2023年上海市松江區(qū)初三3月線下中考數(shù)學(xué)一模試卷含詳解-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫(xiě)姓名、學(xué)校和考號(hào)．
3．答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位．
一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 已知，則銳角A的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
2. 已知中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
3. 關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 開(kāi)口向上B. 與軸的交點(diǎn)是
C. 頂點(diǎn)是D. 對(duì)稱軸是直線
4. 已知、為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤是（）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么或D. 如果為單位向量，且，那么
5. 如圖，為測(cè)量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距米的、兩點(diǎn)處，觀測(cè)對(duì)岸的標(biāo)志物，測(cè)得、，那么這條河的寬度是（）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
6. 如圖，直角梯形中，，，，，．是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得與相似，這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題（本大題共12題）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7. 已知＝，則＝_____．
8. 已知線段，是的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長(zhǎng)是________．
9. 如圖，已知直線，如果，，那么線段的長(zhǎng)是________．
10. 如圖，中，，，是邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，那么的長(zhǎng)是________．
11. 如圖，中，，于點(diǎn)，如果，，那么的值是________
12. 如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的長(zhǎng)度是________米．
13. 把拋物線向左平移2個(gè)單位，所得新拋物線的表達(dá)式是________．
14. 如果一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線________．
15. 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸左側(cè)部分是上升的，那么該二次函數(shù)的解析式可以是________（只要寫(xiě)出一個(gè)符合要求的解析式）．
16. 公園草坪上，自動(dòng)澆水噴頭噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的離地高度（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平距離（米）的函數(shù)解析式是．那么水珠的最大離地高度是________米．
17. 已知，是邊上一點(diǎn)，、重心分別為、，那么的值為_(kāi)_______．
18. 如圖，已知中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，如果直線，垂足記為點(diǎn)，那么的值為_(kāi)_______．
三、解答題（本大題共7題）
19. 如圖，已知中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．
（1）如果，求的長(zhǎng)；
（2）設(shè)，，用、表示．
20 已知二次函數(shù)．
（1）用配方法求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中（如圖），畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖像；
（3）請(qǐng)描述這個(gè)二次函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)．
21. 如圖，已知中，，，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
（1）求正切值；
（2）求的值．
22. 小明想利用測(cè)角儀測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度．如圖，他先在點(diǎn)處放置一個(gè)高為米的測(cè)角儀（圖中），測(cè)得旗桿頂部的仰角為，再沿的方向后退米到點(diǎn)處，用同一個(gè)測(cè)角儀（圖中），又測(cè)得旗桿頂部的仰角為．試求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）
23. 如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對(duì)角線交于點(diǎn)，且．
求證：
（1）；
（2）．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求該拋物線表達(dá)式；
（2）平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點(diǎn)為．
①如果，且新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，求的取值范圍；
②如果新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
25. 已知梯形中，，，，，是線段上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，如果，且，求的正切值；
（2）如圖2，如果，且，求的長(zhǎng)；
（3）如果，且是等腰三角形，求的面積．
數(shù)學(xué)練習(xí)卷
考生注意：
1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．
2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫(xiě)姓名、學(xué)校和考號(hào)．
3．答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位．
一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 已知，則銳角A的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】因?yàn)?tanA= ,A為銳角,由特殊角的三角函數(shù)值即可解答.
【詳解】因?yàn)?tanA= ,A為銳角
由特殊角的三角函數(shù)值知:
A=60°，
故選C.
【點(diǎn)睛】掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵.
