱柱的體積．  （上海市上海中學2022屆高三下學期高考模擬3數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，點在平面內(nèi)的射影為A，且，為中點.(1)證明：平面(2)證明：平面平面.  1.（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：. 2.（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．  三、求幾何體的體積例題、已知兩個四棱錐與的公共底面是邊長為4的正方形，頂點，在底面的同側，棱錐的高，，分別為AB，CD的中點，與交于點E，與交于點F.(1)求證：點E為線段的中點；(2)求這兩個棱錐的公共部分的體積.   求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側面作為底面，另一條側棱作為高來求體積．對于空間中垂直關系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進行等價轉化.  （陜西省銅川市王益中學2023屆高三下學期一模文科數(shù)學試題）如圖，四棱錐中，底面，，且． (1)求證：；(2)若四棱錐的體積為1，求四棱錐的表面積．  1.（上海市七寶中學2022屆高三下學期高考模擬數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，垂直于平面，，，，點、分別在線段、上，其中是中點，，連接． (1)當時，證明：直線平行于平面；(2)當時，求三棱錐的體積． 2.（四川省營山縣第二中學2023屆高三第六次高考模擬檢測數(shù)學（文科）試題）如圖，，，為圓柱底面圓周上的三個不同的點，，，分別為圓柱的三條母線，且底面圓的半徑為(1)若是底面圓的一條直徑，證明：.(2)若，且四邊形的周長為，求三棱錐體積的最大值.  1.（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點．(1)證明：平面平面ACD；(2)設，點F在BD上，當的面積最小時，求三棱錐的體積． 2.（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ））如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐P?ABC的體積.  四、點到面的距離及其應用例題、（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考文科數(shù)學試題變式題16-20）如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線，P為的中點，Q為的中點，(1)若，證明：平面；(2)設，圓柱的側面積為，求點B到平面的距離.   求點面距的求解方法比較多，常用的技巧：（1）若直接能夠確定點在平面的射影，可考慮用直接法，找出點面距.一般在一些規(guī)則的幾何體中，頂點在底面的射影比較容易確定.如有時要利用兩個平面垂直的性質(zhì)，在其中一個平面內(nèi)作兩個平面交線的垂線即得；（2）如果能夠構造出三棱錐，要找的點面距恰好是三棱錐的高，此時利用等體積法比較簡單，但是應該明確另一個頂點到對應底面的距離和底面面積兩個量，才能順利求解，計算過程較為麻煩，但是不用添加輔助線找垂線段.（3）若不易找出射影位置，可考慮利用轉移的方法，即把不易求的點到平面的距離借助轉移手法，變?yōu)榍罅硗庖稽c到平面的距離，然后通過這兩點到平面的距離的數(shù)量關系求得所求距離的方法，常用的手段有平行轉移和等比例轉移.  （四川省樂山市高中2023屆高三第一次調(diào)查研究考試文科數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，平面，底面滿足，且，，三角形的面積為 (1)畫出平面和平面的交線，并說明理由(2)求點到平面的距離  1.（寧夏六盤山高級中學2023屆高三上學期期末考試數(shù)學（文）試題）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且. (1)求證：；(2)求點到平面的距離. 2.（陜西省咸陽市乾縣第一中學2023屆高三下學期一模文科數(shù)學試題）如圖，直三棱柱中，，為上的中點.(1)證明：平面平面;(2)若，求點到平面的距離.   1.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ））如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離． 2.如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點．（1）證明：平面;（2）設，，三棱錐的體積 ，求A到平面PBC的距離．   五、復雜幾何體：斜棱柱綜合應用例題、（河南省商丘市部分學校2022-2023學年高中畢業(yè)班階段性測試（三）文科數(shù)學試題）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，側棱的長為，，分別是棱，的中點，平面平面，且．(1)求證：；(2)若三棱柱的側面積為，求它的體積．   對于文科而言，復雜的幾何體之一“斜棱柱”，一般條件中必有面面垂直，借助于面面垂直，可構建線面垂直，以及線線垂直，也能借此求解出斜棱柱的高等其他數(shù)據(jù)。  如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．  1.（四川省南充高級中學2023屆高考模擬檢測七文科數(shù)學試題）如圖， 在平行六面體中，分別是的中點， 側面平面．(1)求證：平面;(2)試求三棱錐 體積． 2.（四川省成都市2023屆高三診斷性檢測數(shù)學（文科）試題）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示．四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面．（1）證明：平面；（2）設是的中點，證明：平面平面．  1.（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學（江蘇卷））在平行六面體中，,．求證：（1）；（2）． 2.（普通高等學校招生考試數(shù)學試題（上海卷））如圖所示，點為斜三棱柱的側棱上一點，交于點，交于點．（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明．  六、綜合應用：翻折型例題、某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數(shù)學探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）.(1)若O是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積.  翻折題型，翻折前在同一個平面內(nèi)，點、線之間相對位置關系不變。解答翻折題時，要先研究翻折前的平面圖形，然后對應平線圖形研究翻折后的立體圖形，尋找折疊前后圖形中的不變量是解決問題的關鍵之一。要通過表面，截面，展開，射影等等手段，將空間中能夠的條件盡量集中在同一平面中 （四川省雅安市2023屆高三零診考試數(shù)學（文）試題）如圖①，為邊長為6的等邊三角形，E，F分別為AB，AC上靠近A的三等分點，現(xiàn)將沿EF折起，使點A翻折至點P的位置，滿足，如圖②所示．(1)若H為PC上靠近P的一個三等分點，求證：直線平面PBE；(2)求四棱錐的體積．  1.（貴州省貴陽市2023屆高三下學期適應性考試（一）數(shù)學（文）試題）如圖①，在梯形中，，E為中點，現(xiàn)沿將折起，如圖②，其中F，G分別是的中點．(1)求證：平面；(2)若，求點B到平面的距離． 2.（2023屆高三全國學業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測2月大聯(lián)考文科數(shù)學試題）如圖①，在平面四邊形中，，，．將沿著折疊，使得點到達點的位置，且二面角為直二面角，如圖②．已知分別是的中點，是棱上的點，且與平面所成角的正切值為．(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積．  1.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））圖1是由矩形和菱形組成的一個平面圖形，其中， ，將其沿折起使得與重合，連結，如圖2.（1）證明圖2中的四點共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積. 2.（2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（新課標I卷））如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積． 

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