2. 已知中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理求得斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：如圖
∵中，，，，
∴,
∴，，，，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3. 關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 開(kāi)口向上B. 與軸的交點(diǎn)是
C. 頂點(diǎn)是D. 對(duì)稱軸是直線
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式中系數(shù)與圖形的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：選項(xiàng)，拋物線中，，圖像開(kāi)口向下，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
選項(xiàng)，令，函數(shù)值，則拋物線與軸的交點(diǎn)是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
選項(xiàng)，根據(jù)頂點(diǎn)式得，拋物線的頂點(diǎn)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
選項(xiàng)，拋物線的對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系，理解并掌握二次函數(shù)中系數(shù)與圖像開(kāi)口，對(duì)稱軸，與軸交點(diǎn)的特點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
4. 已知、為非零向量，下列判斷錯(cuò)誤的是（）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么或D. 如果為單位向量，且，那么
【答案】C
【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、如果，那么，故本選正確；
B、如果，那么，故本選正確；
C、如果，沒(méi)法判斷與之間的關(guān)系，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤
D、如果為單位向量，且，那么，故本選正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟記單位向量、平行向量以及模的定義是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，為測(cè)量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距米的、兩點(diǎn)處，觀測(cè)對(duì)岸的標(biāo)志物，測(cè)得、，那么這條河的寬度是（）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)C，則這條河的寬度是的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)C，則這條河的寬度是的長(zhǎng)，
∵，
∴，
∵米，
∴，
即，
∴，
即米，
即這條河的寬度是米，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，直角梯形中，，，，，．是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得與相似，這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【分析】由于，故要使與相似，分兩種情況討論：①，②，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求出的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【詳解】∵，，
，
．
設(shè)的長(zhǎng)為，則．
若邊上存在點(diǎn)，使與相似，那么分兩種情況：
①若，則，
即，
解得：
②若，則，
即，
整理得：，
，（舍去）
滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共12題）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7. 已知＝，則＝_____．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，由可得，然后代入式子進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的基本性質(zhì)并能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)求值是解題的關(guān)鍵．
8. 已知線段，是的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長(zhǎng)是________．
【答案】
【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，是較長(zhǎng)線段得到，代入數(shù)據(jù)即可得出的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵是的黃金分割點(diǎn)，且，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，理解黃金分割點(diǎn)的概念．牢記黃金分割比是解題關(guān)鍵．
9. 如圖，已知直線，如果，，那么線段的長(zhǎng)是________．
【答案】
【分析】由平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例可知，然后代入的值求解即可．
【詳解】解：
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
10. 如圖，中，，，是邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，那么的長(zhǎng)是________．
【答案】2
【分析】先判斷出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到．
【詳解】：∵，
∴，
∵是邊的中點(diǎn)，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11. 如圖，中，，于點(diǎn)，如果，，那么的值是________
【答案】##
【分析】根據(jù)題意得出，繼而根據(jù)余弦的定義即可求解．
【詳解】解：∵中，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求余弦，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的長(zhǎng)度是________米．
【答案】
【分析】首先根據(jù)坡比求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度．
【詳解】解：∵迎水坡坡比，
∴
∵堤高米，
∴米，
∴米，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟記坡比的定義是解題的關(guān)鍵．
13. 把拋物線向左平移2個(gè)單位，所得新拋物線的表達(dá)式是________．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，再左平移2個(gè)單位即，再利用頂點(diǎn)式拋物線解析式寫(xiě)出即可．
【詳解】的頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線左平移2個(gè)單位后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，新的頂點(diǎn)式拋物線為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并根據(jù)規(guī)律利用點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式．
14. 如果一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線________．
【答案】
【分析】根據(jù)的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對(duì)稱軸，即可得出．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸，求出拋物線的對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．
15. 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸左側(cè)部分是上升的，那么該二次函數(shù)的解析式可以是________（只要寫(xiě)出一個(gè)符合要求的解析式）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸左側(cè)部分是上升的，由此可以確定拋物線的對(duì)稱軸為y軸或在y軸的右側(cè)，且圖象開(kāi)口向下，由此可以確定函數(shù)解析式不唯一．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸左側(cè)部分是上升的，
若二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象開(kāi)口向下，
∴二次函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)，
∴二次函數(shù)解析式不唯一，如：
故答案為：（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項(xiàng)系數(shù)．
16. 公園草坪上，自動(dòng)澆水噴頭噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的離地高度（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平距離（米）的函數(shù)解析式是．那么水珠的最大離地高度是________米．
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求解．
【詳解】∵，
∴時(shí)，y取最大值，
即水珠的高度達(dá)到最大米時(shí)，水珠與噴頭的水平距離是2米，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式．
17. 已知，是邊上一點(diǎn)，、的重心分別為、，那么的值為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】由重心可知線段，得到，從而得出面積比，再利用中線的性質(zhì)得到最后的面積之比．
【詳解】解：是，的重心，
，
，
，
，
分別是的中點(diǎn)，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查重心的性質(zhì)以及線段比與面積的關(guān)系，熟練掌握重心的性質(zhì)以及利用線段比求面積比是解決本題的關(guān)鍵．
18. 如圖，已知中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，如果直線，垂足記為點(diǎn)，那么的值為_(kāi)_______．
【答案】或
【分析】設(shè)，則，，分兩種情況討論，畫(huà)出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵中，，，
∴，
設(shè)，則，，
∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，
∴，則，，，，
如圖，，，，
∴，
∴，則，
∴，
∴，
∴；
如圖，，，，
∴，
∴，則，
∴，
∴，
∴；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正弦函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
三、解答題（本大題共7題）
19. 如圖，已知中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．
（1）如果，求的長(zhǎng)；
（2）設(shè)，，用、表示．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先證明得到，再根據(jù)已知條件推出，得到，由此即可得到答案；
（2）先求出，再由進(jìn)行求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定，向量的線性運(yùn)算，證明推出是解題的關(guān)鍵．
20. 已知二次函數(shù)．
（1）用配方法求這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中（如圖），畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖像；
（3）請(qǐng)描述這個(gè)二次函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)．
【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)
（2）見(jiàn)解析（3）這個(gè)二次函數(shù)圖像在對(duì)稱軸直線左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的
【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出答案；
（2）先求出幾個(gè)特殊的點(diǎn)，然后描點(diǎn)連線即可；
（3）根據(jù)（2）函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
解：（1）
∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為：
圖像如圖所示：
【小問(wèn)3詳解】
解：這個(gè)二次函數(shù)圖像在對(duì)稱軸直線左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及作圖方法，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
21. 如圖，已知中，，，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
（1）求的正切值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由得到是等腰三角形，由三線合一得到，由勾股定理求得，根據(jù)正切的定義即可得到答案；
（2）由，得到，則，由是的中點(diǎn)，得到是的中位線，求得，進(jìn)一步得到，求得，得到，即可得到答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴中，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵是中點(diǎn)，
∴，
∴是的中位線，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．
22. 小明想利用測(cè)角儀測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度．如圖，他先在點(diǎn)處放置一個(gè)高為米的測(cè)角儀（圖中），測(cè)得旗桿頂部的仰角為，再沿的方向后退米到點(diǎn)處，用同一個(gè)測(cè)角儀（圖中），又測(cè)得旗桿頂部的仰角為．試求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】旗桿的高度約為米
【分析】如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，設(shè)，則，，在中，根據(jù)三角函數(shù)值的計(jì)算方法即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，
由題意得，，，，，
設(shè)，則，，
在中，，
∴，解得，即（米），
∴（米）．
∴旗桿的高度約為米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查仰俯角測(cè)量高度，理解圖示中角與線的關(guān)系，掌握仰俯角測(cè)量高度的方法，三角函數(shù)值的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對(duì)角線交于點(diǎn)，且．
求證：
（1）；
（2）．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）由可證，得到，再由得到，即可證明；
（2）由得到，得到，進(jìn)而得到，即可得到．
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴；
【小問(wèn)2詳解】
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點(diǎn)為．
①如果，且新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，求的取值范圍；
②如果新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）拋物線的表達(dá)式
（2）①的取值范圍是；②
【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①新拋物線的頂點(diǎn)為，，由得出，待定系數(shù)法求解析式得直線的解析式：，根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，得出，繼而即可求解；
②新拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線解析式為，由新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得出，根據(jù)，得出，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
∴，∴
∴拋物線的表達(dá)式
【小問(wèn)2詳解】
①新拋物線的頂點(diǎn)為，
∵，
∴
∵、，
設(shè)直線的解析式為，
則
解得：
∴直線的解析式：
當(dāng)時(shí)，，新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，
∴
∴的取值范圍是
②∵新拋物線的頂點(diǎn)為，
∴
∵新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴，即
可知點(diǎn)在第一象限，
作于點(diǎn)，則，，
∵，
∴，
∴
∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，平移問(wèn)題，角度問(wèn)題，正切的定義，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25. 已知梯形中，，，，，是線段上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，如果，且，求的正切值；
（2）如圖2，如果，且，求的長(zhǎng)；
（3）如果，且是等腰三角形，求的面積．
【答案】（1）
（2）
（3）的面積是、或
【分析】（1）延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)，根據(jù)求出，最后根據(jù)求解即可；
（2）延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)求出，
再由可得，設(shè)，則，
代入后列方程求解即可；
（3）分、、三種情況分別求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)
∵，
∴
∵，，
∴
中，
【小問(wèn)2詳解】
延長(zhǎng)、，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則
∵，，，
∴
∵，，
∴
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
解得（負(fù)值舍去），
∴
【小問(wèn)3詳解】
時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，
∴是的中點(diǎn)，
∵，∴，
中，
時(shí)，，，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
∴，
∴，
∴
∴
時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴的面積是、或．
【點(diǎn)睛】本題考查梯形、銳角三角函數(shù)、平行線分線段成比例，熟記常用的梯形輔助線是解題的關(guān)鍵．

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